Bogomolov, Fedor Alekseevich

Fedor Bogomolov

Födelsedatum	26 september 1946 (76 år)( 1946-09-26 )
Födelseort	Moskva , Ryska SFSR , Sovjetunionen
Land	USSR Ryssland
Vetenskaplig sfär	matte
Arbetsplats	NRU HSE MIAN Courant Institute of Mathematical Sciences [1] New York University [2] [1]
Alma mater	Moscow State University (Mekhmat)
Akademisk examen	Doktor i fysikaliska och matematiska vetenskaper
Akademisk titel	Professor
vetenskaplig rådgivare	S.P. Novikov

Fedor Alekseevich Bogomolov (född 26 september 1946 , Moskva ) är en sovjetisk och amerikansk matematiker , känd för sitt arbete med algebraisk geometri och talteori .

Professor vid Courant Institute of New York University, doktor i fysik och matematik. Medlem av NAS USA (2022) [3] .

Biografi

Född 26 september 1946 i Moskva . Son till radioingenjör Akademiker Alexei Fedorovich Bogomolov och bror till den berömda ryska författaren Andrei Alekseevich Molchanov .

1970 tog han examen från fakulteten för mekanik och matematik vid Lomonosov Moscow State University .

Från 1970 till 1973 var han doktorand vid Mathematical Institute. V. A. Steklova (handledare - S. P. Novikov ), 1974 försvarade han sin avhandling. Sedan 1973 - forskare vid Matematiska Institutet. V. A. Steklova. Doktor i fysikaliska och matematiska vetenskaper (1983).

1994 emigrerade han till USA , där han blev professor vid Courant Institute of Mathematics i New York.

Sedan november 2010 - Vetenskaplig chef för laboratoriet för algebraisk geometri och dess tillämpningar , matematiska fakulteten Högre Handelshögskolan i Moskva [4] .

F. A. Bogomolov är en inbjuden talare vid många internationella vetenskapliga konferenser. Från 2009 till 2014 var han chefredaktör för Central European Journal of Mathematics ( Open Math. ), var medlem i redaktionen för tidskriften Geometric and Functional Analysis .

Medlem av styrelsen för Institutet för geometri och fysik Miami-Cinvestav-Campinas, Samarbete i Amerika inom geometri och fysik [5] .

Vetenskapliga landvinningar

Den första artikeln, publicerad 1969 , ägnades åt topologi. I början av 70-talet började Bogomolov forskning inom området algebraisk geometri .

Bogomolov är en mycket citerad matematiker som arbetar inom området algebraisk geometri; hans forskning om Calabi-Yau grenrör , hyperkähler grenrör, teorin om algebraiska ytor, stabila vektorbuntar, aritmetisk algebraisk geometri underbygger modern algebraisk geometri och dess skärningspunkter med teoretisk fysik (strängteori).

F. A. Bogomolov är ansvarig för ett antal starka resultat som bestämmer utvecklingen av algebraisk geometri. Han är författare till över 100 vetenskapliga artiklar i matematik.

Fungerar underliggande hyperkähler geometri

1973 och 1974 publicerade Bogomolov en serie artiklar [6] [7] [8] där han gav ett geometriskt bevis på nedbrytningssatsen för kompakta Kähleriska samlingsrör med en trivial kanonisk bunt , vilket förbättrade Calabis resultat , visade endast under antagandet av hans namngissning . Beviset visade sig vara ofullständigt, och efter Yaus lösning på Calabi-förmodan, motbevisades Bogomolovs nedbrytningssats i Calabi-andan (bevis publicerat av Beauville ). Samtidigt visade sig Bogomolovs geometriska idéer relaterade till teorin om algebraiska foliationer vara fruktbara i vidare forskning i denna riktning.

