Penrose-Hawking singularitetssatser

Penrose–Hawkings singularitetssatser är satser i allmän relativitetsteorem som försöker svara på frågan om när gravitationen producerar singulariteter .

Singularitet

Singulariteten i lösningarna av Einsteins fältekvationer är en av två saker:

  1. en situation där materia tvingas krympa till en punkt (spatial singularitet)
  2. en situation där vissa ljusstrålar emanerar från ett område med oändlig krökning (en tidsmässig singularitet)

Utrymmesliknande singulariteter är en funktion av icke-roterande oladdade svarta hål , medan tidsmässiga singulariteter är de som förekommer i laddade eller roterande svarta hål exakta lösningar. Båda av dem har egenskapen geodetisk ofullständighet , där antingen någon ljusväg eller någon partikelväg inte kan förlängas utöver en viss riktig tid eller affin parameter (den affina parametern är nollanalogen av riktig tid).

Penroses teorem garanterar att viss geodetisk ofullständighet uppstår inuti vilket svart hål som helst när materia uppfyller rimliga energiförhållanden. Energitillståndet som behövs för det svarta hålets singularitetsteoremet är svagt: det säger att ljusstrålar alltid fokuserar tillsammans med gravitationen, aldrig divergerar, och detta är sant när materiens energi är icke-negativ.

Hawkings singularitetsteorem gäller för hela universum och fungerar bakåt i tiden: den garanterar att den (klassiska) big bang har oändlig täthet. [1] Denna sats är mer begränsad och är endast giltig när materia är föremål för ett starkare energitillstånd som kallas det dominanta energitillståndet , där energin är större än trycket. All vanlig materia, med undantag för vakuumförväntningen av ett skalärt fält , lyder detta villkor. Under inflation bryter universum det dominerande energitillståndet, och baserat på detta hävdades ursprungligen (t.ex. av Starobinsky [2] ) att inflationära kosmologier kunde undvika Big Bangs initiala singularitet. Emellertid har det sedan dess visat sig att inflationskosmologier fortfarande är ofullständiga i det förflutna [3] , och därför krävs en annan fysik än inflation för att beskriva den tidigare gränsen för ett uppblåst område av rumtiden.

Det är fortfarande en öppen fråga om (klassisk) generell relativitetsteori förutsäger tidsmässiga singulariteter inuti realistiskt laddade eller roterande svarta hål, eller om de är artefakter av mycket symmetriska lösningar och förvandlas till rumsliga singulariteter när störningar läggs till.

Kommentarer

I allmän relativitetsteori är en singularitet en plats där föremål eller ljusstrålar kan träffa på en begränsad tid, när krökningen blir oändlig eller rumtiden upphör att vara en mångfald. Singulariteter kan hittas i alla svarta håls rumtider, Schwarzschild-metriken, Reissner-Nordström-metriken, Kerr-metriken och Kerr-Newman-metriken, såväl som i alla kosmologiska lösningar som inte har en skalär fältenergi eller kosmologisk konstant.

Ingen kan förutsäga vad som kan "rymma" från en Big Bang-singularitet i vårt förflutna, eller vad som kommer att hända med en observatör som "faller" in i ett svart håls singularitet i framtiden, så de kräver en modifiering av den fysiska lagen. Före Penrose troddes singulariteter endast bildas i långsökta situationer. Till exempel, i en stjärna som kollapsar för att bilda ett svart hål, om stjärnan snurrar och därför har något vinkelmoment , kanske centrifugalkraften delvis motverkar gravitationen och hindrar singulariteten från att bildas. Singularitetssatserna bevisar att detta inte kan vara det, och att en singularitet alltid bildas så snart händelsehorisonten bildas .

Till exempel, när en stjärna kollapsar, eftersom all materia och energi är källan till gravitationsattraktion i allmän relativitet, drar det extra vinkelmomentet bara ihop stjärnan starkare när den drar ihop sig: delen utanför händelsehorisonten sätter sig så småningom i Kerr-svartan. hål (se Kerrs svarta håls sats ). brist på hår ). Delen innanför händelsehorisonten har med nödvändighet en singularitet någonstans. Beviset för detta är konstruktivt och visar att singulariteten kan hittas genom att följa ljusstrålar från en yta strax innanför horisonten. Men beviset säger inte vilken typ av singularitet som förekommer, rumslig, tidsmässig, en orbifold , ett hoppgap i metriken. Det garanterar bara att om man följer den tidslika geodetiken in i framtiden, är det omöjligt att gränsen för regionen de bildar genereras av noll geodetik från ytan. Det betyder att gränsen antingen måste dyka upp från ingenstans, eller så tar hela framtiden slut i någon ändlig utsträckning.

