Cauchy-Riemann förhållanden

Cauchy-Riemann- villkoren , även kallade d'Alembert-Euler-villkoren , är relationer som förbinder de verkliga och imaginära delarna av en differentiabel funktion av en komplex variabel . $u=u(x,y)$ $v=v(x,y)$ $w=f(z)=u+iv,\ z=x+iy$

Formulering

I kartesiska koordinater

För att en funktion som definieras i någon region av det komplexa planet ska vara differentierbar i en punkt som en funktion av en komplex variabel , är det nödvändigt och tillräckligt att dess reella och imaginära delar och vara differentierbar i en punkt som funktioner av reella variabler och och att dessutom vid denna tidpunkt Cauchy-Riemann-villkoren var uppfyllda: $w=f(z)$ $D$ ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0))$ $z$ $u$ $v$ $(x_{0},y_{0})$ $x$ $y$

{\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y));

{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.

Kompakt notation:

{\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}=0,

eller

{\frac {\partial f}{\partial x))={\frac {1}{i)){\frac {\partial f}{\partial y)).

Om Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda, kan derivatan representeras i någon av följande former: $F Z)$

{\begin{aligned}f'(z)&={\frac {\partial u}{\partial x))+i{\frac {\partial v}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y))={\frac {\partial v}{\partial y))+i{\frac {\partial v}{\partial x))=\\&={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}.\\\end{aligned}}

Bevis

1. Nödvändighet

Enligt satsens hypotes finns det en gräns

f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}},

oberoende av sättet att tendera mot noll. $\Deltaz$

Verklig ökning. Låt oss ställa in och överväga uttrycket $\Delta z=\Delta x$

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))=\lim \limits _ {\Delta x\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x)).

Förekomsten av en komplex gräns är ekvivalent med förekomsten av samma gräns i vilken riktning som helst, inklusive Därför, vid punkten z 0 finns det en partiell derivata av funktionen f ( z ) med avseende på x och formeln äger rum

\lim _{\Delta z\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))

\lim _{\Delta x\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x)).

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))={\frac {\ partiell f(z_{0})}{\partial x_{0}}}.

Rent imaginär ökning. Förutsattatt vi hittar $\Delta z=i\Delta y$

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))=\lim \limits _ {\Delta y\to 0}{\frac {f(z_{0}+i\Delta y)-f(z_{0})}{i\Delta y))={\frac {1}{i} }{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0))}.

Detta betyder att om funktionen är differentierbar, så är funktionernas derivator med avseende på x och med avseende på y exakt desamma, det vill säga nödvändigheten av Cauchy-Riemann-villkoren har bevisats.

2. Tillräcklighet

Med andra ord är det nödvändigt att bevisa i motsatt riktning - att om derivatorna av en funktion med avseende på x och med avseende på y verkligen är desamma, så visar sig funktionen vara differentierbar i allmänhet i vilken riktning som helst.

Funktionsökning

Efter definitionen av differentiabilitet kan ökningen av en funktion i ett område av en punkt skrivas som $F Z)$ $z_{0}$

f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0))}\Delta x+{ \frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0))}\Delta y+\xi (x,y),

där den komplext värderade funktionen fungerar som en "underordnad" term och tenderar till noll vid snabbare än och d.v.s. $\xi (x,y)$ $(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})$ $\Delta x$ $\Delta y,$

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z))=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)}{\Delta z))=0.

Låt oss nu sammanställa skillnadsrelationen och omvandla den till formen ${\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))$

{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))={\frac ({\frac {\partial f(z_{0} )}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {1}{i}}{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}(i\ Delta y)+\xi (x,y)}{\Delta z)).

Differentieringsvillkor

Nu, för att bevisa att Cauchy-Riemann-villkoren är tillräckliga, ersätter vi dem med skillnadsrelationen och erhåller följande:

{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))={\frac ({\frac {\partial f(z_{0} )}{\partial x_{0))}\Delta x+{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0))}(i\Delta y)+\xi (x,y )}{\Delta z))={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0))}+{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z} }.

Observera att eftersom den tenderar till noll, tenderar den sista termen i denna formel till noll, medan den första förblir oförändrad. Därför är gränsen densamma i vilken inkrementriktning som helst och inte bara längs de reella och imaginära axlarna, vilket betyder att denna gräns existerar, vilket bevisar tillräckligheten. $\Deltaz$ ${\tfrac {\partial f(z_{0})}{\partial z_{0))}=\lim _{\underset {\Delta z\in \mathbb {C} }{\Delta z\ till 0}}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})$ $\Delta z,$

I polära koordinater

I det polära koordinatsystemet ser Cauchy-Riemann-förhållandena ut så här: $(r,\varphi)$

{\frac {\partial u}{\partial r))={\frac {1}{r)){\frac {\partial v}{\partial \varphi ));\quad {\frac {\partial u }{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.

Kompakt notation:

{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {i}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}=0.

Polar Record Output

Vi representerar den ursprungliga funktionen i formuläret

f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).

Uttryck av kartesiska koordinater i termer av polära

\left\{{\begin{matrix}x=r\cos \varphi ;\\y=r\sin \varphi .\end{matrix}}\right.

Låt oss skriva derivatan av funktionen $u(x,y)$

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r))={\frac {\partial u}{\partial x)){\frac {\partial x} {\partial r))+{\frac {\partial u}{\partial y)){\frac {\partial y}{\partial r))=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\ partiell x))+\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial y));\\{\frac {\partial u}{\partial \varphi ))={\frac {\partial u} {\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi } }=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x))+r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y)).\end{matris))\ höger.

på liknande sätt beräknar vi derivatorna av funktionen $v(x,y)$

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial v}{\partial r))={\frac {\partial v}{\partial x)){\frac {\partial x} {\partial r))+{\frac {\partial v}{\partial y)){\frac {\partial y}{\partial r))=\cos \varphi {\frac {\partial v}{\ partiell x))+\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y));\\{\frac {\partial v}{\partial \varphi ))={\frac {\partial v} {\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi } }=-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x))+r\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial y)).\end{matris))\ höger.

Omgruppera och multiplicera

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r))=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial x))+\sin \ varphi {\frac {\partial u}{\partial y));\\{\frac {1}{r)){\frac {\partial v}{\partial \varphi ))=\cos \varphi {\ frac {\partial v}{\partial y))-\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x));\end{matris))\right.

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+ r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y));\\-r{\frac {\partial v}{\partial r))=-r\cos \varphi {\frac {\ partiell v}{\partial x}}-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}.\end{matris}}\right.

Med hjälp av Cauchy-Riemann-förhållandena i kartesiska koordinater får
vi likheten mellan motsvarande uttryck, vilket leder till resultatet

{\frac {\partial u}{\partial r))={\frac {1}{r)){\frac {\partial v}{\partial \varphi ));\quad {\frac {\partial u }{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.

Relation mellan modul och argument för en differentierbar komplex funktion

Det är ofta bekvämt att skriva en komplex funktion i exponentiell form:

f(z)=R(x,y)e^{i\Phi (x,y)}.

Sedan länkar Cauchy-Riemann-villkoren modulen och funktionsargumentet enligt följande: $R$ $\Phi$

{\frac {\partial R}{\partial x))=R{\frac {\partial \Phi}{\partial y));\quad {\frac {\partial R}{\partial y} }=-R{\frac {\partial \Phi }{\partial x)).

Och om funktionen och dess argument uttrycks i det polära systemet samtidigt:

f(z)=R(r,\varphi )e^{i\Phi (r,\varphi )},

då blir posten:

{\frac {\partial R}{\partial r))={\frac {R}{r)){\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi ));\quad R{\ frac {\partial \Phi }{\partial r))=-{\frac {\partial R}{r\partial \varphi ))

Den geometriska betydelsen av Cauchy-Riemann-villkoren

Låt funktionen där vara differentierbar. Betrakta två familjer av kurvor (nivålinjer) i det komplexa planet. $w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$ $z=x+iy,$ $(x, y)$

Första familjen:

u(x,y)=konst.

Andra familjen:

v(x,y)=konst.

Då innebär Cauchy-Riemann-villkoren att den första familjens kurvor är ortogonala mot den andra familjens kurvor.

Algebraisk betydelse av Cauchy-Riemann-villkoren

Om vi betraktar uppsättningen av komplexa tal som ett vektorrum över , då är värdet av derivatan av en funktion vid en punkt en linjär avbildning från ett 2-dimensionellt vektorrum in i sig självt ( -linjäritet). Om vi betraktar det som ett endimensionellt vektorrum över , så kommer derivatan vid en punkt också att vara en linjär avbildning av det endimensionella vektorrummet in i sig själv ( -linearitet), som i koordinater är en multiplikation med ett komplext tal . Uppenbarligen är varje -linjär karta -linjär. Eftersom fältet (endimensionellt vektorrymd) är isomorft till fältet för formens reella matriser med de vanliga matrisoperationerna, påtvingas Cauchy-Riemann-villkoren elementen i den jakobiska matrisen för avbildningen vid en punkt (mer exakt, mappningen vid en punkt ) är -linearitetsförhållanden , dvs. . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $F Z)$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$ $f$ $z$ ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon (x,y)\mapsto {\big (}u(x,y),v(x,y){\big )))$ $(x, y)$ $\mathbb {C}$ $F Z)$ ${\tilde {f}}'(x,y)$

Historik

Dessa förhållanden uppträdde först i d'Alemberts arbete ( 1752 ). I Eulers arbete , som rapporterades till St. Petersburgs vetenskapsakademi 1777 , fick villkoren för första gången karaktären av ett allmänt kriterium för funktioners analyticitet.

Cauchy använde dessa relationer för att konstruera en teori om funktioner, som började med en memoarbok som presenterades för Paris Academy of Sciences 1814 . Riemanns berömda avhandling om grunderna för funktionsteorin går tillbaka till 1851 .

Se även

Komplex analys

Litteratur

Evgrafov M. A. Analytiska funktioner. - 2:a uppl., reviderad. och ytterligare — M .: Nauka , 1968 . — 472 sid.
Privalov II Introduktion till teorin om funktioner för en komplex variabel: En manual för högre utbildning. - M. - L .: Statens förlag, 1927 . — 316 sid.
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Teori om funktioner för en komplex variabel. — M .: Nauka, 1974 . — 320 s.
Titchmarsh E. Funktionsteori: Per. från engelska. - 2:a uppl., reviderad. - M . : Nauka, 1980 . — 464 sid.
Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka, 1969 . — 577 sid.
Cartan A. Differentialkalkyl. differentiella former. — M .: Mir , 1971 . — 392 sid.