Till skillnad från Calabis resultat innehåller Bogomolovs sönderdelningssats inte två utan tre klasser av "elementära" varieteter med en trivial kanonisk klass: stabilt algebraisk (i modern terminologi, strikta Calabi-Yau-varianter ) och primitiv Hamiltonian (i modern terminologi, irreducerbart symboliskt holomor) , eller hyperkähler grenrör). År 1978 publicerade Bogomolov en artikel Hamiltonian Kahlerian manifolds, som innehöll ett bevis på A. N. Tyurins förmodan , enligt vilken varje irreducibly holomorphically symplectic manifold är en K3-yta . [9] Detta resultat visade sig vara felaktigt: fyra år senare visade Fujiki och Beauville att Hilbert-schemat av punkter på en K3-yta och det generaliserade Kummer-förgreningsröret för en abelian yta är irreducibly homomorphically symplectic.

Samtidigt, i den här artikeln, som ett lemma , bevisas Bogomolov-Tian-Todorov-satsen för holomorft symplektiska grenrör, som säger att varje första ordningens deformation av ett hyperkähler-grenrör sträcker sig till en analytisk deformation. På samma ställe noterade Bogomolov att detta teorem också kunde bevisas för Calabi-Yau-sorter, vilket han gjorde i 1981 års IHES-förtryck. Idag ligger denna teorem till grund för den fysiska teorin om spegelsymmetri . I samma artikel , Hamiltonian Kählerian manifolds , visas förekomsten av en kvadratisk form på den andra kohomologin av varje hyperkählerian manifold, som i fallet med en K3-yta sammanfaller med skärningsformen . Nu kallas den Beauville-Bogomolov-formen och är utgångspunkten för studiet av kohomologialgebror av kompakta hyperkähler-grenrör, utfört av Verbitsky och kulminerar i beviset för den globala Torelli-satsen för hyperkählers grenrör.

År 1996 beskrev Bogomolov Guans exempel på icke-Kähler holomorphically symplectic grenrör som Hilbert scheman av punkter på en Kodaira-Thurston yta . [10] Dessa grenrör kallades senare Bogomolov-Guan grenrör , de liknar i många avseenden hyperkähler grenrör - i synnerhet tillåter de en variant av Beauville-Bogomolov-formen.

Bogomolovs artiklar om holomorfiskt symplektiska grenrör, skrivna under andra hälften av 2010-talet, handlar huvudsakligen om automorfismer av hyperkählers grenrör, [11] [12] [13] och skrevs tillsammans med olika matematiker (inklusive Verbitsky och Kamenova ). Separat är det värt att notera artikeln Lagrangian fibrations for IHS fourfolds , skriven i samarbete med Kurnosov , där Matsushita -förmodan för fyrdimensionella hyperkähler-grenrör löstes , och anger att de lagrangiska fibrationerna på dem inte har flera fibrer (när det följer att det finns en bas för en sådan fibrering ). [14] Ungefär samtidigt erhölls dessa resultat av Huybrechts och Xu . [femton] ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2))$

Foliationer och holomorfa symmetriska tensorer

I 1977 års tidning , " Familjer av kurvor på ytor av allmän typ " [16] bevisade Bogomolov att på vilken yta av allmän typ c som helst finns det bara ett ändligt antal kurvor av avgränsat släkte. Idéerna med detta bevis, baserat på övervägande av holomorfa tensorer och foliationer på sådana ytor, användes mer än 20 år senare av McQuillan [17] för att bevisa Green-Griffiths gissningar för sådana ytor. ${\displaystyle c_{1}^{2}>c_{2))$

I senare arbete, i samarbete med de Oliveira , återvände Bogomolov igen till studiet av holomorfa symmetriska tensorer på projektiva grenrör. [18] [19] [20]

Ytor av klass VII₀

I 1976 års artikel Klassificering av ytor av klass c $\mathrm {VII} _{0}$ $b_{2}=0$ [21] studerade Bogomolov ytor av den så kallade klass VII , icke-Kähler-ytor från Kodaira-Enriques- klassificeringen, vars klassificering fortfarande är ofullständig. Han bevisade att, under villkoret , medger något ändligt täckande av en sådan yta en holomorf foliation, och därför är antingen en Hopf-yta eller en Inue-yta . Med undantag för Bogomolovs teorem är det enda klassificeringsresultatet för ytor av klass VII tillgängligt för fallet , som erhölls 2005 av Telemann . [22] $b_{2}=0$ $b_2 = 1$

