Grundläggande diskriminant

Grunddiskriminanten D är en heltalsinvariant i teorin om integrala kvadratiska former i två variabler (binära kvadratiska former). Om är en kvadratisk form med heltalskoefficienter, då är diskriminanten för formen Q ( x , y ). $Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ $D=b^{2}-4ac$

Det finns explicita kongruensvillkor , som ger många grundläggande diskriminanter. Konkret − D är en grundläggande diskriminant om och endast om följande villkor är uppfyllda

D ≡ 1 (mod 4) och fri från rutor ,
D = 4 m , där m ≡ 2 eller 3 (mod 4) och m och är kvadratfri .

De första tio positiva grundläggande diskriminanterna är:

1 , 5 , 8 , 12 , 13 , 17 , 21 , 24 , 28 , 29 , 33 ( OEIS -sekvens A003658 ).

De första tio negativa grundläggande diskriminanterna är:

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 (sekvens A003657 i OEIS ).

Koppling med kvadratrötter

Det finns ett samband mellan teorin om integrala binära kvadratiska former och aritmetiken för kvadratiska talfält . Huvudegenskapen för denna koppling är att Do är en fundamental diskriminant om och endast om eller Do är diskriminant för ett kvadratiskt talfält . Det finns exakt ett, upp till isomorfism , kvadratiskt fält för varje grundläggande diskriminant . $D_{0}=1$ $D_{0}\neq 1$

Varning : Det finns en anledning till varför vissa författare inte anser 1 vara en grundläggande diskriminant - det kan ses som ett degenererat "kvadratiskt" fält Q ( rationella tal ). $D_{0}=1$

Nedbrytning

Grundläggande diskriminanter kan beskrivas genom att de sönderfaller i positiva och negativa primtal . Låt oss definiera en uppsättning

{\displaystyle S=\{-8,-4,8,-3,5,-7,-11,13,17,-19,\;\ldots \))

där primtal ≡ 1 (mod 4) tas positiva och tal jämförbara med 3 tas negativa. Då är ett tal en grundläggande diskriminant om och bara om det är en produkt av coprime termer av S. $D_{0}\neq 1$

Anteckningar

Litteratur

Henri Cohen. En kurs i Computational Algebraic Tal Theory. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1993. - V. 138. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 3-540-55640-0 .
Duncan Buell. Binära kvadratiska former: klassisk teori och moderna beräkningar . - Springer-Verlag , 1989. - S. 69 . - ISBN 0-387-97037-1 .
Don Zagier. Zetafunktionen och quadratische Körper. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1981. - ISBN 978-3-540-10603-6 .