Falskt projektivt plan

Det falska projektiva planet (eller Mumford ytbehandlar ) är en av 50 komplexa algebraiska ytor som har samma Betti-nummer som det projektiva planet , men som inte är homeomorfa till det. Sådana objekt är alltid allmänna algebraiska ytor .

Historik

Severi frågade om det finns komplexa ytor som är homeomorfa till det projektiva planet men inte biholomorfa till det. Yau [1] visade att det inte finns några sådana ytor, så den närmaste approximationen till det projektiva planet kan vara ytor med samma Betti-tal som det projektiva planet.

Det första exemplet hittades av Mumford [2] med hjälp av p - adic uniformisering som introducerades oberoende av Kurihara och Mustafin. Mumford noterade också att Yaus resultat och Weils sats om styvheten hos kompakta undergrupper av PU(1,2) antyder att det bara finns ett ändligt antal falska projektiva plan. Ishida och Kato [3] hittade ytterligare två exempel med liknande metoder, och Kim [4] hittade ett exempel med en automorfism av ordning 7 som är birational till graden 7 cyklisk täckning av Dolgachev-ytan . Prasad och Yen [5] [6] hittade ett systematiskt sätt att klassificera alla falska projektiva plan genom att visa att det finns tjugoåtta klasser, som var och en innehåller minst ett exempel på ett falskt projektivt plan upp till isometri, och att fem andra klasser kan finns, men senare visade det sig att det inte finns några sådana klasser. Problemet med uppräkning av alla falska projektiva plan reduceras till uppräkning av alla undergrupper av ett lämpligt index av det explicit givna gittret som är associerat med varje klass. Genom att utöka dessa beräkningar, visade Cartwright och Stager [7] att tjugoåtta klasser uttömmer alla möjligheter för falska projektiva plan och att det finns totalt 50 exempel definierade upp till isometri, eller 100 falska projektiva plan av biholomorfismer.

En allmän yta med samma Betti-tal som en minimal icke-allmän yta måste ha Betti-tal av antingen det projektiva planet P 2 eller kvadraten P 1 × P 1 . Shavel [8] konstruerade några "falska quadrics" - ytor av allmän typ med samma Betti-tal som quadrics. Beauville-ytor ger ytterligare exempel.

Motsvarigheterna till falska projektiva ytor i högre dimensioner kallas falska projektiva utrymmen .

Grundläggande grupp

Som en konsekvens av Aubin och Yaus arbete med att lösa Calabi-förmodan i fallet med negativ Ricci-krökning [1] [9] , är varje falskt projektivt plan en faktor för den komplexa enhetskulan av en diskret undergrupp , vilket är grundgruppen för det falska projektiva planet. Denna fundamentala grupp måste därför vara torsionsfri och vara en kokompakt diskret undergrupp av PU(2,1) med Euler-Poincaré-karaktäristik 3. Klingler [10] och Jahn [11] visade att denna fundamentala grupp också måste vara en aritmetisk grupp . Det följer av Mostovoys resultat om strikt stelhet att grundgruppen definierar det falska planet i strikt mening, nämligen att varje kompakt yta med samma grundgrupp måste vara isometrisk till den.

Två falska projektiva plan anses vara av samma klass om deras fundamentala grupper ingår i samma maximala aritmetiska automorfismundergrupp i enhetskulan. Prasad och Yen [5] [6] använde Prasads volymformel [12] för aritmetiska grupper för en lista med 28 icke-tomma klasser av falska projektiva plan och visade att det kan finnas högst fem andra klasser, som med största sannolikhet inte existerar (se bilaga till artikeln , där klassificeringen har uppdaterats och vissa fel i originalartikeln har rättats).

Cartwright och Staeger [7] verifierade att dessa ytterligare klasser inte verkligen existerar och listade alla möjligheter inom tjugoåtta klasser. Det finns exakt 50 falska projektiva plan upp till isometri, och därför 100 olika falska projektiva plan upp till biholomorfism.

Grundgruppen för det falska projektiva planet är en aritmetisk undergrupp till gruppen PU(2,1). Vi kommer att beteckna med k det associerade talfältet (helt reellt) och med G den associerade k -formen av gruppen PU(2,1). Om l  är en kvadratisk förlängning av ett fält k över vilket G är en inre form, så är l ett helt imaginärt fält. Det finns en divisionsalgebra D med centrum l och grad över l 3 eller 1, med en involution av det andra slaget som är begränsad till en icke-trivial automorfism l över k , och en icke-trivial hermitisk form på en modul över D av dimension 1 eller 3 sådan att G är en speciell enhetlig grupp denna hermitiska form. (Som en konsekvens av arbetet av Prasad och Yen [5] och arbetet av Cartwright och Staeger, har D grad 3 över l och modulen har dimension 1 över D. ) Det finns en verklig plats i fältet k så att punkter av formen G bildar en kopia av gruppen PU (2.1), de bildar en kompakt grupp PU(3) över alla andra reella platser i fältet k .

Det följer av ett resultat av Prasad och Yen [5] att automorfismgruppen i det falska projektiva planet antingen är en cyklisk grupp av ordningen 1, 3 eller 7, eller en icke-cyklisk grupp av ordningen 9, eller en icke-abelian ordningsgrupp 21. Faktorerna för falska projektiva plan över dessa grupper studerades av Kim [13] , Cartwright och Staeger [7] .

Lista över 50 falska projektiva plan

k l T Index Falska projektiva plan
F 5 3 3 falska plan i 3 klasser
3 3 3 falska plan i 3 klasser
2 21 7 falska plan i 2 klasser. En av dessa klasser innehåller exempel från Mumford och Kim.
2, 3 3 4 falska plan i 2 klasser
2.5 ett 2 falska plan i 2 klasser
2 3 10 falska plan i 4 klasser, inklusive exempel hittade av Ishida och Kato.
2 ett 2 falska plan i 2 klasser
2 3 2 falska plan i 2 klasser
2 9 7 falska plan i 2 klasser
2 eller 2.3 1 eller 3 eller 9 5 falska plan i 3 klasser
2 eller 3.3 21 eller 3.3 5 falska plan i 3 klasser

Anteckningar

  1. ↑ 12 Yau , 1977 .
  2. ↑ Mumford, 1979 .
  3. ↑ Ishida, Kato, 1998 .
  4. ↑ Keum, 2006 .
  5. ↑ 1 2 3 4 Prasad, Yeung, 2007 .
  6. ↑ 12 Prasad , Yeung, 2010 .
  7. ↑ 1 2 3 Cartwright, Steger, 2010 .
  8. ↑ Shavel, 1978 .
  9. ↑ Yau, 1978 .
  10. ↑ Klinger, 2003 .
  11. ↑ Yeung, 2004 .
  12. ↑ Prasad, 1989 .
  13. ↑ Keum, 2008 .

Litteratur

Länkar