Primtalssatsen

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 februari 2022; kontroller kräver 3 redigeringar .

Primtalsfördelningssatsen är ett teorem för analytisk talteori som beskriver asymptotiken för fördelningen av primtal , som säger att fördelningsfunktionen för primtal (antalet primtal på intervallet ) växer med ökande som , det vill säga: $\stift)$ $[1;n]$ $n$ ${\frac {n}{\ln n))$

{\frac {\pi (n)}{n/\ln n))\to 1

, när

n\to \infty .

Grovt sett betyder det att ett slumpmässigt valt tal från 1 till sannolikheten att vara primtal är ungefär lika med . $n$ ${\frac {1}{\ln n))$

Denna sats kan också omformuleras på samma sätt för att beskriva beteendet hos det : e primtalet : den säger att $k$ $p_{k}$

p_{k}\sim k\ln k,\quad k\to \infty

(nedan betyder notationen att när argumentet för funktionerna tenderar till oändlighet). $f\sim g$ $f/g\till 1$

Mer exakt beskrivs fördelningen av primtal av integrallogaritmfunktionen . Om Riemanns hypotes är sann , då [1]

\pi (n)=\operatörsnamn {Li} (n)+O({\sqrt {n))\ln n)

på

x\högerpil \infty .

Historik

Den första statistiska regelbundenhet i arrangemanget av primtal märktes av Gauss . I ett brev till Encke (1849) rapporterade han att han redan 1792 eller 1793, rent empiriskt, fann att densiteten av primtal "i genomsnitt är nära ett värde omvänt proportionellt mot logaritmen" [2] . Vid denna tidpunkt, baserat på tabeller över primtal sammanställda av Felkel och Vega , föreslog Legendre (1796) att fördelningsfunktionen för primtal (antalet primtal som inte överstiger x ) kunde approximeras med: $\pi(x)$

\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)-B))

där Gauss i det nämnda brevet kritiserar Legendre-formeln och, med hjälp av heuristiska resonemang, föreslår en annan approximativ funktion - integrallogaritmen : $B\ca 1{,}08366.$

{\mathrm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln x}}\,dx

Gauss publicerade dock inte denna gissning någonstans. Både Legendre- och Gauss-approximationer leder till samma antagna asymptotiska ekvivalens för funktionerna och som anges ovan, även om Gauss-approximationen visar sig vara mycket bättre om vi, när vi uppskattar felet, tar hänsyn till skillnaden mellan funktioner istället för deras förhållande. $\pi(x)$ $x/\ln(x)$

I två av sina tidningar, 1848 och 1850 , bevisar Chebyshev [3] att de övre M- och nedre m-gränserna för relationen

{\frac {\pi (x)}{x/\ln x}}\qquad

(ett)

finns inom , och även att om gränsen för relation (1) finns, så är den lika med 1. Senare (1881) minskade J. J. Sylvester det tillåtna intervallet för gränsen från 10 % till 4 %. $0{,}92129\leqslant m\leqslant M\leqslant 1{,}10555$

År 1859 dök Riemanns arbete upp , med tanke på (infört av Euler som en funktion av ett verkligt argument) ζ -funktionen i den komplexa domänen och relaterade dess beteende till fördelningen av primtal. Genom att utveckla idéerna för detta arbete bevisade Hadamard och de la Vallée Poussin 1896 samtidigt och oberoende satsen om fördelningen av primtal.

Slutligen, 1949, dök Erdős- Selberg - beviset upp, som inte använder komplex analys .

Det allmänna förloppet för beviset

Omformulering i termer av Chebyshevs psi-funktion

Det allmänna inledningsskedet av resonemang är omformuleringen av lagen om fördelningen av primtal i termer av Chebyshev psi-funktionen , definierad som

\psi (x)=\summa _{{p^{k}\leq x}}\log p,\qquad \qquad (*)

med andra ord, Chebyshev psi-funktionen är summan av Mangoldt-funktionen :

\psi (x)=\summa _{{n\leq x}}\Lambda (n),\qquad \Lambda (n)={\begin{cases}\log p,&n=p^{k},\ ,k\geq 1,\quad p\,{\text{är ett primtal}}\\0,&{\text{annars}}.\end{cases}}

Det visar sig nämligen att den asymptotiska fördelningen av primtal är likvärdig med att

\psi (x)\sim x,\quad x\to \infty .

