↔ ⇔ ≡
" Då och bara då " är en logisk likvärdighetslänk mellan påståenden som används inom logik , matematik , filosofi . För att vara en ekvivalent måste en koppling vara identisk med ett standardmaterial villkorat [1] ("endast då" motsvarar "om ... då"), kopplat till dess motsats, därav namnet på länken. Som ett resultat kräver sanningen i ett påstående samma sanning av det andra, det vill säga antingen är båda sanna eller båda är falska. Man kan argumentera om huruvida uttrycket av det ryska språket "om och bara då" förmedlar länken definierad ovan med dess redan existerande betydelse. Naturligtvis kan ingenting hindra oss från att läsa denna bunt exakt som "om och bara då", även om det ibland kan leda till förvirring.
I skrift används ofta ganska kontroversiella uttryck som ett alternativ till "då och först då", inklusive: Q är nödvändigt och tillräckligt för P ; P är ekvivalent (eller väsentligt ekvivalent) med Q ; R exakt om Q ; P exakt när Q ; P exakt i fallet med Q ; P exakt i fallet med Q .
I logiska formler, istället för alla ovanstående fraser, används logiska symboler.
Sanningstabellen för p ↔ q är följande: [2]
| sid | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| ett | ett | ett |
| ett | 0 | 0 |
| 0 | ett | 0 |
| 0 | 0 | ett |
Observera att den ekvivalenta transformationen utförs av standard -XNOR-cellen, och den motsatta transformationen utförs av standard-XOR-cellen.
De logiska symbolerna ↔, ⇔ och ≡ används för att beteckna det logiska bindemedlet "om och bara då" i formlerna. I engelska texter används ibland "iff" (en förkortning för "if and only if") för att beteckna en länk, och i ryska texter, analogt, är förkortningen "ttt" [3] eller "sogda" [4] används ibland . Vanligtvis behandlas alla dessa symboler som likvärdiga. Vissa texter inom matematisk logik (särskilt om första ordningens logik och i mindre utsträckning om propositionell logik ) gör dock en skillnad mellan dem, där det första tecknet ↔ används som en symbol i logiska formler, medan tecknet ⇔ används i resonemang om dessa formler (till exempel inom metalogik ). Łukasiewicz notation använder tecknet "E" som ett prefix. Negationen av denna koppling är "exklusiv eller".
I de flesta logiska system bevisas påståenden av formen "P ↔ Q" genom beviset "om P, då Q" och "om Q, då P" (eller tvärtom " om inte-P, då inte-Q" och "om inte-Q, då icke-P"). Beviset för detta par påståenden leder ibland till ett mer rigoröst bevis, eftersom det finns icke-uppenbara förhållanden från vilka ekvivalensen kan härledas direkt. Ett alternativ är att bevisa disjunktionen "(P och Q) eller (inte-P och inte-Q)", vilket i sig kan härledas från disjunkterna, dvs eftersom det konnektiva ↔ är en sanningsfunktion, följer att "P ↔ Q" är sant endast om P och Q båda är sanna eller båda falska.
Tillräcklighet är motsatsen till nödvändighet. Det vill säga, om P → Q ges (eller om P , då Q ), så kommer P att vara ett tillräckligt villkor för Q , och Q kommer att vara ett nödvändigt villkor för P. Dessutom, om P → Q ges , så är ¬Q → ¬P också sant (där ¬ är negationsoperatorn, d.v.s. "inte"). Detta innebär att förhållandet mellan P och Q som upprättats av operatören P → Q kan uttryckas på följande ekvivalenta sätt:
P är tillräckligt för Q (om P är sant så är Q säkert) Q är nödvändigt för P (om Q är sant så är P sannolikhet) ¬Q är tillräckligt för ¬P (om ¬Q är sant så är ¬P säkert) ¬P är nödvändigt för ¬Q (om ¬P är sant så är ¬Q sannolikhet)Som ett exempel ovanstående mening (1), som anger P → Q , där P är "vaniljsåspuddingen i fråga" och Q är "Madison kommer att äta puddingen i fråga" . Följande fyra sätt att uttrycka relationer är likvärdiga:
Om puddingen i fråga är vaniljsås, då kommer Madison att äta den. Bara om Madison äter puddingen i fråga är det förmodligen vaniljsås. Om Madison inte äter puddingen i fråga är den utan vaniljsås. Bara om puddingen i fråga inte är vaniljsåsfri, kanske Madison inte äter den.Således ser vi att ovanstående mening (2) kan omformuleras som om ... då till exempel "Om Madison äter puddingen i fråga, då är det med vaniljsås." Om vi tar detta i samband med (1), finner vi att (3) kan sägas enligt följande: "Om puddingen i fråga är vaniljsås så kommer Madison att äta den, Och om Madison äter puddingen så är det vaniljsås."