Fokus -i geometri, en punkt i förhållande till vilken (som) vissa kurvor är konstruerade . Till exempel kan en eller två foci användas för att konstruera koniska sektioner , som inkluderar cirkeln , ellipsen , parabeln och hyperbeln . Dessutom används två knep i konstruktionen av Cassinis oval och Descartes oval . Fler foci beaktas när en n-ellips definieras .
En ellips kan definieras som platsen för punkter där summan av avstånden till de två brännpunkterna är en konstant.
En cirkel är ett specialfall av en ellips som har två brännpunkter. Därför kan en cirkel definieras som lokus för punkter, som var och en är på samma avstånd från ett enda fokus. En cirkel kan också definieras som Apollonius cirkel med två brännpunkter som en uppsättning punkter som har samma förhållande mellan avstånd till två brännpunkter.
En parabel är ett extremfall av en ellips, där en av brännpunkterna är en punkt i oändligheten .
En hyperbel kan definieras som en uppsättning punkter för vilka modulen för skillnaden mellan avstånden till två brännpunkter är en konstant.
Alla koniska sektioner kan också definieras med ett fokus och en direktrix, vilket är en rak linje som inte innehåller fokus. Den koniska sektionen definieras som platsen för punkter för vilka förhållandet mellan avståndet till fokus och avståndet till riktningen är ett fast positivt värde, kallat excentriciteten e . Om e är i intervallet från 0 till 1 är koniska sektionen en ellips, om e = 1 - en parabel, om e > 1 - en hyperbel. Om avståndet till fokus är fixerat och riktlinjen är en rät linje i oändligheten, så är excentriciteten noll och koniken är en cirkel.
Det är också möjligt att definiera koniska sektioner som lokus för punkter som är lika långt från ett enda fokus till en guidecirkel. För en ellips har cirkelns fokus och centrum ändliga koordinater, medan guidecirkelns radie är större än avståndet från cirkelns mittpunkt till fokus. Därför ligger fokus innanför guidecirkeln. Således, i den resulterande ellipsen, är det andra fokuset beläget i mitten av styrcirkeln och hela ellipsen ligger inuti cirkeln.
För en parabel skiftar mitten av guidecirkeln till en punkt i oändligheten. Då blir cirkeln en kurva med noll krökning, omöjlig att skilja från en rät linje. De två grenarna av parabeln, när de rör sig bort till oändligheten, blir närmare och närmare parallella linjer.
När man konstruerar en hyperbel väljs styrcirkelns radie att vara mindre än avståndet mellan cirkelns centrum och fokus. Därför ligger fokus utanför guidecirkeln. Hyperbelns grenar närmar sig asymptoterna, där hyperbelns vänstra gren "möter" den högra grenen vid punkter i oändligheten. Sålunda, inom ramen för projektiv geometri, är de två grenarna av en hyperbel halvor av en kurva stängd i oändligheten.
I projektiv geometri är alla koniska sektioner ekvivalenta i den meningen att varje teorem som är tillämplig på en typ av sektion också är tillämplig på andra slag.
Inom ramen för gravitationsproblemet med två kroppar beskrivs omloppsbanorna för två kroppar som rör sig runt varandra av två koniska sektioner som skär varandra och har ett gemensamt fokus i massans centrum .
Till exempel har Plutos måne Charon en elliptisk bana med en av brännpunkterna i barycentret av Pluto-Charon-systemet, beläget i utrymmet mellan Pluto och Charon. Pluto rör sig också längs en ellips, vars ena är belägen vid detta barycenter. Plutos elliptiska bana ligger helt och hållet inom Charons bana.
Som jämförelse rör sig Månen längs en ellips, vars ena brännpunkt är belägen i barycentret av jord-månesystemet beläget under jordens yta, medan jordens centrum också rör sig i omloppsbana runt barycentret. Avståndet mellan barycentrum och jordens centrum är ungefär 3/4 av jordens radie.
I sig självt rör sig Pluto-Charon-systemet i en ellips runt sitt barycentrum med solen, precis som jord-månesystemet. I båda fallen är barycentret beläget djupt under solens yta.
Binära stjärnor cirkulerar också i ellipser, vars ena brännpunkt är systemets masscentrum.
Descartesovalen är en uppsättning punkter, för var och en av vilka den viktade summan av avstånden till de två givna brännpunkterna är en konstant. Om vikterna är lika är kurvan en ellips.
Cassini-ovalen är en uppsättning punkter, för var och en av vilka produkten av avstånden till två givna brännpunkter är en konstant.
En n-ellips är en uppsättning punkter, varifrån avståndet till n brännpunkter är detsamma. I fallet med n =2 är n-ellipsen en vanlig ellips.
Begreppet fokus kan generaliseras till godtyckliga algebraiska kurvor. Låt C vara en kurva av klass m och låt I och J beteckna cirkulära punkter i oändligheten. Dra m tangenter till C genom var och en av punkterna I och J . Nu finns det två uppsättningar av m linjer som har m 2 skärningspunkter (det finns undantag i vissa fall). Sådana skärningspunkter kan betraktas som fokus för kurvan C. Med andra ord är en punkt P ett fokus om PI och PJ tangerar C . Om C är en reell kurva, så finns det m reella brännpunkter och m 2 − m imaginära brännpunkter . Om C är en konisk sektion, så är foci som erhålls vid konstruktionen av tangenter samma foci som används i den geometriska konstruktionen av koniska sektioner.