Detta beror på att logaritmen är "nästan konstant" över större delen av intervallet och bidraget av kvadrater, kuber, etc. till summan (*) är försumbart; därför är nästan alla tillagda logaritmer ungefär lika med , och funktionen beter sig asymptotiskt på samma sätt som . $[1,n]$ $\ln sid$ $\ln x$ $\psi(x)$ $\pi (x)\cdot \ln x$

Klassiskt resonemang: övergång till Riemann zeta-funktionen

Som följer av Eulers identitet ,

\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{{-s))))

Dirichlet-serien ("genererande funktion") som motsvarar Mangoldt-funktionen är minus den logaritmiska derivatan av zetafunktionen:

\sum _{n}\Lambda (n)n^{{-s}}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s))).

Dessutom är integralen längs den vertikala linjen till höger om 0 för funktionen lika med och 0 för . Därför, multiplikationen av höger och vänster sida med och (prydliga - olämpliga integraler konvergerar endast villkorligt!) integration längs den vertikala linjen på bladen exakt summan med på vänster sida . Å andra sidan, genom att tillämpa restsatsen kan vi skriva den vänstra sidan som summan av rester; varje nolla i zetafunktionen motsvarar en första ordningens pol av dess logaritmiska derivata, med en rest lika med 1, och till en första ordningens pol vid en punkt , en första ordningens pol med en rest lika med . $a^{s}/s$ $2\pi i$ $a>1$ $0<a<1$ ${\frac {1}{2\pi i}}x^{s}/s$ $ds$ $\Lambda(n)$ $n\leqslant x$ $s=1$ $(-ett)$

En rigorös implementering av detta program gör att man kan få [4] den explicita Riemann-formeln[5] :

\psi (x)=x-\summa _{\rho :\,\zeta (\rho )=0, \atop 0<\operatörsnamn {Re} (\rho )<1}{\frac {x ^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).\qquad \qquad (** )

Summeringen här utförs över zetafunktionens nollor som ligger i det kritiska bandet , termen motsvarar polen vid noll och termen motsvarar de så kallade "triviala" nollorna i zetafunktionen . $\rho$ $0<\operatörsnamn {Re} (s)<1$ $-\log(2\pi )=-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)))$ ${\frac {x^{s}}{s}}$ $-\log(1-x^{-2})/2$ $s=-2,-4,-6,\prickar$

Frånvaron av icke-triviala nollor i zetafunktionen utanför det kritiska bandet medför det nödvändiga påståendet (summan i formeln (**) kommer att växa långsammare än ). Dessutom innebär Riemann-hypotesen en "optimal" uppskattning för möjliga avvikelser från , och följaktligen för avvikelser från . $\psi (x)\sim x$ $x$ $\psi(x)$ $x$ $\pi(x)$ $x/\ln x$

Elementärt bevis: Erdős-Selberg färdigställande

Grundläggande sats för aritmetik , skriven efter att ha tagit logaritmen som

\ln n=\summa _{{p,k:\,p^{k}|n}}\ln p

är alltså formulerad i termer av aritmetiska funktioner och Dirichlet-faltning som

\ln =\Lambda *{\mathbf {1}},

där och är aritmetiska funktioner, logaritmen för argumentet respektive den identiska enheten. $\ln$ $\mathbf{1}$

Möbius -inversionsformeln tillåter oss att överföra till höger sida: $\mathbf{1}$

\Lambda ={\ln }*\mu ,\qquad \qquad (**)

var finns Möbius-funktionen. $\mu$

Summan av vänster sida (**) är den önskade funktionen . På höger sida tillåter tillämpningen av Dirichlets hyperbelformel oss att reducera summan av faltningen till summan där är summan av logaritmen. Tillämpning av Euler-Maclaurin-formeln tillåter oss att skriva som $\psi$ $\sum \limits _{k}L\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k),$ $L$ $L(n)$

L(n)=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln n+\gamma +o(1),

var är Euler-konstanten . Separerar man från detta uttryck termerna som har formen för en lämpligt vald funktion F (nämligen ), och betecknar resten med R , har vi, i kraft av Möbius-inversionen $\gamma$ $\sum \limits _{k}F\left({\frac {n}{k}}\right)$ $F(x)=x-\gamma-1$

\Lambda =F+\sum \limits _{k}R\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k).

