Kvadratisk differential

En kvadratisk differential på ett grenrör är en sektion av den symmetriska kvadraten av dess cotangensknippe . Oftast används denna fras i samband med komplexa mångfalder , och det antyds underförstått att detta avsnitt är holomorft. Kvadratiska differentialer är av extrem betydelse i teorin om komplexa kurvor, eller Riemann-ytor .

Den formella definitionen för Riemann-ytor är följande: en Riemann-yta limmas från komplexa skivor genom delvis definierade holomorfa mappningar mellan dem (limningsfunktioner). På en domän i med koordinat ges den kvadratiska differentialen som , där är någon holomorf funktion . Följaktligen, på en Riemann-yta, är en kvadratisk differential ett uttryck som har denna form i varje lokalt diagram. $\mathbb {C}$ $z$ $f(z)dz\otimes dz$ $f$

Cotangent bunt av Teichmüller-utrymmet

Betrakta en holomorf familj av släta komplexa kurvor (Riemann-ytor) parametriserade av en komplex parameter som tillhör en liten skiva (det vill säga en enparameterskurvadeformation ) . Om en Riemann-yta representeras som en uppsättning små komplexa skivor limmade av delvis definierade holomorfa avbildningar mellan dem, så ges deformationen av denna Riemann-yta genom att ändra lagen genom vilken skivorna limmas till varandra. Om vi inte betraktar hela deformationen, utan bara "den första koefficienten i dess Taylor-serie ", får vi istället för en uppsättning holomorfa skivavbildningar (beskrivningar av hur limningen förändras), en uppsättning lokalt definierade holomorfa vektorfält . De representerar Tjechov 1-samcykeln av en bunt av holomorfa vektorfält (det vill säga en holomorf tangentkärva ). Dess klass i kohomologi beror inte på täckningen av Riemannytan av atlasen, utan bara på själva deformationen (mer exakt, dess första ordningens term). $C_{t}$ $t$ $C=C_{0}$ $T_{C}$ $H^{1}(T_{C})$

Teichmüller-rummet parametriserar alla möjliga komplexa strukturer på en kurva. På motsvarande sätt är en enparameters deformation av en kurva en holomorf avbildning från en komplex skiva till ett Teichmüller-utrymme, och en första ordningens deformation är en tangentvektor till Teichmüller-rummet. Därför är tangentutrymmet till Teichmüller-utrymmet vid den punkt som motsvarar kurvan kanoniskt isomorft till kohomologiutrymmet . Genom Serra-dualitet är detta utrymme dubbelt med utrymme . Med andra ord är utrymmet för kvadratiska differentialer på en Riemann-yta det kotangenta utrymmet till motsvarande punkt i Teichmüller-rummet. $C$ $H^{1}(T_{C})$ $H^{0}(T_{C}^{*}\otimes K_{C})=H^{0}(K_{C}^{2})$

Ett annat sätt att specificera deformationen av en första ordningens kurva är att beskriva dess Kodaira-Spencer-operatör . Nämligen, om är en holomorf 1-form , eller en abelian differential av det första slaget, så efter deformation kanske dess de Rham-kohomologiklass inte representeras av någon holomorf 1-form. Jämförelse av den antiholomorfa delen av motsvarande klass ger operatorn , eller (antiholomorfa former kan identifieras med funktionaler på rymden av holomorfa former med hjälp av extern multiplikation och efterföljande integration). Denna operatör kallas Kodaira-Spencer-operatören. Om , då dess värde på den holomorfa formen är den funktionella . $\alpha \in H^{1,0}(C)$ $\alfa$ $H^{1,0}(C)\till H^{0,1}(C)$ $\Omega (C)\to \Omega ^{*}(C)$ $\Omega (C)$ $v\in T_{C}\mathrm {Teich} =H^{0}(K_{C}^{2})^{*}$ $\alfa$ $\beta \mapsto v(\alpha \otimes \beta )$

