Fashastighet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 juni 2019; kontroller kräver 23 redigeringar .

Fashastighet - rörelsehastigheten för en punkt, som har en konstant fas av oscillerande rörelse i rymden, längs en given riktning. Vanligtvis betraktas riktningen som sammanfaller med vågvektorns riktning , och fasen kallas hastigheten mätt i denna riktning, om inte annat uttryckligen anges (det vill säga om en annan riktning än vågvektorns riktning inte är explicit anges). Fashastigheten i vågvektorns riktning sammanfaller med fasfrontens hastighet (konstant fasyta). Den kan om så önskas betraktas som en vektorkvantitet.

Mest använda notation: . $v_{\phi }\$

Strängt taget är begreppet fas endast tillämpligt när man beskriver harmoniska eller monokromatiska (det vill säga sinusformade eller imaginära exponenter ) vågor, och även - ungefär - för vågor av liknande form (till exempel nästan monokromatiska vågpaket) eller lätt reducerade till sinusformad (till exempel sfäriska vågor av formen ), eller, vilket är mindre korrekt, när man beskriver periodiska vågor av en annan form. Icke desto mindre kan en våg (praktiskt taget) av vilken form som helst representeras med Fouriertransformen som summan av monokromatiska vågor, och sedan kan begreppet fas och fashastighet appliceras på var och en av dessa vågor ganska strikt (däremot då varje monokromatisk våg i expansionen kommer, generellt sett, sin egen fashastighet, som inte sammanfaller med andra, endast i speciella fall kan de alla exakt sammanfalla eller vara nära). $\sin(\phi )$ $e^{i\phi}$ $\cos(\phi )/r$

För att beskriva andra vågor än harmoniska (särskilt för att beskriva vågpaket ) använder de, förutom begreppet fashastighet, begreppet grupphastighet (som inte beskriver rörelsen av en separat topp i ett vågpaket, utan dess kuvert, till exempel kuvertets maximum).

Formler

Den grundläggande formeln som bestämmer fashastigheten för en (monokromatisk) våg i endimensionell rymd eller fashastigheten längs vågvektorn för en våg i ett högre dimensionellt rum är:

v_{\phi }=\omega /k

vilket är en direkt följd av att fasen för en plan våg i ett homogent medium är

\phi =\omega t-kx

för det endimensionella fallet

eller för en dimension större än en. $\phi =\omega t-{\vec k}\cdot {\vec x}$

Det specifika förhållandet mellan och - den så kallade spridningslagen - för varje specifik typ av våg erhålls vanligtvis från en differentialekvation som beskriver denna typ av våg, och ersätter en monokromatisk (oftast plan) våg i den [1] . $\omega$ $k$

I det fall då fashastigheten inte beror för en given typ av vågor på frekvensen eller vågtalet (och riktningen på vågvektorn), sammanfaller grupphastigheten med fashastigheten.

Fashastighet för en elektromagnetisk våg

I vakuum, för en elektromagnetisk våg av vilken frekvens som helst (åtminstone i de frekvensområden och intensiteter som har studerats), är fashastigheten, mätt i vågvektorns riktning, alltid lika med samma värde - hastigheten på ljus i vakuum , en universell konstant.

I media är lagen om spridning av elektromagnetiska vågor ganska komplicerad (se Ljusdispersion ), och fashastigheten kan ändras märkbart, upp till negativa [2] värden.

För vågekvationen

Vilken våg som helst som beskrivs av vågekvationen

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=C^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}

har en fashastighet C ( detta är C här en viss konstant koefficient; denna koefficient är lika med ljusets hastighet i vågekvationen för elektromagnetiska vågor).

Detta resultat erhålls genom att direkt ersätta en monokromatisk våg av formen i denna ekvation och sedan beräkna . $\cos(kx-\omega t)$ $\omega /k$

Detta resultat är sant inte bara för vågekvationen i endimensionell rymd (vi använde den ovan endast för korthets skull; allt förblir exakt detsamma för valfritt antal derivator med avseende på koordinaterna på höger sida).

