Beauville-Bogomolov form

Beauville-Bogomolov-formen (även Beauville-Bogomolov-Fujiki ) är en kvadratisk form som existerar på den andra kohomologin av en kompakt hyperkähler-manifold . Uppkallad efter Arnaud Beauville och Fjodor Bogomolov . $H^{2}(X,{\mathbb {C}})$

Definition

Låta vara en generator i , vald så att (det vill säga den symboliska formen av ). Då medger vilken 2-form som helst en nedbrytning till Hodge-komponenter : . Vi definierar den kvadratiska formen med följande formel: $\sigma$ $H^{{2,0}}(X,{\mathbb {C}})$ $\int _{{X}}(\sigma \overline {\sigma })^{{n}}=1$ $\alpha =\lambda \sigma +\mu \overline {\sigma }+\beta ;\beta \in H^{{1,1}}(X)$

$q(\alpha )=\lambda \mu +n/2\int _{{X}}\beta ^{{2}}(\sigma \overline {\sigma })^{{n-1}}$

Egenskaper för Beauville-Bogomolov-formen

Låt vara en universell lokal deformation (dess bas kommer att vara en boll). Sedan för tillräckligt nära , , (i den sista formeln betecknar det en symmetrisk bilinjär form konstruerad enligt den kvadratiska formen definierad ovan). ${\mathfrak {X}}\till B$ $X$ $B$ $t\i B$ $0$ $q({\sigma }_{{t)))=0$ $q({\sigma }_{t},\overline {{\sigma }_{t)))>0$ $q$
En karta som pekar en punkt till en punkt som motsvarar en form i den andra kohomologiprojektiviseringen är dessutom en lokal isomorfism med en uppsättning nollor av formen (Torellis lokala teorem ). $t\i B$ ${\sigma }_{t}$ ${\mathbb {P}}(H^{{2}}(X,{\mathbb {C)))))$ $q$
$q|_{{H^{{2))(X,{\mathbb {R))))}$ är en icke-degenererad form av signaturen , där är det andra Betti-talet . $(3,b_{{2}}(X)-3)$ $b_{2}$
Fujikas relation : if , var är någon konstant som inte beror på den komplexa strukturen på (men bara på dess topologi). $\alpha \in H^{{2}}(X,{\mathbb {R}});{q(\alpha )}^{{n}}=c\int _{{X}}{\alpha } ^{{2n}}$ $c$ $X$

Länkar

Global Torelli-sats för hyperkaehlers manifolds , Misha Verbitsky