Dimension av utrymmet av kvadratiska differentialer

Om vi tillämpar Riemann-Roch-satsen på tangentbunten har vi . Graden av tangentbunten av släktet kurvan är , så härifrån kan vi uttrycka dimensionen av utrymmet av kvadratiska differentialer som . På en rationell kurva ( ), på vilken holomorfa vektorfält bildar en tredimensionell Lie-algebra , finns det därför inga kvadratiska differentialer som inte är noll. På en elliptisk kurva ( ), där det bara finns ett holomorft vektorfält, och utrymmet för kvadratiska differentialer är endimensionellt. För Hurwitz-uppskattningen innebär att försvinna , så att för kurvor av stort släkte har utrymmet för kvadratiska differentialer dimension . Som bekant är dimensionen på Teichmüller-utrymmet densamma: varje deformation av första ordningens kurva, som de säger, är obegränsad (det vill säga den kan utökas till en ärlig deformation parametriserad av en skiva). $T_{C}$ $\dim H^{0}(T_{C})-\dim H^{0}(T_{C}^{*}\otimes K_{C})=\deg(T_{C})- g+1$ $g$ $2-2g$ $\dim H^{0}(K_{C}^{2})=3g-3+\dim H^{0}(T_{C})$ $g=0$ $g=1$ $g>1$ $H^{0}(T_{C})$ $3g-3$

Noethers teorem om kvadratiska differentialer

Om det är två holomorfa 1-former, så är deras symmetriska produkt en kvadratisk differential. Med andra ord definierar symmetrisk multiplikation en mappning . På en elliptisk kurva är alla två holomorfa 1-former proportionella, och utrymmet för kvadratiska differentialer är endimensionellt, så att varje kvadratisk differential sönderfaller till en produkt av holomorfa 1-former av triviala överväganden. På liknande sätt är kartläggningen för en kurva av släkte två en isomorfism. $\alfa ,\beta$ $\alpha \otimes \beta$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$

Antag dock att kurvan medger en holomorf involution . Sedan fungerar den också som en involution på rymden av holomorfa 1-former, så den har rätt delrum med rätta tal och . De förra definierar holomorfa former på faktorn . Därför, om denna involution är hyperelliptisk , d.v.s. faktorn i den är en rationell kurva, då är detta rätta delutrymme noll, eftersom en rationell kurva inte tillåter holomorfa former, och involutionen verkar på vilken holomorf 1-form som helst som . Därför, på kvadratiska differentialer som genereras av produkter av formen , fungerar den identiskt. Å andra sidan är de kohomologiklasser på vilka den hyperelliptiska involutionen verkar identiskt just de hyperellipticitetsbevarande deformationerna. För släkte två är detta inte ett icke-trivialt tillstånd, eftersom varje kurva av släkte två är hyperelliptisk; men för kurvor av släkte tre och uppåt är detta inte längre sant. Därför, för en hyperelliptisk kurva av genus , är kartläggningen inte längre surjektiv. $C$ $\iota \colon C\to C$ $+1$ $-ett$ $C/\iota$ $\iota ^{*}\alpha =-\alpha$ $\alpha \otimes \beta$ $H^{1}(T_{C})$ $C$ $g>2$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$

Max Noethers teorem om kvadratiska differentialer säger att detta är det enda undantaget: för alla kurvor, med undantag för hyperelliptiska kurvor av släkte tre och högre, kan vilken kvadratisk differential som helst representeras som summan av monomialer av formen , där finns några holomorfa 1-former. I själva verket är ännu mer sant: på alla icke-hyperelliptiska kurvor av släktet större än två kan man välja tre holomorfa 1-former så att varje kvadratisk differential har formen , där finns några holomorfa 1-former. $\alpha \otimes \beta$ $\alfa ,\beta$ $\alfa ,\beta ,\gamma$ $\alpha \otimes \alpha '+\beta \otimes \beta '+\gamma \otimes \gamma '$ $\alpha ',\beta ',\gamma '$

När det gäller modulrum kan Noethers sats beskrivas på följande sätt. Det dubbla utrymmet till den symmetriska kvadraten är tangentutrymmet till den övre Siegel -halvrymden som parametriserar Abelian-varianter , vid den punkt som motsvarar den jakobiska varianten av kurvan . Att kartlägga en kurva till dess jakobiska grenrör ger en kartläggning från Teichmüller-utrymmet till det övre Siegel-halvutrymmet, kallat Torelli - mappningen . Differentialen för Torelli-mappningen är exakt dualen av den symmetriska multiplikationsmappningen . Således, för icke-hyperelliptiska kurvor, är denna skillnad injektiv. Observera att Torelli-kartan i sig också är injektiv för hyperelliptiska kurvor, även om den har en degenererad differential längs det hyperelliptiska lokuset. Detta påstående kallas Torellis sats för kurvor. $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)^{*}$ $C$ $\mathrm {Teich} \to {\mathfrak {Z))$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$