Eftersom det återstår att verifiera att den andra termen har formen . Tillämpning av Askers lemma gör att vi kan reducera detta problem till verifieringen av påståendet där är Mertens-funktionen , summan av Möbius-funktionen. $F(x)\sim x,$ $oxe)$ $M(x)=o(x),$ $M(x)=\summa \limits _{n\leqslant x}\mu (n)$

Småheten av summorna av Möbius-funktionen på en undersekvens följer av inversionsformeln som tillämpas på funktionen . $1/n$

Vidare uppfyller Möbius-funktionen i aritmetiska funktioners algebra (med multiplikativ faltningsoperation) den första ordningens "differentialekvation"

\mu '=-\mu *\Lambda ,

var är en härledning i denna algebra (övergång till Dirichlet-serien förvandlar den till den vanliga härledningen av en funktion). Därför uppfyller den också andra ordningens ekvation $f'(n)=f(n)\cdot \ln n$

\mu ''=\mu *(\Lambda *\Lambda -\Lambda ').

"Avsnitt" av denna ekvation och det faktum att asymptotiken för summan av funktionen uppskattas bättre än asymptotiken för summorna , gör att vi kan uppskatta förhållandet genom medelvärdena för ett sådant förhållande. En sådan uppskattning, tillsammans med "småheten i följd" och låter dig få önskad uppskattning . $\Lambda _{2}=\Lambda *\Lambda +\Lambda$ $\lambda$ ${\frac {M(x)}{x}}$ $M(x)=o(x)$

Se även

Anteckningar

↑ Modernt. prob. Mat., 2008, nummer 11. - sid. 30-31
↑ Derbyshire, 2010 , sid. 178-179..
↑ Akhiezer N. I. P. L. Chebyshev och hans vetenskapliga arv.
↑ Skiss av Riemann--von Mangoldts explicita formel . Hämtad 15 november 2009. Arkiverad från originalet 7 juli 2010. (obestämd)
↑ Weisstein, Eric W. Explicit formel på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Litteratur

Klassiker

Jacques Hadamard . Sur la distribution des zéros de la fontction et ses conséquences arithmétiques $\zeta (s)$ . Tjur. soc. Matematik. Frankrike , nr 24 (1896), 199-220.
Charles de la Vallee Poussin . Recherces analytiques sur la theorie des nombres premiers. Ann. soc. sci. Bruxells , 1897.
Chebyshev P. L. Om bestämning av antalet primtal som inte överstiger ett givet värde, 1848.
Chebyshev P. L. Om primtal, 1850.
Bernard Riemann. Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse // Monatsberichte der Berliner Akademie. — 1859.

Modern litteratur

Derbyshire, John. Simpelt beroende. Bernhard Riemann och det största olösta problemet i matematik. - Astrel, 2010. - 464 sid. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
Diamond, G. Elementary Methods in the Study of the Distribution of Primes , Uspekhi Mat , Nauk , 45:2(272) (1990), 79-114.
Postnikov A. G., Romanov N. P. En förenkling av A. Selbergs elementära bevis för den asymptotiska lagen för distribution av primtal , Uspekhi Mat . Nauk , 10:4(66) (1955), sid. 75-87
Erdős, P. Demonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathematique, Amsterdam, 1949.
Selberg, A. An Elementary Proof of the Prime Number Theorem, Ann. Matematik. 50, 305-313, 1949.

Länkar

Weisstein, Eric W. Prime Number Theorem (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)