Faktorsystem

Ett faktorsystem i universell algebra är ett objekt som erhålls genom att dela upp ett algebraiskt system i cosets genom en ekvivalensrelation som är stabil med avseende på dess grundläggande operationer och följaktligen också ett algebraiskt system. En faktoralgebra är ett faktorsystem som erhålls över en algebra (ett system utan relationer), en faktormodell är ett faktorsystem över en modell (ett system utan operationer).

Ett kvotsystem är en generalisering av algebraiska faktoriseringar: en kvotgrupp , en kvotring , en kvotalgebra är kvotsystem över en grupp , en ring , en algebra över ett fält respektive.

Definition

För ett algebraiskt system , och en binär relation , som är en kongruens över , dvs. stabil med avseende på var och en av huvudoperationerna - från inträdet i relationen för en viss mängd följer uppfyllelsen - är faktorsystemet konstruerat som ett algebraiskt system , med en bärare - en faktor satt över med avseende på kongruensen , följande uppsättning operationer: ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\to A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\to A,\dots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle$ $\sigma \subseteq A \ gånger A$ $\mathfrak A$ $f_i \i F$ $\forall_{j\i 1\dots{n_i}}(a_j, b_j) \in \sigma$ $(f(a_1, \dots a_{n_i}), f(b_1, \dots b_{n_i})) \in \sigma$ $\mathfrak A / \sigma$ $A/\sigma$ $A$ $\sigma$

\langle f^\star_1: (A/\sigma)^{n_1} \to A/\sigma, \dots f^\star_{n_i}: (A/\sigma)^{n_i} \to A/\sigma , \dots \rangle

och följande uppsättning relationer:

\langle r^\star_1 \subseteq (A/\sigma)^{m_1}, \dots r^\star_{m_i} \subseteq (A/\sigma)^{m_i}, \dots \rangle

där betyder övergång till cosets med avseende på kongruens : $^\stjärna$ $\sigma$

f^\stjärna ([a_1]_\sigma, \dots [a_n]_\sigma) = [f(a_1, \dots a_n)]_\sigma

för operationer och

r^\stjärna ([a_1]_\sigma, \dots [a_m]_\sigma) \Vänsterhögerpil \exists(b_1\i[a_1]_\sigma, \dots b_m\in[a_m]_\sigma) r( b_1, \dots b_m)

för relationer

(adjacency-klassen är mängden av alla element som är ekvivalenta med avseende på : ). $[a]_\sigma$ $a$ $\sigma$ $\{ b \in A \mid (a,b) \in \sigma \}$

Faktorsystemet är alltså av samma typ som systemet . Det är grundläggande i definitionen att stabiliteten hos factoringrelationen endast krävs för huvudoperationerna, men inte för systemets relationer: för operationer är stabilitet nödvändig för en entydig övergång till cosets, medan övergången till cosets för relationer introduceras av definitionen (existensen i var och en av bimängderna av minst ett element i relationen). $\mathfrak A / \sigma$ $\mathfrak A$

Egenskaper

Den naturliga kartläggningen som associerar ett element med dess coset med avseende på kongruensen: är en homomorfism från till ett kvotsystem [1] [2] . $\phi: A \till A/\sigma$ $\phi(a) = [a]_\sigma$ $\mathfrak A$ $\mathfrak A/\sigma$

Homomorfismteoremet säger att för varje homomorfism och dess kärnkongurens är den naturliga kartläggningen (dvs. ) en homomorfism. Om homomorfismen är stark , det vill säga för varje predikat från och någon uppsättning av element , antyder påståendet förekomsten av förbilder så att det är en isomorfism . Således sammanfaller mängden av alla faktorsystem i ett givet system, fram till isomorfism, med mängden av alla dess starkt homomorfa bilder [3] . För algebror som inte har relationer i signaturen är varje homomorfism stark, det vill säga uppsättningen faktoralgebror för en given algebra, upp till isomorfism, sammanfaller med uppsättningen av dess homomorfa bilder. $\phi: \mathfrak A (A, F, R) \to \mathfrak A' (A', F', R')$ ${\displaystyle \sigma _{\phi }=\{(x,y)\in A\times A|\phi (x)=\phi (y)\))$ $\phi^\star: \mathfrak A/\sigma_\phi \to \mathfrak A'$ $\phi^\star([a]_\sigma) = \phi(a)$ $\phi$ $r'_k\in R'$ $a'_1,\dots a'_n \i A'$ $(a'_1,\dots a'_n) \in r'_k$ $a_1 \in \phi^{-1}a'_1, \dots a_n \in \phi^{-1}a'_n$ $(a_1,\prickar a_n) \i r_k$ $\phi$

Anteckningar

↑ Maltsev, 1970 , sid. 61-62.
↑ Gretzer, 2008 , Lemma 2, sid. 36.
↑ Maltsev, 1970 , Sats 1, sid. 63-64.

Litteratur

Artamonov V. A. . Kapitel VI. Universal Algebras // Allmän algebra / Ed. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referens matematiskt bibliotek). — 25 000 exemplar. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Cohn P. Universal algebra. - M .: Mir , 1969. - 351 sid.
Maltsev A.I. Algebraiska system. — M .: Nauka , 1970. — 392 sid. - 17 500 exemplar.
Gratzer, George. . Universal algebra. 2:a upplagan. - Springer , 2008. - 585 sid. — ISBN 978-0-387-77486-2 .