Flexagon

Flexagoner (från engelska  till flex , lat.  flectere - vika, böja, böja och grekiska ωνος - kvadrat) - platta modeller av pappersremsor som kan vikas och böjas på ett visst sätt. När flexagonen viks blir ytor som tidigare gömts i flexagonstrukturen synliga och tidigare synliga ytor går in.

Många flexagoner är kvadratiska (tetraflexagoner) eller hexagonala (hexaflexagoner). Det finns dock flexagoner av andra former, inklusive rektangulära och ringformade.

För att skilja mellan plan appliceras siffror, bokstäver, bildelement på flexagonens sektorer eller helt enkelt målade i en viss färg.

Historik

Den första flexagonen upptäcktes 1939 av en engelsk student , Arthur Stone , som då studerade matematik vid Princeton University i USA. Papper i Letter- storlek var för brett för att passa i A4 -pärmen . Sten skar av kanterna på papperet och började vika olika former från de resulterande remsorna, varav en visade sig vara en trihexaflexagon [1] [2] .

Snart skapades en "Flexagon Committee", som förutom Stone inkluderade matematikstudenten Brian Tuckerman , fysikstudenten Richard Feynman och matematikprofessorn John W. Tukey [2] .

År 1940 hade Feynman och Tukey utvecklat teorin om flexagoner och därmed lagt grunden för all efterföljande forskning. Teorin publicerades inte i sin helhet, även om delar av den senare återupptäcktes [2] . Attacken på Pearl Harbor avbröt arbetet i Flexagonkommittén, och kriget spred snart alla fyra av dess grundare i olika riktningar [3] .

Flexagoner blev populära efter att Martin Gardners första kolumn "Mathematical Games" dök upp i decembernumret 1956 av Scientific American , tillägnad hexaflexagoner [4] [5] .

Flexagoner har upprepade gånger patenterats i form av leksaker, men har inte kommersialiserats i stor utsträckning [6] [7] .

Typer av flexagoner

Ytorna på en flexagon kan bestå av liksidiga eller likbenta trianglar, kvadrater, femhörningar etc. En flexagon kan tillåta att ett visst antal ytor dyker upp; några av dem kan vara avvikande (dvs. inkludera sektorer med olika nummer). En flexagon av en given form med ett givet antal plan kan göras från olika utvecklingar. Dessutom kan till och med samma upplindning tillåta olika vikningsalternativ [3] [8] .

Namn på flexagoner

Namnen på många flexagoner är bildade enligt principen "prefix (antal ytor) + prefix (form) +" flexagon "". Det första prefixet anger alltså hur många ytor flexagonen har, som kan öppna sig förr eller senare, och det andra anger hur många delar varje sådan yta är indelad i. Till exempel är en tetratetraflexagon en flexagon med fyra ytor som var och en består av fyra kvadrater; hexahexaflexagon - en flexagon med sex ytor, som var och en består av sex trianglar; dodecahexaflexagon - en flexagon med tolv ("dodeca") ytor, som var och en består av sex ("hexa") sektorer, etc. [9]

Det finns dock inget allmänt accepterat namnsystem för flexagoner. Martin Gardner använde termerna "tetraflexagon" och "hexaflexagon" för att beteckna flexagoner som består av kvadrater respektive trianglar, och ytorna på en tetraflexagon kunde bestå av fyra eller sex kvadrater [3] . I boken Flexagoner Inside Out , betecknas flexagoner med formen på sektorerna (fyrkantiga, femkantiga, etc.) [10] [11]

Vid ett senare tillfälle började flexagoner med 8 respektive 12 triangulära sektorer kallas okta- och dodekaflexagoner [8] . Om flexagonytornas sektorer är regelbundna eller likbenta trianglar, så finns det förutom hexaflexagoner triangulära tetra-, penta-, hepta-, oktaflexagoner [11] .

Tidskrifterna "Science and Life" använde huvudsakligen IUPAC-prefixsystemet [12] [13] [14] [15] .

Hexaflexagoner

En hexagon är en flexagon formad som en vanlig hexagon. Varje flexagonyta består av sex triangulära sektorer.

Det finns många hexaflexagoner som skiljer sig åt i antalet ytor. Kända hexaflexagoner med tre, fyra, fem, sex, sju, nio, tolv, femton, fyrtioåtta ytor; antalet plan begränsas endast av det faktum att papperet har en tjocklek som inte är noll [9] [1] [3] [16] [17] .

Antalet typer av hexaflexagoner växer snabbt med ökningen av antalet ytor: det finns 3 typer av hexahexaflexagoner, 4 typer av heptahexaflexagoner, 12 typer av oktahexaflexagoner, 27 typer av ennahexaflexagoner och 82 typer av dekahexaflexagoner [3] [18] .