Semi-translationella ytor

Utanför dess nollor tillåter den kvadratiska differentialen en väldefinierad, om än upp till tecken, extraktion av en kvadratrot: om den kvadratiska differentialen i någon karta har formen , där är en ingenstans nollfunktion, så uppfyller den holomorfa 1-formen . Detta, minus form , är den enda formen med ett sådant villkor; ingen lovade dock att den analytiska fortsättningen av denna form kring noll inte skulle byta tecken. Således blir 1-formen väldefinierad först efter en dubbel beläggning förgrenad vid nollor . Det kallas spektraltäckning . Om släktet på ytan var , och inte har flera nollor, kan släktet för dess spektrala täckning härledas från relationen till Euler-egenskaperna , vilket är ekvivalent med Riemann-Hurwitz-formeln : (vi punkterar först nollor, täcker två gånger och punktera sedan nollorna tillbaka). Förenklat har vi . Observera att involutionen som omarrangerar spektraltäckningens ark, som diskuterats ovan, verkar på rymden av holomorfa former och har sina egna delrum för egenvärdena och dessutom identifieras den första med lyft av holomorfa former från faktor - det vill säga själva kurvan . Därför är det dimensionellt, och utrymmet av former som är anti-invarianta med avseende på spektraltäckningen har dimension . Perioderna för dessa former bestämmer de lokala koordinaterna på det totala utrymmet av cotangensknippet till modulutrymmet från vilket undergrenröret som motsvarar formerna med flera nollor har utelämnats. Den omvända bilden av Lebesgue-måttet på bestämmer måttet på den ändliga volymen på det totala utrymmet av cotangensknippet, dess totala volym kallas Mazur - Vicz- volymen . Värdena på dessa volymer är fortfarande ett mysterium. $q$ $f(z)dz\otimes dz$ $F Z)$ $\alpha ={\sqrt {f(z)}}dz$ $q=\alpha \otimes \alpha$ $-\alpha$ $\alfa$ $q$ $g$ $q$ $g'$ $2-2g'=2(2-2g-(4g-4))+4g-4$ $4g-4$ $g'=4g-3$ $+1$ $-ett$ $C$ $g$ $4g-3-g=3g-3$ $\mathbb {C} ^{3g-3}$

Obestämd integrering av en holomorf 1-form ger lokala koordinater utanför dess nollor, vars övergångsfunktioner är parallella översättningar , annars kallade översättningar. En yta med en atlas av denna form kallas en translationell yta . Geometriskt är det helt enkelt en platt struktur med en total vinkel vid nollor som är en heltalsmultipel av . På liknande sätt kan man integrera kvadratroten ur en kvadratisk differential (även om den är definierad till tecken). $z\mapsto z+c$ $2\pi$

Mer specifikt, låt vara en kvadratisk differential som inte är noll på Riemann-ytan , och låt vara dess nollor. Låt oss välja en annan punkt än dem . Då är den obestämda integralen väldefinierad och beror bara på banans homotopiklass, i synnerhet definierar den kartläggningen av den universella täckningen , kallad utvecklingsmapping . Detta ger en uppsättning diagram på en punkterad Riemann-yta , vars regleringsfunktioner förenklas till (där tecknet uppstår eftersom kvadratrotens tecken kan ändras när man går runt noll). En sådan geometrisk struktur kallas en semi-translationell yta . Genom att göra tillräckligt många snitt mellan nollor för att göra ytan helt enkelt sammankopplad, kan man uppnå att på det återstående området blir den utveckande avbildningen en envärdig holomorf funktion som definierar avbildningen på polygonen. Således kan en yta med en kvadratisk differential representeras som en (eventuellt icke-konvex) polygon i det komplexa planet, vars parallella sidor är limmade enligt lagen . Omvänt, om det finns en yta realiserad på detta sätt, eller av en uppsättning kartor med regleringsfunktioner av formen , återställs den kvadratiska differentialen på denna yta i varje karta som en invers bild . Det är lätt att se att dessa skillnader kommer att vara konsekventa på denna typ av plywood. Geometriskt är en semi-translationsyta en platt struktur med singulariteter som har hela vinklar som är multiplar av . $q$ $C$ $Z_{q}=\{x_{1},\dots x_{4g-4}\}$ $z_{0}\in C$ $z\mapsto \int _{z_{0}}^{z}{\sqrt {q}}$ ${\widetilde {C\setminus Z_{q))}\to \mathbb {C}$ ${\displaystyle C\setminus Z_{q))$ $z\mapsto \pm z+c$ $z\mapsto \pm z+c$ $z\mapsto \pm z+c$ $dz\otimes dz$ $\pi$