År 2017, i ett gemensamt arbete med Buonerba och Kurnosov , förenklade Bogomolov avsevärt beviset på sitt resultat, och förlitade sig på gruppteori. [23]

Stabila vektorbuntar

Bogomolov var bland de första geometrarna som utvidgade vetenskapen om stabila vektorbuntar på Riemann-ytor (det vill säga algebraiska kurvor) till algebraiska varianter av högre dimension. På dem kan begreppet stabilitet definieras på olika sätt; Bogomolov-instabiliteten för en bunt av rang två på en algebraisk yta reducerar till förekomsten av en ändlig delmängd (kanske tomma) och linjebuntar så att det finns en exakt trippel av skivor , och ojämlikheter gäller även för vilken riklig divisor som helst (en liknande definition kan införas i fallbuntar av högre rang). Bogomolovs instabilitetsteorem [24] säger att om det finns en olikhet på Chern-talen så är bunten instabil. I 1978 års tidning Holomorphic tensors and vector bundles on projective manifolds [25] härledde Bogomolov från dessa överväganden vad som nu är känt som Bogomolov-Miyaoka-Yau-ojämlikheten (med konstanten 4 istället för 3). $E$ $X$ $Z\subset X$ $A,B$ $0\to A\to E\to B\otimes I_{Z}\to 0$ $(AB)^{2}>0$ $(AB).H>0$ $H$ $c_{1}(E)^{2}>4c_{2}(E)$ $E$

Denna uppsats bevisar också följande

Sats. Låta vara en projektiv sort och vara en sammanhängande del av rang ett. Sedan ta-dimensionen $X$ ${\displaystyle L\subset \Omega ^{p))$ $\kappa (X,L)$ denna underskarv överstiger inte . Dessutom, i fallet med jämlikhet, finns det en bunt över en dimensionell bas så att . $sid$ $\kappa (X,L)=p$ $sid$ $f\kolon X\till Y$ $L=f^{*}(K_{Y})$

Detta är en generalisering av den klassiska Castelnuovo-de Francis- satsen, som säger att om två holomorfa 1-former på en projektiv yta multipliceras med noll, så kan denna yta avbildas på en kurva på ett sådant sätt att dessa två former är lyft. av abeliska differentialer på denna kurva. Baserat på detta Bogomolov-teorem introducerade Campana begreppet en Bogomolov -underskarva , en mättad sammanhängande underskarva av rang ett i en bunt av holomorfa former på ett projektivt grenrör vars Iitaki-dimension är . Förgreningsrör som inte tillåter Bogomolov subsheaves kallas Campana special . De fungerar som den grundläggande byggstenen i Campanas fortfarande ofullständiga projekt att representera varje algebraisk variant som en bunt med Campana specialfibrer över en orbifold av allmän typ. Det antas att egenskapen för frånvaron av Bogomolov-underskivor är likvärdig med ett brett spektrum av egenskaper, både geometriska (försvinnandet av Kobayashi-pseudometriska ) och talteoretiska (för sorter definierade över ett underfält , Zariski-tätheten av punkter definierade över någon fast finit förlängning ; ekvivalens mellan den potentiella tätheten och försvinnandet av den pseudometriska Kobayashi är en variant av Lengs välkända gissning ). [26] $\Omega ^{p}$ $sid$ $p>0$ $k\subset \mathbb {C}$ $k'\supset k$

Invariant teori och frågor om rationalitet

En av utgångspunkterna för Bogomolovs forskning om rationaliteten hos algebraiska varieteter är

Inget problem . Låt vara ett komplext vektorrum och vara en ändlig grupp som verkar på det. Är det sant att en faktor är en rationell variation? $V$ $G$ $V/G$