För Klein–Gordon-ekvationen

Klein-Gordons ekvation

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2))}=C^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2 }}}+C^{4}m^{2}f

skiljer sig endast under den sista termen, ger med en liknande substitution

{\displaystyle \omega ^{2}=C^{2}k^{2}+C^{4}m^{2))

var:

\omega ={\sqrt {C^{2}k^{2}+C^{4}m^{2}}}

och

v_{\varphi }=\omega /k=C{\sqrt {1+C^{2}m^{2}/k^{2))}

Detta uttryck är alltid större än C för reell m som inte är noll och kan vara godtyckligt stor som k → 0.

Fashastighet som vektor

På sätt och vis är fashastigheten inte en vektor. Med att säga detta menar de det faktum att fashastigheterna i olika riktningar (till exempel längs koordinataxlarnas riktningar), definierade enligt ovan, varken är koordinater eller projektioner [3] av någon vektor [4] . Inklusive, uppenbarligen, är de inte projektioner eller koordinater av en vektor som sammanfaller i riktning med vågvektorn och med ett absolut värde lika med fashastigheten i denna riktning.

Men detta hindrar naturligtvis inte, om så önskas, att införa en rent formell fashastighetsvektor, som per definition sammanfaller i riktning med vågvektorn och med ett absolut värde lika med fashastigheten i denna riktning. Frågan om det är korrekt att kalla en sådan vektor för en fashastighetsvektor är rent terminologisk (konventionell). Det enda faktum är att projektionerna av denna "vektor" på koordinataxlarna eller komponenterna längs dessa axlar inte kommer att motsvara fashastigheten längs dessa riktningar i enlighet med definitionen av fashastigheten i den riktning som anges i början av artikeln (och i allmänhet med någon rimlig definition, förutom den rent formella som beskrivs i detta stycke).

Specifikt, för fallet med en plan övertonsvåg, kan fashastigheten längs vågvektorn uttryckas enligt följande:

v_{\phi }\equiv v_{\phi ,0}=\omega /k

var är vågtalet , är vinkelfrekvensen . I detta fall kommer fashastigheten längs riktningen, som avviker från vågvektorn med en vinkel , att vara lika med: $k$ $\omega$ $\alfa$

v_{{\phi ,\alpha }}={\frac {v_{{k}}}{\cos \alpha }}

Att inte förstå detta faktum är ofta orsaken till missförstånd och fel. Till exempel, från ovanstående är det tydligt att fashastigheten kan vara större än ljusets hastighet (detta följer direkt av formeln som skrivits ovan, givet att den kan anta godtyckligt små värden när vinkeln tenderar till en rät linje , och följaktligen visar sig fashastigheten i en riktning nära ortogonal vara godtyckligt stor och tenderar mot oändligheten) [5] . $\cos \alpha$

Kan fashastigheten överstiga ljusets hastighet

Fashastigheten kan överstiga ljusets hastighet i vakuum och överstiger ofta den. Detta motsäger inte den välkända principen om ljusets maximala hastighet, vars behov uppstår för att samtidigt observera kausalitetsprincipen (så att det inte finns några kausala paradoxer) och relativitetsprincipen ( Lorentz invarians ).

Faktum är att dessa principer endast begränsar hastigheten för utbredning av sådana fysiska objekt genom vilka information kan överföras. Och fashastigheten [6] gäller inte hastigheterna för sådana föremål. En rent monokromatisk (sinusformad) våg är oändlig i rum och tid, kan inte ändras på något sätt för att överföra information (om vi modulerar vågen kommer den att sluta vara monokromatisk, och moduleringsutbredningshastigheten sammanfaller inte med fashastigheten, vanligtvis sammanfaller med grupphastigheten för nästan monokromatiska vågor).