Singularitetssatser avslöjar ett intressant "filosofiskt" drag i den allmänna relativitetsteorin. Eftersom allmän relativitet förutsäger den oundvikliga förekomsten av singulariteter, är denna teori inte komplett utan att specificera vad som händer med materia som faller in i en singularitet. Det är möjligt att utvidga allmän relativitet till en enhetlig fältteori, såsom Einstein-Maxwell-Dirac-systemet, där sådana singulariteter inte förekommer.

Kort om satser

I matematik finns det ett djupt samband mellan krökningen av ett grenrör och dess topologi . Bonnet-Myers- satsen säger att ett komplett Riemann-grenrör med Ricci-krökning överallt större än någon positiv konstant måste vara kompakt . Det positiva Ricci-kurvaturtillståndet anges lämpligast på följande sätt: för varje geodetisk, finns det en intilliggande initialt parallell geodetik som kommer att kröka sig mot den när den expanderar, och de två kommer att skära varandra i någon ändlig längd.

När två intilliggande parallella geodesiker skär varandra är fortsättningen av endera inte längre den kortaste vägen mellan ändpunkterna. Anledningen är att två parallella geodetiska banor nödvändigtvis kolliderar efter en lika lång förlängning, och om den ena vägen följer en korsning sedan den andra, förbinder man ändpunkterna med en lika lång icke-geodetisk väg. Detta betyder att för att en geodetik ska vara den kortaste vägen i längd, får den aldrig korsa intilliggande parallella geodetik.

Utgående från en liten sfär och skicka parallella geodetik från gränsen, förutsatt att grenröret har Ricci-krökning avgränsad nedanför av en positiv konstant, är ingen av geodetikerna den kortaste vägen efter en tid, eftersom de alla kolliderar med en granne. Det betyder att efter viss expansion har alla potentiellt nya poäng uppnåtts. Om alla punkter i ett anslutet grenrör ligger på ett ändligt geodetiskt avstånd från den lilla sfären, måste grenröret vara kompakt.

Penrose argumenterade på liknande sätt i relativitetsteorin. Om noll geodetiska linjer, banor för ljusstrålar , följer framtiden, genereras punkter i det framtida området. Om punkten är på gränsen till områdesgränserna kan den bara nås genom att röra sig med ljusets hastighet, inte långsammare, så noll geodesi inkluderar hela gränsen för områdets korrekta framtid. När nollgeodesik skär varandra är de inte längre på kanten av framtiden, de är inne i framtiden. Således, om alla nollgeodesiker kolliderar, finns det ingen gräns för framtiden.

I relativitetsteorin bestäms Ricci-kurvaturen, som bestämmer kollisionsegenskaperna för geodetik, av energitensorn , och dess projektion på ljusstrålar är lika med nollprojektionen av energimomentumtensorn och är alltid icke-negativ. Detta betyder att volymen av kongruensen för geodetik med parallella noll, så snart den börjar minska, kommer att nå noll på en begränsad tid. Så fort volymen är noll sker en kollaps i någon riktning, så varje geodetik skär någon granne.

Penrose drog slutsatsen att närhelst det finns en kub där alla utgående (och inkommande) ljusstrålar initialt konvergerar, kommer områdets framtida gräns att sluta efter en ändlig expansion eftersom all nollgeodesik kommer att konvergera. [4] Detta är irrelevant, eftersom de utgående ljusstrålarna för varje sfär inom horisonten, alla svarta hålslösningar konvergerar, så gränsen för framtiden för denna region är antingen kompakt eller kommer från ingenstans. Framtiden för det inre rummet slutar antingen efter en ändlig expansion eller har en gräns som så småningom skapas av nya ljusstrålar som inte kan spåras tillbaka till den ursprungliga sfären.