Till exempel, för och , en symmetrisk grupp som verkar på den genom att permutera koordinataxlarna, är rationaliteten hos en sådan faktor en välkänd huvudsats i teorin om symmetriska polynom . Exempel där en sådan faktor inte är rationell hittades 1969 av Swan och 1984 av Zaltman . Beviset för det senare baserades på Brouwer-gruppens analys av en sådan faktor. I en artikel från 1987 , The Brauer Group of Factor Spaces of Linear Representations [27] , bevisade Bogomolov att denna Brauer-grupp uteslutande kan uttryckas i termer av algebra: den sammanfaller nämligen med en undergrupp i gruppens andra kohomologi , bestående av element som begränsas av noll till alla abelska undergrupper i gruppen . Bogomolov erhöll ett liknande resultat för exakta representationer av komplexa algebraiska grupper (rationaliteten hos några av dessa faktorer bevisades i hans tidigare artikel 1985, författad med Katsylo [28] ). $V=\mathbb {C} ^{n}$ $G=\mathrm {Sym} (n)$ $B_{0}\subset H^{2}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$ $G$ $G$

Bogomolov studerade också de abelska undergrupperna av de absoluta Galois-grupperna av fält av meromorfa funktioner på godtyckliga algebraiska varianter, i synnerhet bevisade han att en abelisk undergrupp av högre rang än en finns i någon förgreningsundergrupp (det vill säga det finns en värdering som t.ex. att undergruppen ingår i Galois-undergruppen , Galois-gruppen för komplettering av fältet i denna förordning). [29] Dessa resultat stärktes därefter av honom tillsammans med Tschinkel . [30] [31] Liknande resultat erhölls också av dessa två matematiker för varieteter över ändliga fält: fältet för rationella funktioner på en algebraisk dimensionsvariation mer än en över ett ändligt fält, upp till en rent oskiljaktig förlängning, återvinns från faktorn med den andra termen av den lägre centrala serien av pro- - avslutningar av Galois-gruppen [32] (i karakteristiska noll bevisade de en sats om återställandet av fältet för rationella funktioner från dess första och andra Minlor K-grupp ). [33] $\nu$ $\mathrm {Gal} (K_{\nu })\subset \mathrm {Gal} (K)$ $\aln$

Shafarevichs hypotes

Sedan slutet av 1990-talet har Bogomolov också varit involverad i studiet av grundläggande grupper av Kählerska grenrör . En speciell plats i dessa studier upptas av gissningen formulerad av I. R. Shafarevich : den universella täckningen av ett kompakt Kähler-grenrör är holomorft konvext (det är kartlagt med kompakta fibrer på ett Stein-grenrör ). Man tror att denna gissning är giltig för komplexa projektiva varianter med resterande ändliga fundamentala grupper (det vill säga de där skärningen av alla undergrupper av ändligt index är en trivial undergrupp). Bogomolov, i samarbete med Katsarkov, försökte konstruera ytor med icke-resterande ändliga fundamentala grupper, erhålla dem som en bunt över en kurva med en fiber av en kurva med lämplig monodromi runt singulära fibrer. Återstående ändlighetsöverträdelse för sådana grupper skulle likna den negativa lösningen av Burnside-problemet , men för faktorerna i klassgruppen för sfärkartläggning med handtag istället för den fria gruppen. [34] [35] Dessa papper gav dock inga resultat på grund av den extrema komplexiteten i frågan om Kählers grundläggande grupper till vilka de reducerar, och vars exakta status inte är helt klar [36]

Rationella punkter och aritmetisk geometri

Bogomolov förde fram ett antal gissningar om strukturen av vridpunkter på elliptiska kurvor och abeliaska varianter . Följande är enklast formulerat.

Hypotes. Låt , vara två elliptiska kurvor, och vara standardprojektioner som identifierar par av punkter och . Då pekar projektionerna av uppsättningarna av torsion mot och antingen sammanfaller och och eller har som mest gemensamma punkter, där är en a priori konstant. $E$ $E'$ $E,E'\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ $x$ $-x$ $E$ $E'$ $E\simeq E'$ $B$ $B$

Denna gissning har bevisats av Laura de Marco , Holly Krieger och Ye Hexi . [37] Den mer berömda Bogomolov-förmodan är också relaterad till Manin-Mumford-förmodan, och säger att för varje inbäddning av en kurva definierad över ett talfält i dess jakobiska grenrör , antalet punkter med tillräckligt liten Nero-Severi-höjd som ligger på denna kurva är ändlig (eftersom torsionspunkterna är exakt punkterna med Nero-Severi nollhöjd, antyder detta Manin-Mumford gissningen att antalet torsionspunkter på en kurva som ligger i dess jakobiska grenrör är ändligt). Denna gissning bevisas av Yullmo och Zhang .

