Teori om deformationer

Deformationsteori  är en gren av matematiken som studerar de oändliga förhållanden som är förknippade med att variera en lösning till en något annorlunda lösning , där  är ett litet tal eller en vektor. Infinitesimala villkor är alltså resultatet av att tillämpa differentialkalkylens tillvägagångssätt för att lösa problem med randvillkor.

Några karakteristiska tekniker som används i teorin är: differentiering av första ordningens ekvationer genom att behandla dem som kvantiteter med en försumbar liten kvadrat; möjligheten till isolerade lösningar , där variationen av lösningen är omöjlig eller inte ger något nytt; frågan är när de infinitesimala randvillkoren faktiskt är integrerbara, det vill säga deras lösningar tillåter små variationer. I en eller annan form har dessa idéer varit kända inom matematik och fysik i århundraden. Till exempel, i siffrors geometri , är en klass av resultat som kallas isolationssatser känd , med en topologisk tolkning av den öppna omloppsbanan ( grupphandling ) runt en given lösning. Perturbationsteorin beskriver också deformationer - deformationer av operatörer .

Deformationer av komplexa grenrör

Mest enastående[ förtydliga ] av teorierna om deformationer är teorin om deformationer av komplexa och algebraiska varianter . Det sattes på fast mark av Kunihiko Kodairas och Donald Spencers framträdande arbete , efter att deformationstekniken hade lyckats med den ännu mer obskyra erfarenheten av den italienska skolan för algebraisk geometri . Intuitivt skulle det vara naturligt att förvänta sig att första ordningens deformationer motsvarar tangenten Zariski -utrymmet till modulutrymmet . Generellt sett är situationen mycket mer subtil.

När det gäller komplexa kurvor kan man förstå att den komplexa strukturen på Riemann-sfären är isolerad (inga moduler), medan för släkte 1 har en elliptisk kurva en enparametersfamilj av komplexa strukturer, vilket framgår av teorin om elliptisk funktioner . Den allmänna teorin om Kodaira-Spencer definierar kohomologigruppen av kärvar som nyckeln till teorin om deformationer

H 1 (Θ)

där Θ betecknar strängen av sektionsgroddar av det holomorfa tangentknippet . Det finns ett hinder i H 2 av samma balk; som av dimensionsskäl är noll för kurvor. I fallet med släktet 0 H 1 försvinner också. För släkte 1 är dimensionen lika med Hodge-talet h 1.0 som är 1. Som bekant har alla kurvor av släkte 1 en ekvation av formen y 2 = x 3 + ax + b . De är naturligtvis beroende av två parametrar, a och b, medan isomorfismklasserna för sådana kurvor endast är en parameter. Följaktligen måste det finnas en ekvation som förbinder dessa samma a och b, som skulle beskriva isomorfismklasserna av elliptiska kurvor. Det visar sig att kurvorna för vilka b 2 a −3 är lika beskriver isomorfa kurvor, det vill säga att variera a och b är ett sätt att deformera strukturen på kurvan y 2 = x 3 + ax + b , men inte alla variationer av a, b i faktiskt ändrar isomorfismklassen för kurvan.

Man kan gå längre, med tanke på fallet med släktet g > 1, genom att använda Serre-dualitet för att relatera H 1 till:

H 0 (Ω [2] ),

där Ω är en bunt av groddar av holomorfa sektioner av cotangensknippet , och notationen Ω [2] betecknar en tensorkvadrat (och inte den andra yttre potensen , som man kan tro). Med andra ord, deformationer styrs av kvadratiska differentialer på en komplex kurva, det vill säga, återigen, något klassiskt. Dimensionen av modulutrymmet, i detta fall kallat Teichmüller-utrymmet , är 3 g − 3 enligt Riemann-Rochs sats .

Dessa exempel beskriver början av en teori som är tillämplig på holomorfa familjer av komplexa mångfalder av godtycklig dimension. Dess vidareutveckling inkluderar överföringen av dessa tekniker till andra differentiella geometriska strukturer, Grothendiecks anpassning av Kodaira-Spencer-teorin till abstrakt algebraisk geometri med efterföljande förtydligande av tidigare konstruktioner, och teorin om deformationer av andra strukturer såsom algebror.

Relation till strängteori

Den så kallade Deligne-förmodan , som uppstår i samband med algebror (och Hochschild-kohomologi ) har väckt intresse för deformationsteori i ljuset av strängteorin (ungefär för att formalisera idén att strängteori kan betraktas som en deformation av punktpartikelteori ). Nu anses det bevisat. Bland annat erbjöds det allmänt accepterade beviset på detta faktum av Maxim Kontsevich .

Anteckningar

Länkar