Singularitetens natur

Singularitetsteorem använder begreppet geodetisk ofullständighet som ett substitut för att ha oändliga krökningar. Geodesisk ofullständighet är uppfattningen att det finns geodetiska vägar för observatörer i rymdtiden som endast kan förlängas med en ändlig tid mätt av en observatör som färdas längs en av dem. Förmodligen, i slutet av geodetiken, träffade observatören en singularitet eller stötte på någon annan patologi där lagarna för allmän relativitet bryts.

Antaganden för satsen

Vanligtvis består singularitetsteoremet av tre komponenter: [5]

  1. Materiens energitillstånd,
  2. Tillståndet för den globala strukturen av rum-tid,
  3. Tyngdkraften är tillräckligt stark (någonstans) för att ta över området.

Det finns olika möjligheter för varje ingrediens, och var och en leder till olika singularitetsteoremer.

Använda verktyg

Det nyckelverktyg som används för att formulera och bevisa singularitetsteorem är Raychauduri-ekvationen, som beskriver divergensen av en kongruens (familj) av geodetik. Divergensen av kongruens definieras som derivatan av logaritmen för kongruensvolymdeterminanten. Raychauduri-ekvationen har formen:

var är kongruensskiftets tensor och är känd som Raychauduri-skalären (se sidan kongruens). Nyckelpunkten är att den kommer att vara icke-negativ förutsatt att Einsteins fältekvationer är uppfyllda och [5]

När de är uppfyllda blir divergensen oändlig vid något ändligt värde av den affina parametern. Sålunda konvergerar all geodesik som utgår från en punkt så småningom igen efter en begränsad tid, förutsatt att det lämpliga energivillkoret är uppfyllt, ett resultat som också kallas fokussatsen .

Detta är relevant för singulariteter tack vare följande argument:

  1. Anta att vi har ett rum-tid som är globalt hyperboliskt, och två punkter och , som kan kopplas samman med en tid- eller nollkurva. Sedan finns det en geodetik av maximal längd som ansluter och . Kalla detta geodetisk .
  2. En geodetik kan ändras till en längre kurva om en annan geodetisk från skär vid en annan punkt, kallad en konjugatpunkt.
  3. Vi vet från fokussatsen att alla geodesiker från har konjugerade punkter för ändliga värden för den affina parametern. I synnerhet gäller detta för en geodetisk med maximal längd. Men denna motsättning kan därför

dra slutsatsen att rum-tid är geodesiskt ofullständig.

Det finns flera versioner av Penrose–Hawkings singularitetsteorem i allmän relativitet . De flesta versioner säger, grovt sett, att om det finns en infångad nollyta och energitätheten är icke-negativ, så finns det geodetik av ändlig längd som inte kan förlängas. [6]

Dessa satser bevisar strängt taget att det finns åtminstone en icke-spatial geodetik som bara ändligt kan förlängas in i det förflutna, men det finns fall då villkoren för dessa satser erhålls på ett sådant sätt att all tidigare riktad rumtid banor slutar i singulariteter.

Versioner

Det finns många versioner. Noll version:

Anta:
  1. Villkoret om nollenergi är uppfyllt.
  2. Vi har en icke-kompakt ansluten Cauchy-yta.
  3. Vi har en sluten, infångad nollyta .
Då har vi antingen noll geodetisk ofullständighet eller stängda tidsliknande kurvor. Proof Sketch : bevis genom motsägelse. Framtidens gränser , skapade av isotropa geodetiska segment som härrör från tangentvektorer som är ortogonala mot den. Att fångas av nollytan, enligt noll Raychauduri-ekvationen, kommer båda familjerna av nollstrålar som kommer från att kollidera med kaustik. (Kaustik i sig är inget problem. Till exempel är gränsen för framtiden för två rumsligt åtskilda punkter föreningen av två framtida ljuskoner med skärningens inre borttagna. Kaustik uppstår där ljuskonerna skär varandra, men det finns ingen singularitet där.)