Bogomolovs aritmetiska resultat, i samarbete med Tschinkel et al., hänvisar till den potentiella densiteten (det vill säga densiteten efter en ändlig expansion av basfältet) för rationella punkter på Enriques-ytor [38] och elliptiska K3-ytor, [39] och densiteten av rationella kurvor på K3-ytor. [40] [41] Mochizuki anser att Bogomolovs bevis för den geometriska versionen av Spiros gissning ligger närmast hans bevis för den aritmetiska versionen av denna gissning [42] (som använder någon apparat som inte entydigt accepteras av den matematiska gemenskapen).

Anteckningar

↑ 1 2 Library of Congress Authorities (engelska) - Library of Congress .
↑ https://math.nyu.edu/people/profiles/BOGOMOLOV_Fedor.html
↑ NAS-val 2022 . Hämtad 9 maj 2022. Arkiverad från originalet 10 maj 2022. (obestämd)
↑ Plats för laboratoriet för algebraisk geometri och dess tillämpningar . Hämtad 2 juni 2012. Arkiverad från originalet 17 juni 2012. (obestämd)
↑ Institutet för geometri och fysik Miami-Cinvestav-Campinas . Hämtad 2 juni 2012. Arkiverad från originalet 5 mars 2016. (obestämd)
↑ F. A. Bogomolov, "Om sorter med en trivial kanonisk klass" , Uspekhi Mat. Nauk, 28:6(174) (1973), 193–194
↑ F. A. Bogomolov, "Kähleriska grenrör med en trivial kanonisk klass" , Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. Mat., 38:1 (1974), 11-21
↑ F. A. Bogomolov, "Om nedbrytningen av Kählerska grenrör med en trivial kanonisk klass" , Mat. Sb., 93(135):4 (1974), 573-575
↑ F. A. Bogomolov, "Hamiltonian Kähler manifolds" , Dokl. AN SSSR, 243:5 (1978), 1101–1104
↑ FA Bogomolov, "Om Guans exempel på enkelt anslutna icke-Kähler kompakta komplexa grenrör", Amer. J. Math., 118:5 (1996), 1037-1046
↑ Fedor Bogomolov, Ljudmila Kamenova, Steven Lu, Misha Verbitsky. Om Kobayashis pseudometriska, komplexa automorfismer och hyperkaehler-grenrör , 2016
↑ Fedor Bogomolov, Ljudmila Kamenova, Misha Verbitsky. Algebraiskt hyperboliska grenrör har ändliga automorfismgrupper Arkiverade 30 januari 2022 på Wayback Machine , 2017
↑ Fedor Bogomolov, Nikon Kurnosov, Alexandra Kuznetsova, Egor Yasinsky. Geometri och automorfismer av icke-Kähler holomorfa symplektiska grenrör Arkiverad 1 november 2020 på Wayback Machine , 2020
↑ Fedor Bogomolov, Nikon Kurnosov. Lagrangiska fibrationer för IHS-fyrfaldigt Arkiverad 22 maj 2021 på Wayback Machine , 2018
↑ Daniel Huybrechts, Chenyang Xu. Lagrangiska fibrationer av hyperkähler fyrfaldigt Arkiverad 7 augusti 2020 på Wayback Machine , 2019
↑ F. A. Bogomolov, "Familjer av kurvor på ytor av allmän typ" , Dokl. AN SSSR, 236:5 (1977), 1041–1044
↑ McQuillan, Michael (1998), Diophantine approximations and foliations , Publications Mathématiques de l'IHÉS vol. 87: 121–174, doi : 10.1007/BF02698862 , < http://www.num___dam.org/item___81 ? Arkiverad 22 juni 2020 på Wayback Machine
↑ Fedor Bogomolov, Bruno De Oliveira. Symmetriska tensorer och geometrin hos undervarieteterna av $\mathbb {P} ^{N}$ Arkiverad 2 februari 2022 på Wayback Machine , 2006
↑ Fedor Bogomolov, Bruno De Oliveira. Slutna symmetriska 2-differentialer av 1:a slaget , 2013
↑ Fedor Bogomolov, Bruno De Oliveira. Lokal struktur för slutna symmetriska 2-differentialer , 2014
