Kongruent tal

Ett kongruent tal  är ett naturligt tal lika med arean av en rätvinklig triangel med sidor vars längder uttrycks med rationella tal [1] . En mer allmän definition inkluderar alla positiva rationella tal med denna egenskap [2] .

Kongruenta tal bildar en sekvens

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52... (sekvens A003273 i OEIS )
Kongruent taltabell: n ≤ 120 [3]
—: icke-kongruent tal
K: okvadrat Kongruent tal
Q: Kongruent tal med kvadratfaktor
n ett 2 3 fyra 5 6 7 åtta
— — — — K K K —
n 9 tio elva 12 13 fjorton femton 16
— — — — K K K —
n 17 arton 19 tjugo 21 22 23 24
— — — F K K K F
n 25 26 27 28 29 trettio 31 32
— — — F K K K —
n 33 34 35 36 37 38 39 40
— K — — K K K —
n 41 42 43 44 45 46 47 48
K — — — F K K —
n 49 femtio 51 52 53 54 55 56
— — — F K F K F
n 57 58 59 60 61 62 63 64
— — — F K K F —
n 65 66 67 68 69 70 71 72
K — — — K K K —
n 73 74 75 76 77 78 79 80
— — — — K K K F
n 81 82 83 84 85 86 87 88
— — — F K K K F
n 89 90 91 92 93 94 95 96
— — — F K K K F
n 97 98 99 100 101 102 103 104
— — — — K K K —
n 105 106 107 108 109 110 111 112
— — — — K K K F
n 113 114 115 116 117 118 119 120
— — — F F K K F

Till exempel är 5 ett kongruent tal eftersom det är arean av en triangel med sidorna 20/3, 3/2 och 41/6. På samma sätt är talet 6 kongruent eftersom det är arean av en triangel med sidorna 3,4 och 5. 3 är inte kongruent.

Om q är ett kongruent tal, då är s 2 q också kongruent för vissa tal s (multiplicera bara varje sida av triangeln med s ), det omvända är också sant. Detta leder till observationen att huruvida ett icke-noll rationellt tal q är ett kongruent tal beror bara på dess coset i gruppen

.

Varje coset i denna grupp innehåller exakt ett okvadrat tal , så när man talar om kongruenta tal, menar man bara okvadraterade positiva heltal.

Problemet med kongruenta tal

Arean av en rätvinklig triangel i form av benen uttrycks som följer:

Kravet på en rektangulär triangel uttrycks på följande sätt:


där a , b är benen i triangeln, c är dess hypotenusa . Problemet med att avgöra om ett naturligt tal S är kongruent handlar om att hitta en rationell lösning på detta ekvationssystem.


Problemet med att avgöra om ett givet heltal är kongruent kallas det kongruenta talproblemet . Uppgiften (senast 2012) har inte lösts ännu. Tunnels teorem ger ett enkelt test för att avgöra om ett tal är kongruent, men detta resultat förlitar sig på Birch-Swinnerton-Dyer-förmodan , som inte har bevisats.

Fermats rättriangelsats , uppkallad efter Pierre Fermat , säger att inget kvadrattal kan vara kongruent. Men i form av ett uttalande att varje skillnad (steg) mellan på varandra följande termer av en aritmetisk progression av kvadrater inte är en perfekt kvadrat, var detta faktum redan känt (utan bevis) av Fibonacci [4] . Varje sådant progressionssteg är ett kongruent tal, och varje kongruent tal är produkten av progressionssteget och kvadraten av ett rationellt tal [5] . Att avgöra om ett tal är ett steg i en rutaprogression är dock en mycket enklare uppgift, eftersom det finns en parametrisk formel där det bara är nödvändigt att kontrollera ett ändligt antal parametervärden [6] .

Förbindelse med elliptiska kurvor

Frågan om ett givet tal är kongruent visar sig vara ekvivalent med villkoret att någon elliptisk kurva har positiv rangordning [2] . Ett alternativt förhållningssätt till idén presenteras nedan (och finns i inledningen i Tunnels arbete).

Anta att a , b och c  är tal (inte nödvändigtvis positiva eller rationella) som uppfyller följande villkor:

Låt x = n ( a + c )/ b och y = 2 n 2 ( a + c )/ b 2 . Skaffa sig

och y är inte lika med 0 (om y = 0, då a = - c , så b = 0, men (1/2) ab = n är inte lika med noll, en motsägelse).

Omvänt, om x och y är tal som uppfyller ekvationerna ovan och y inte är lika med 0, sätt a = ( x 2  - n 2 )/ y , b = 2 nx / y , och c = ( x 2 + n 2 ) / y . Beräkningar visar att dessa tre siffror uppfyller de två ekvationerna ovan.

Motsvarigheten mellan ( a , b , c ) och ( x , y ) är reversibel, så vi har en en-till-en-överensstämmelse mellan lösningarna av dessa två ekvationer för a , b , och c , och lösningarna för x och y , där y inte är noll. I synnerhet följer det av formlerna för a , b , och c att, givet en rationell n , är talen a , b och c rationella om och endast om motsvarande x och y är rationella, och vice versa. (Vi får också att a , b och c är positiva om och endast om x och y är positiva. Från ekvationen y 2 = x 3  - xn 2 = x ( x 2  - n 2 ) notera att om x och y är positiva , då måste x 2  - n 2 vara positiv, så formeln ovan för a ger ett positivt tal.)

Således är ett positivt rationellt tal n kongruent om och endast om y 2 = x 3  - n 2 x har en rationell punkt där y inte är lika med noll . Det kan visas (som en elegant konsekvens av Dirichlets sats om primtal i aritmetisk progression) att endast torsionspunkterna för denna elliptiska kurva har y lika med 0, vilket innebär att existensen av rationella punkter med icke-noll y är ekvivalent med att säga att den elliptiska kurvan har positiv rang.

Nuvarande tillstånd

Många verk ägnas åt klassificeringen av kongruenta tal.

Till exempel är det känt [7] att för ett primtal p gäller följande:

Det är också känt [8] att i var och en av restklasserna 5, 6, 7 (mod 8) och vilken given k som helst , finns det oändligt många nollfria kongruenta tal med k primtalsfaktorer.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Mathworld .
  2. ↑ 12 Neal Koblitz . Introduktion till elliptiska kurvor och modulära former . - New York: Springer-Verlag , 1993. - P.  3 . - ISBN 0-387-97966-2 .
  3. ↑ OEIS - sekvens A003273 _
  4. ↑ Øystein Malm. Talteori och dess historia. - Courier Dover Corporation, 2012. - S. 202-203 . — ISBN 9780486136431 .
  5. ↑ Keith Conrad. The congruent number problem // Harvard College Mathematical Review. - 2008. - Vol. 2 , nummer. 2 . - S. 58-73 .
  6. ↑ David Darling. The Universal Book of Mathematics: Från Abracadabra till Zenos paradoxer. - John Wiley & Sons, 2004. - P. 77. - ISBN 9780471667001 .
  7. ↑ Paul Monsky. Mock Heegner Points and Congruent Numbers  // Mathematische Zeitschrift. - 1990. - T. 204 , nr. 1 . - S. 45-67 . - doi : 10.1007/BF02570859 .
  8. ↑ Ye Tian. Kongruenta siffror och Heegner-poäng. - 2012. - arXiv : 1210.8231v1 .

Litteratur

Länkar