Mätbara foliationer

En kvadratisk differential vid varje punkt där den inte försvinner har två reella riktningar som ges av vektorerna och , där talet (resp. ) är positivt (resp. negativt). När ett svep visas flyttas de till horisontella och vertikala riktningar på . På ytan definierar riktningsfältet en foliation , och dessa två ömsesidigt vinkelräta foliationer kallas horisontella och vertikala . Vid nollorna i differentialen har dessa foliationer singulariteter, nämligen där konvergerar integralkurvorna för denna foliation i ett sådant antal att den totala vinkeln vid denna singularitet har en platt struktur associerad med en kvadratisk differential. ${\displaystyle v_{+))$ $v_{-}$ $q(v_{+},v_{+})$ $q(v_{-},v_{-})$ $\mathbb {C}$

Det tvärgående måttet på den verkliga foliationen kan definieras enligt följande. I en tillräckligt liten karta är foliationen helt enkelt en projektion av skivan på ett segment, vars lager är integrerade kurvor. Ett mått på ett segment definierar ett mått på vilken kurva som helst som korsar foliationen transversellt. Uppsättningen av sådana mått i varje diagram, som är konsekvent vid skärningspunkterna mellan sjökorten, kallas ett tvärgående mått på en folierad yta. Enkelt uttryckt tilldelar det tvärgående måttet till varje båge som korsar bladen numret , vilket summerar när bågen delas i en förening av mindre bågar, och ändras inte om bågen börjar variera och lämnar dess ändar på samma ark av bladverket. En foliation med ett tvärmått angivet på kallas en mätbar foliation . När det gäller foliationer associerade med en kvadratisk differential, är ovanstående projektioner helt enkelt projektioner på mm och reella axlar, som har sitt eget naturliga Lebesgue-mått . Sålunda definierar den kvadratiska differentialen inte bara ett par foliations, utan ett par av mätbara foliations. $\xi$ $\mu (\xi)$

Om det är en enkel sluten kurva, då kan värdet på det tvärgående måttet på den definieras som , där är uppsättningen av bågar som ligger på och skär foliationen tvärs över. Om är en klass av enkla stängda kurvor upp till isotopi, definieras skärningsnumret för en mätbar foliation med denna klass som . Två mätbara foliationer sägs vara ekvivalenta om de ger samma skärningspunkt med varje isotopiklass av enkla slutna kurvor. Detta är en metrisk version av konceptet homologi för två slutna differentialformer: två 1-former är kohomologiska om deras integraler över alla homologiklasser är desamma. $\xi$ $\mu (\xi )=\sup _{\xi _{1},\dots ,\xi _{m))\sum _{i=1}^{m}\mu (\xi _{ i})$ $\xi _{i}$ $\xi$ $\sigma$ $\inf _{\xi \in \sigma }\mu (\xi)$

En av standardkonsekvenserna av Hodge-teorin (faktiskt snarare utgångspunkten för dess utveckling) är att utrymmet för holomorfa 1-former på en Riemann-yta kan identifieras med utrymmet för den första de Rham-kohomologin: varje de Rham-kohomologiklass är representerad av en unik harmonisk form enligt Hodge-teorins grundläggande sats, och de harmoniska formerna på kurvan är exakt de verkliga delarna av de holomorfa. En liknande topologisk beskrivning av holomorfa data för kvadratiska differentialer ges av Mazur- Hubbard -satsen : varje mätbar foliation på en Riemann-yta medger, och dessutom, en unik kvadratisk differential vars vertikala foliation är likvärdig med den.

Litteratur

HM Farkas, I. Kra. Riemann Ytor , Graduate Texts in Mathematics. Springer, 2:a upplagan, 1992.
Michael Wolf. Om att realisera uppmätta foliationer via Qadratic differentials av harmoniska kartor till R-träd