Emellertid måste nollgeodesiken som genererar avslutas, dvs. nå sina framtida ändpunkter vid eller före kaustiken. Annars kan vi ta två noll geodetiska segment - , varierande i kaustik - , och sedan deformera dem något för att få en tidskurva som förbinder en punkt på gränsen med en punkt på , en motsägelse. Men eftersom det är kompakt, givet den kontinuerliga affina parametriseringen av geodetiska generatorer, finns det en lägre gräns för det absoluta värdet av förlängningsparametern. Så vi vet att kaustiken kommer att utvecklas för varje generator innan den enhetliga gränsen i den affina parametern tar slut. Resultatet ska vara kompakt. Antingen har vi stängda tidskurvor, eller så kan vi konstruera kongruens från tidskurvor, och var och en av dem måste exakt skära en icke-kompakt Cauchy-yta. Betrakta alla sådana tidskurvor som går igenom och titta på deras bild på Cauchy-ytan. Eftersom bilden är en kontinuerlig karta måste den också vara kompakt. Eftersom de är en tidsmässig kongruens kan de temporala kurvorna inte skära varandra, och kartan är därför injektiv . Om Cauchy-ytan var icke-kompakt, har bilden sin egen gräns. Vi antar att rum-tid består av en sammankopplad del. Men är kompakt och oändlig eftersom gränsens gräns är tom. En kontinuerlig injektionskarta kan inte skapa en kantlinje. Vi slutar med en motsägelse.

"Skrythål": om det finns stängda tidskurvor, bör tidskurvorna inte skära den "partiella" Cauchy-ytan. Om Cauchy-ytan är kompakt, d.v.s. utrymmet är kompakt, så kan gränsens nollgeodetiska generatorer skära varandra överallt, eftersom de kan skära varandra på andra sidan av utrymmet.

Det finns andra versioner av satsen relaterade till det svaga eller starka energitillståndet.

Modifierade teorier om gravitation

I modifierade teorier om gravitation fungerar inte Einsteins fältekvationer, så dessa singulariteter förekommer inte nödvändigtvis. Till exempel, i teorin om oändlig gravitation, kan derivatan av gravitation vara negativ även om nollenergivillkoret är uppfyllt. [7] [8]

Anteckningar

  1. ↑ Hawking, Stephen Egenskaper för expanderande universum . Cambridge Digital Library . Hämtad 24 oktober 2017. Arkiverad från originalet 8 november 2018.
  2. ↑ Starobinsky, Alexei A. En ny typ av isotropiska kosmologiska modeller utan singularitet   // Fysik Bokstäver B : journal. - 1980. - Vol. 91 , nr. 1 . — S. 99–102 . - doi : 10.1016/0370-2693(80)90670-X . - .
  3. ↑ Borde, Arvind; Guth, Alan H.; Vilenkin, Alexander. Inflationära rumstider är inte tidigare fullständiga  // Physical Review Letters  . - 2003. - 15 april ( vol. 90 , nr 15 ). — S. 151301 . — ISSN 0031-9007 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.90.151301 . - . - arXiv : gr-qc/0110012 . — PMID 12732026 .
  4. ↑ Hawking, SW; Ellis, GFR The Large Scale Structure of Space Time. - Cambridge: Cambridge University Press , 1994. - ISBN 0-521-09906-4 .
  5. ↑ 12 Hawking , Stephen; Penrose, Roger. Rymdens och tidens natur. - Princeton: Princeton University Press , 1996. - ISBN 0-691-03791-4 .
  6. ↑ Gravitationsobjektiv ur ett rumtidsperspektiv . Hämtad 10 maj 2020. Arkiverad från originalet 1 mars 2007.
  7. ↑ Conroy, Aindriu; Koshelev, Alexey S; Mazumdar, Anupam. Ofokusering av nollstrålar i Infinite Derivative Gravity  //  Journal of Cosmology and Astroparticle Physics : journal. - 2016. - Vol. 2017 . — S. 017 . - doi : 10.1088/1475-7516/2017/01/017 . — . - arXiv : 1605.02080 .
  8. ↑ Conroy, Aindriu; Edholm, James. Newtonsk potential och geodesisk fullständighet i oändlig derivativ gravitation  (engelska)  // Physical Review D  : journal. - 2017. - Vol. 96 , nr. 4 . - doi : 10.1103/PhysRevD.96.044012 . — . - arXiv : 1705.02382 .

Länkar