Faktoruppsättning

Faktormängden är mängden av alla ekvivalensklasser för en given ekvivalensrelation på mängden , betecknad med . Uppdelningen av en mängd i klasser av ekvivalenta element kallas dess faktorisering . $\sim$ $X$ $X/\!\sim$

En mappning från till en uppsättning ekvivalensklasser kallas faktormappning . På grund av egenskaperna hos ekvivalensrelationen är uppdelningen i uppsättningar unik. Detta innebär att klasserna som innehåller antingen inte skär varandra eller sammanfaller helt. För alla element är någon klass från unikt definierad , med andra ord finns det en surjektiv mappning från till . En klass som innehåller betecknas ibland som . $X$ $X/\!\sim$ $\forall x,\;y\i X$ $x\i X$ $X/\!\sim$ $X$ $X/\!\sim$ $x$ $[x]$

Om en uppsättning är försedd med en struktur, kan ofta en mappning användas för att förse faktormängden med samma struktur; till exempel kan ekvivalensklasserna för ett topologiskt utrymme förses med den inducerade topologin ( faktorrymd ), ekvivalensklasserna för ett algebraiskt system kan förses med samma operationer och relationer ( faktorsystem ). $X\to X/\!\sim$ $X/\!\sim$

Tillämpningar och exempel

Om en surjektiv mappning ges , så ges relationen på mängden . Du kan överväga en faktoruppsättning . Funktionen definierar en naturlig en-till-en- överensstämmelse mellan och . $f\kolon X\till Y$ $X$ $x\sim x'\iff f(x)=f(x')$ $X/\!\sim$ $f$ $X/\!\sim$ $Y$

Det är rimligt att använda mängdfaktorisering för att erhålla normerade utrymmen från semi-normerade utrymmen, utrymmen med en inre produkt från utrymmen med en nästan inre produkt, etc. För detta införs normen för en klass, respektive lika med normen för ett godtyckligt element av det, och den skalära produkten av klasser som den skalära produkten av godtyckliga element av klasser. I sin tur introduceras ekvivalensrelationen enligt följande (till exempel för att bilda ett normerat kvotutrymme): en delmängd av det ursprungliga semi-normerade utrymmet introduceras, bestående av element med noll semi-norm (förresten, den är linjär , det vill säga det är ett delrum) och det anses att två element är ekvivalenta om deras skillnad tillhör samma delrum.

Om ett visst delrum av ett linjärt utrymme introduceras för att faktorisera ett linjärt utrymme och det antas att om skillnaden mellan två element i det ursprungliga utrymmet tillhör detta underrum, då dessa element är ekvivalenta, då är faktormängden ett linjärt utrymme och kallas ett faktorutrymme.

Det projektiva planet kan definieras som kvotutrymmet för en tvådimensionell sfär genom att definiera en ekvivalensrelation . $\mathbb{R} P^{2}$ $(x,\;y,\;z)\sim (-x,\;-y,\;-z)$

Klein-flaskan kan representeras som kvotutrymmet för en cylinder med avseende på ekvivalensrelationen ( är vinkelkoordinaten på cirkeln). $S^{1}\ gånger [0,\;1]$ $(\varphi ,\;0)\sim (-\varphi ,\;1)$ $\varphi \i [-\pi ,\;\pi ]$

Egenskaper

Faktoravbildningar q : X → Y beskrivs bland surjektiva avbildningar med följande egenskap: om Z är något topologiskt utrymme och f : Y → Z är någon funktion, då är f kontinuerlig om och endast om f ∘ q är kontinuerlig.

Kvotutrymmet X /~ tillsammans med kvotmappen q : X → X /~ beskrivs av följande universella egenskap : if g : X → Z är en kontinuerlig avbildning så att om a ~ b innebär g ( a ) = g ( b ) för alla a och b från X , så finns det en unik mappning f : X /~ → Z så att g = f ∘ q . Vi säger att g sjunker till en faktorisering .

Kontinuerliga mappningar definierade på X /~ är därför exakt de mappningar som uppstår från kontinuerliga mappningar definierade på X som uppfyller en ekvivalensrelation (i den meningen att de mappar ekvivalenta element till samma bild). Detta kriterium används i stor utsträckning i studiet av kvotutrymmen.

Givet en kontinuerlig surjektion q : X → Y , är det användbart att ha ett kriterium för att avgöra om q är en kvot. Två tillräckliga villkor — q är öppen eller stängd . Observera att dessa villkor endast är tillräckliga , men inte nödvändiga . Det är lätt att konstruera exempel på faktormappningar som varken är öppna eller stängda. För topologiska grupper är faktorkartläggningen öppen.

Kompatibilitet med andra topologiska koncept

Separerbarhet
- I allmänhet uppför sig kvotutrymmen felaktigt med avseende på separerbarhetens axiom. Separerbarhetsegenskaper för en mängd X ärvs inte nödvändigtvis under X /~ och X /~ kan ha separerbarhetsegenskaper som inte finns i X .
- X /~ är ett mellanslag T 1 om och endast om någon ekvivalensklass ~ är stängd i X .
- Om kvotmappen är öppen , då är X /~ ett Hausdorff-utrymme om och endast om ~ är en sluten delmängd av produkten av utrymmen X × X .
Anslutningsmöjligheter
- Om ett utrymme är anslutet eller sökvägsanslutet , så är alla dess kvotutrymmen det också.
- Kvotutrymmet för ett enkelt anslutet eller sammandragbart utrymme kommer inte nödvändigtvis att ha dessa egenskaper.
kompakthet
- Om ett utrymme är kompakt, så är alla dess kvotutrymmen det också.
- Ett kvotutrymme av ett lokalt kompakt utrymme är inte nödvändigtvis lokalt kompakt.
Dimension av utrymme
- Den topologiska dimensionen av kvotutrymmet kan vara större (och kan vara mindre) än dimensionen för det ursprungliga rummet; utrymmesfyllande kurvor ger sådana exempel.