Trihexaflexagon

Trogen sitt namn är en trihexaflexagon en hexagonal flexagon med tre ytor. Det är den enklaste av alla hexaflexagoner (exklusive unahexaflexagon och duohexaflexagon ). Det är en tillplattad Möbiusremsa [1] [3] . En trihexaflexagon kan rullas ihop från en pappersremsa uppdelad i tio liksidiga trianglar [16] [1] . Trihexaflexagonen viks med pinch flex- metoden [16] [1] [19] , med en 60° rotation efter varje veck.

Hexahexaflexagon

En hexahexaflexagon är en flexagon med sex hexagonala ytor. En hexahexaflexagon kan göras av en remsa 19 trianglar lång [9] [19] [17] .

Tetraflexagoner

Den enklaste tetraflexagonen (flexagon med fyrkantiga ytor) är tritetraflexagon, som har tre ytor. Endast två av de tre ytorna är synliga vid varje givet ögonblick.

Mer komplex hexatetraflexagon och decatetraflexagon är sammansatta av korsformad brotsch utan användning av lim [12] . Tetraflexagoner med 4 n  + 2 plan kan också tillverkas av kvadratiska ramar [3] .

Sicksackremsor av papper kan användas för att göra tetratetraflexagoner och andra tetraflexagoner med ett antal plan delbara med 4 [21] .

Ringflexagoner

En ringformig flexagon är en flexagon vars yta är en "ring" av polygoner. Prefixet "circo" kan användas för att benämna ringflexagoner, till exempel är pentacircodecaflexagon en ringflexagon med fem plan, var och en bestående av tio polygoner (femhörningar) [22] ; trigemicircohexaflexagon - en flexagon med tre ytor, som var och en är en ring ( circo ) av halvor ( hemi ) av vanliga hexagoner ( hexa ) [14] .

The Tuckerman Way

Ett enkelt sätt att hitta alla ytor på en hexagon - Tuckerman-gången - är att hålla flexagonen i ett hörn och öppna modellen tills den slutar öppnas, rotera sedan flexagonen 60° medurs, ta tag i det intilliggande hörnet och upprepa att samma [19] [17] .

När man går runt Tuckerman öppnas hexahexaflexagonens plan i ordningen: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (eller i omvänd ordning), varefter sekvensen kommer att upprepas. Denna sekvens kallas för Tuckerman-banan [19] [17] .

Vikningsmetoder ("flexer")

Hexaflexagoner

Den hexaflexagonvikningsmetod som beskrivs ovan, som används för att kringgå alla plan (Tuckerman-banor), kallas pinch flex [20] . Det finns följande metoder för att vika hexaflexagoner:

  • pinch flex [20] (utför på hexaflexagoner med tre eller fler plan)
  • v-flex [23] [24] (utför på hexaflexagoner med fyra eller fler plan)
  • tuck flex [25] , "boat-hexahedron" [19] (uppträda på hexaflexagoner med fyra plan eller fler)

och andra [26]

Anomalier

Ett flexagonplan (en uppsättning sektorer) med olika nummer kallas ett avvikande plan , och en flexagon med ett synligt avvikande plan (i ett anomalt läge) kallas en avvikande flexagon [19] [17] [27] . Uppkomsten av anomala plan är möjlig på flexagoner av tillräckligt hög ordning, till exempel på hexahexaflexagon [19] , dodecahexaflexagon [27] . Den enklaste hexaflexagonen, som tillåter uppkomsten av anomalier, är tetrahexaflexagon [22] . För att uppnå onormala plan används andra vikmetoder än "standard" pinch flex [19] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Science and Life, 1970, nr 1
  2. ↑ 1 2 3 Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline Berättelsen om Flexagon Arkiverad 26 maj 2011 på Wayback Machine
  3. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Martin Gardner, Math pussel och kul
  4. ↑ Martin Gardners samlingar av "Mathematical Games"-kolumner Arkiverade 29 augusti 2014 på Wayback Machine . Muppetlabs
  5. ↑ Gardner, Martin. Flexagoner  // Scientific American  . - Springer Nature , 1956. - December ( vol. 195 , nr 6 ). - S. 162-168 . - doi : 10.1038/scientificamerican1256-162 .
  6. ↑ Rogers, Russell E.; Andrea, Leonard DL Utbytbara nöjesapparater och liknande . Freepatentsonline.com (21 april 1959). Hämtad 30 juli 2013. Arkiverad från originalet 13 augusti 2013.
  7. ↑ Patent . Hämtad 31 juli 2013. Arkiverad från originalet 18 juli 2012.
  8. ↑ 12 Scott Sherman . Flexagon namngivning och terminologi . Arkiverad från originalet den 5 januari 2009.
  9. ↑ 1 2 3 Science and Life, 1970, nr 3
  10. ↑ Les Pook, Flexagoner inifrån och ut
  11. ↑ 12 Scott Sherman . Triangel Flexagon Bestiary . Arkiverad från originalet den 12 juni 2008.
  12. ↑ 1 2 Science and Life, 1975, nr 9
  13. ↑ Science and Life, 1992, nr 4
  14. ↑ 1 2 Science and Life, 1993, nr 11
  15. ↑ Science and Life, 1993, nr 12
  16. ↑ 123 Flexagoner . _ _ Mathematische Basteleien. Arkiverad från originalet den 9 mars 2017.
  17. ↑ 1 2 3 4 5 Science and Life, 1970, nr 2
  18. ↑ OEIS -sekvens A000207 Antalet hexaflexagoner av ordningen n+2
  19. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Science and Life, 1977, nr 2
  20. ↑ 1 2 3 Scott Sherman. The Pinch Flex . Arkiverad från originalet den 5 januari 2009.
  21. ↑ Science and Life, 1972, nr 3
  22. ↑ 1 2 Science and Life, 1977, nr 8
  23. ↑ Flexagon Portal v-flex video Arkiverad 6 september 2013 på Wayback Machine
  24. ↑ Scott Sherman. V-flexen . Arkiverad från originalet den 23 augusti 2016.
  25. ↑ Scott Sherman. Tuck Flex . Arkiverad från originalet den 23 augusti 2016.
  26. ↑ Scott Sherman. Triangel Flexagon Flexes . Arkiverad från originalet den 23 augusti 2016.
  27. ↑ 1 2 Kvant, 1992, nr 10