↑ F. A. Bogomolov, “Klassificering av ytor av klass c ” $\mathrm {VII} _{0}$ $b_{2}=0$ , Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. Mat., 40:2 (1976), 273-288
↑ Andrei Teleman, Donaldson Theory on non-Kählerian ytor och klass VII ytor med , $b_{2}=1$ Inventiones Mathematicae 162, 493–521, 2005. MR : 2006i:32020
↑ Federico Buonerba, Fedor Bogomolov, Nikon Kurnosov. Klassificering av ytor med via gruppteori $\mathrm {VII} _{0}$ $b_{2}=0$ Arkiverad 21 januari 2022 på Wayback Machine , 2017
↑ Anteckningar från Math 252 - Linjära system och positivitet av vektorbuntar . Hämtad 27 augusti 2020. Arkiverad från originalet 13 november 2020. (obestämd)
↑ F. A. Bogomolov, "Holomorfa tensorer och vektorbuntar på projektiva grenrör" , Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. Mat., 42:6 (1978), 1227-1287
↑ Frederic Campana. Specialvarianter och klassificeringsteori Arkiverad 11 maj 2017 på Wayback Machine , 2001
↑ F. A. Bogomolov, "Brauer-grupp av kvotutrymmen av linjära representationer" , Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. Mat., 51:3 (1987), 485-516
↑ F. A. Bogomolov, P. I. Katsylo, “Rationality of some quotient variants” , Mat. Sb., 126(168):4 (1985), 584–589
↑ F. A. Bogomolov, "Abeliska undergrupper av Galois-grupper" , Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. Mat., 55:1 (1991), 32-67
↑ Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel. Pendlingselement i Galois-grupper av funktionsfält Arkiverad 6 april 2022 på Wayback Machine , 2000
↑ Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel. Noethers problem och härkomst , 2017
↑ Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel, "Rekonstruktion av högre dimensionella funktionsfält" , Mosc. Matematik. J. 11:2 (2011), 185–204
↑ Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel. Milnor K_2 och fälthomomorphisms , 2009
↑ Fedor Bogomolov, Ludmil Katzarkov. Komplexa projektiva ytor och oändliga grupper , 1997
↑ Fedor Bogomolov, Ludmil Katzarkov. Symplektiska Lefschetz-fibrationer med godtyckliga fundamentala grupper Arkiverad 7 maj 2021 på Wayback Machine , 1998
↑ Carlos Simpson . Byggproblemet i Kählers geometri
↑ Laura DeMarco, Holly Krieger, Hexi Ye. Uniform Manin-Mumford för en familj av släktet 2-kurvor Arkiverad 1 november 2020 på Wayback Machine , 2019
↑ Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel. Densitet av rationella punkter på Enriques ytor , 1998
↑ Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel. Densitet av rationella punkter på elliptiska K3-ytor , 1999
↑ Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel. Rationella kurvor och punkter på K3-ytor , 2003
↑ Fedor Bogomolov, Brendan Hassett, Yuri Tschinkel. Konstruera rationella kurvor på K3-ytor , 2009
↑ Shinichi Mochizuki. BOGOMOLOVS BEVIS PÅ DEN GEOMETRISKA VERSIONEN AV SZPIRO-CONJECTUREN FRÅN INTER-UNIVERSAL TEICHM ̈ULLER-TEORIN SYNPUNKT Arkiverad 8 februari 2020 på Wayback Machine , 2016

Länkar

Tematiska platser

I bibliografiska kataloger
BIBSYS: 3036010 BNF : 14514203b GND : 129921637 ISNI : 0000 0001 1763 2416 J9U : 987007454985405171 LCCN : n2001019243 NTA : 071472835 NUKAT : n2004000416 SUDOC : 079278612 VIAF : 51923039 WorldCat VIAF : 51923039