Fashastighet i en riktning som inte sammanfaller med vågvektorn

Eftersom fashastigheten, mätt längs en godtycklig riktning som inte sammanfaller med vågvektorn och riktningen för vågutbredning, inte är rörelsehastigheten för ett "fysiskt objekt", det vill säga ett objekt vars tillstånd i efterföljande ögonblick bestäms kausalt av tillståndet i tidigare, men karakteriserar i själva verket helt enkelt tillståndets oscillerande fält vid artificiellt valda punkter, ofta (nämligen, om du väljer en tillräckligt stor vinkel med vågvektorn) fashastigheten i en given riktning av någon, även godtyckligt långsam (som visas i stycket ovan) kan överstiga ljusets hastighet och tenderar till oändligheten eftersom vinkeln tenderar till en rak linje.

I synnerhet är fashastigheten för ljus (eller i allmänhet för en elektromagnetisk våg som helst) i vakuum, mätt i vilken riktning som helst som inte sammanfaller med dess vågvektor, alltid större än ljusets hastighet .

Men saken är inte begränsad till fashastigheten i en godtycklig riktning. Ljushastigheten kan överträffas även av fashastigheten som mäts längs vågvektorn.

Fashastighet för en kvantpartikel

Fashastigheten för en kvant "våg" som motsvarar vilken massiv partikel som helst (det vill säga en partikel med en massa större än noll) är alltid större än ljusets hastighet. Detta är lätt att se från formlerna , och , från vilka , medan E för massiva partiklar alltid är större än p på grund av massan ( vila energi ). $\ v_{\phi }=\omega /k$ $E = \hbar \omega$ $p=\hbar k$ $\ v_{\phi }=E/s$

Denna fashastighet kan dock i princip inte observeras (eftersom fasen inte alls är observerbar inom kvantfysiken). Endast grupphastigheten är tillgänglig för observation , vilket är kvantanalogen av den vanliga hastigheten för en klassisk partikel.

Fashastighet för Klein-Gordon-ekvationen

Men differentialekvationerna som beskriver kvantpartiklar kan i princip implementeras på andra fysiska system (till exempel på ganska enkla mekaniska modeller). I detta fall är fashastigheten ganska tillgänglig för observation.

Ändå kan även här fashastigheten göras godtyckligt stor (det räcker att välja ett tillräckligt litet k ), och i princip är det lätt att göra det större än ljusets hastighet.

Detta till synes paradoxala resultat beror på det faktum att "utbredningen" av en sådan våg är en illusion [7] i den meningen att det inte finns något orsakssamband mellan olika delar av vågen (tillståndet för den våg som rör sig till höger är inte bestämt av vad det var till vänster).

Anteckningar

↑ eller eller en liknande multivariat variant. $\cos(kx-\omega t)$ $\exp(i(kx-\omega t))$
↑ Material med negativt brytningsindex - Victor Veselago
↑ Vid användning av till exempel sneda koordinater sammanfaller inte koncepten för vektorns koordinat och projektionen på axeln.
↑ Naturligtvis, i ett visst fast koordinatsystem, definierar varje trippel (vi kommer att tala om det tredimensionella fallet för definititet) av tal en vektor; men om vi har att göra med en reell vektor, då när vi ändrar koordinatsystemet (till exempel vid rotation av axlarna), bör vi få resultat som överensstämmer med vissa regler för vilket koordinatsystem som helst, och detta visar sig redan vara felaktigt för trippel av siffror vi överväger.
↑ Detta motsäger inte relativitetsteorin. Se nästa stycke.
↑ Som till exempel hastigheten för en kanin på skärmen - se artikeln Superluminal motion .
↑ Distribution som ett faktum sker naturligtvis; illusion betyder här att vi tenderar att intuitivt investera i detta faktum mer än det verkligen är, nämligen att vi intuitivt tenderar att tro att för en våg som rör sig från vänster till höger är de tidigare tillstånden för vågen till vänster orsaken till efterföljande tillstånd till höger, vilket inte är så . I själva verket skulle det vara mer korrekt att säga att olika delar av denna våg svänger oberoende av varandra, och överlagringen av sådana svängningar ger en vandringsvåg (det liknar faktiskt något en optisk illusion).

Länkar

Physical Encyclopedia Online. Volym 5, s.266.

Våghastigheter _
grupphastighet Fashastighet Frontal hastighet Signalhastighet