Litteratur

Böcker

  • Martin Gardner . Matematiska pussel och underhållning = Matematiska pussel och avledningar / Per. Yu. A. Danilova , red. Ya. A. Smorodinsky . - 2:a. - M .: Mir, 1999. - ISBN 5-03-003340-8 .
  • Les pook. Flexagoner inifrån och ut  . — Cambridge University Press. — 182 sid. — ISBN 0-521-81970-9 .
  • Les pook. Serious Fun with Flexagons: A Compendium and Guide  . - 2009 års upplaga (17 augusti 2009). — Springer. — 346 sid. — ISBN 978-90-481-2502-9 .

Artiklar

  • A.A. Panov. Flexagoner, flexorer, flexmans  // Kvant . - 1988. - Nr 7 . - S. 10-14 .
  • I. Kan. Anomala flexagoner  // Kvant. - 1992. - Nr 10 . - S. 57-59 .
  • Flexagoner  // Vetenskap och liv . - 1970. - Nr 1 . - S. 124-125 . Trihexaflexagon
  • Flexagoner  // Vetenskap och liv . - 1970. - Nr 2 . - S. 68-69 . Hexahexaflexagon, Tuckerman-banan
  • Flexagoner  // Vetenskap och liv . - 1970. - Nr 3 . - S. 154-155 . Andra hexaflexagoner
  • Flexagoner  // Vetenskap och liv . - 1970. - Nr 8 . - S. 149 . Korrespondens med läsarna
  • Flexagoner  // Vetenskap och liv . - 1972. - Nr 3 . - S. 142-143 . Tetraflexagoner
  • Flexagoner  // Vetenskap och liv . - 1972. - Nr 4 . - S. 107 . Stones flexorör
  • Flexagoner  // Vetenskap och liv . - 1975. - Nr 7 . - S. 154-155 . Stones flexorör (fortsättning)
  • Flexagoner  // Vetenskap och liv . - 1975. - Nr 9 . - S. 121-123 . Hexatetraflexagon, decatetraflexagon, IUPAC-prefix
  • I. Konstantinov. Flexagon spår  // Vetenskap och liv . - 1977. - Nr 2 . - S. 92-96 , V. Tunnelöverföring
  • Flexagoner  // Vetenskap och liv . - 1977. - Nr 8 . - S. 98-99 . Rumsliga modeller av översättningsdiagram. Pentacircodecaflexagon
  • I. Kan. Hemitetraflexagoner  // Vetenskap och liv . - 1992. - Nr 4 . - S. 126-127 . Hemitetraflexagoner
  • I. Kan. Hemitetra- och hemihexaflexagoner  // Vetenskap och liv . - 1993. - Nr 11 . - S. 150-152 .
  • I. Kan. Triangulära flexagoner  // Vetenskap och liv . - 1993. - Nr 12 . - S. 42-43 .

Länkar

  • Harold V. McIntosh, Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline. Flexagoner  (engelska) (1962,2000,2003). — Artiklar om flexagoner i PDF-format. Hämtad 30 juli 2013. Arkiverad från originalet 13 augusti 2013.
  • Harold V. McIntosh. Mina Flexagon- upplevelser  . — Innehåller värdefull historisk information och teori; författarens webbplats har flera flexagonrelaterade artiklar listade i [1] . Hämtad 30 juli 2013. Arkiverad från originalet 13 augusti 2013.
  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk