Kubo formel

Kubo-formeln är en ekvation som uttrycker det linjära svaret av en observerad kvantitet som en funktion av en icke-stationär störning . Uppkallad efter Ryogo Kubo , som först introducerade formeln 1957 [1] [2] .

Med hjälp av Kubo-formeln kan man beräkna laddnings- och spinnkänsligheten hos elektronsystem som ett svar på pålagda elektriska och magnetiska fält. Det är också möjligt att beräkna responsen på yttre mekaniska krafter och vibrationer.

Kubos allmänna formel

Betrakta ett kvantsystem som beskrivs av en (tidsoberoende) Hamiltonian . Medelvärdet för en fysisk storhet som beskrivs av operatören kan uppskattas som: $H_{0}$ ${\hat {A}}$

\langle {\hat {A}}\rangle ={1 \över Z_{0}}\operatörsnamn {Tr} \,[{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A} }]={1 \över Z_{0}}\summa _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}

{\hat {\rho _{0}}}=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e ^{-\beta E_{n}}

var är partitionsfunktionen . Låt oss nu anta att vid tidpunkten börjar en yttre störning verka på systemet. Denna störning beskrivs av ett ytterligare tidsberoende av Hamiltonian: var är Heaviside-funktionen , som är lika med 1 för positiva tider och 0 annars och är Hermitian och definieras för alla t , så att för positiv , har en full uppsättning av verkliga egenvärden men dessa egenvärden kan ändras över tiden. $Z_{0}=\operatörsnamn {Tr} \,[{\hat {\rho }}_{0}]$ $t=t_{0}$ ${\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0}),$ $\theta (t)$ ${\hat {V}}(t)$ $t-t_{0}$ ${\hat H}(t)$ $E_{n}(t)\,,$

Men nu kan vi återigen hitta tidsutvecklingen för densitetsmatrisen från höger sida av uttrycket för partitionsfunktionen och uppskatta den matematiska förväntan som ${\hat {\rho }}(t)$ $Z(t)=\operatörsnamn {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)],$ $\langle {\hat {A}}\rangle =\operatörsnamn {Tr} \,[\rho (t)\,{\hat {A}}]/\operatörsnamn {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)].$

Tillståndens tidsberoende bestäms helt av Schrödinger-ekvationen, som motsvarar Schrödinger-bilden . Men eftersom det betraktas som en liten störning är det bekvämt att använda representationen av interaktionsbilden, i den lägsta icke-triviala ordningen. Tidsberoendet i denna representation ges av var per definition för alla t och , $|n(t)\rangle$ $i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H))(t)|n(t)\rangle ,$ ${\hat {V}}(t)$ $|{\hat {n}}(t)\rangle ,$ $|n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}|{\hat {n}}(t)\rangle =e^{-i{\ hatt {H}}_{0}t}{\hat {U}}(t,t_{0})|{\hat {n}}(t_{0})\rangle ,$ $t_0$ $|{\hat {n}}(t_{0})\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle$

I linjär ordning i får vi . Således är medelvärdet av upp till en linjär ordning med avseende på störningen lika med ${\hat {V}}(t)$ ${\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}(t')$ ${\hat {A}}(t)$

{\begin{array}{rcl}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{ t_{0}}^{t}dt'{1 \över Z_{0}}\summa _{n}e^{-\beta E_{n}}\langle n(t_{0})|{\hat {A}}(t){\hat {V}}(t')-{\hat {V}}(t'){\hat {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\&=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t) ,{\hat {V}}(t')]\rangle _{0}\end{array}}

Vinkelparenteserna betyder jämviktsmedelvärdet över den oberörda Hamiltonian . Därför, för första ordningens störningsteorin, inkluderar medelvärdet endast nollordningens egenfunktioner, vilket vanligtvis sker i störningsteorin. Detta tar bort all komplexitet som annars skulle kunna uppstå för tidpunkter . ${\displaystyle \langle \rangle _{0))$ $H_{0}.$ $t>t_{0}$

Ovanstående uttryck är sant för alla operatorer. (se även Andra kvantiseringen ) [3] .

Anteckningar

↑ Kubo, Ryogo (1957). "Statistisk-mekanisk teori om irreversibla processer. I. Allmän teori och enkla tillämpningar på magnetiska och ledningsproblem”. J Phys. soc. Jpn . 12 :570-586. DOI : 10.1143/JPSJ.12.570 .
↑ Kubo, Ryogo (1957). "Statistisk-mekanisk teori om irreversibla processer. II. Svar på termisk störning.” J Phys. soc. Jpn . 12 : 1203-1211. DOI : 10.1143/JPSJ.12.1203 .
↑ Mahan, GD. många partikelfysik. - New York: springer, 1981. - ISBN 0306463385 .