Omvänd bildfunktion

Pullback-funktionen är en kovariant konstruktion av remskivor . Direktbildsfunktionen är en primär operation på skivor, med en enkel definition. Den omvända bilden har mer subtila egenskaper.

Definition

Låt oss få en kärve på och vi vill gå över till att använda en kontinuerlig karta . ${\mathcal {G}}$ $Y$ ${\mathcal {G}}$ $X$ $f\kolon X\till Y$

Vi kommer att referera till resultatet som . Om vi försöker imitera definitionen av en direkt bild och uppsättning $f^{-1}{\mathcal {G}}$

f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U)),

för varje öppet set i , stöter vi omedelbart på ett problem: inte nödvändigtvis öppet. Det bästa vi kan göra är att uppskatta det med öppna uppsättningar, och även då får vi en förkärv, inte en kärve. Sålunda definierar vi som kärven som är förknippad med preskärven $U$ $X$ $f(U)$ $f^{-1}{\mathcal {G}}$

U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).

(Här är en öppen delmängd och samgränsen tas över alla öppna delmängder av utrymmet som innehåller .) $U$ $X$ $V$ $Y$ $f(U)$

Till exempel, om är bara en inbäddning av en punkt i , då är ett kärvlager vid denna punkt. $f$ $y$ $Y$ $f^{-1}({\mathcal {F}})$ ${\mathcal {F}}$

Förekomsten av restriktionsmappningar, såväl som funktionaliteten hos den omvända bilden, följer av den universella egenskapen för direkta gränser.

När morfismer av lokalt ringade utrymmen betraktas , till exempel, scheman i algebraisk geometri , arbetar man ofta med moduler , där är en strukturkärva . Då är funktorn inte lämplig, eftersom resultatet av dess tillämpning generellt sett inte är en bunt av -moduler. För att korrigera detta, i denna situation, för en bunt av -moduler , bestäms dess omvända bild av regeln $f\kolon X\till Y$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ $Y$ $f^{-1}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ ${\mathcal G}$

f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y )){\mathcal {O}}_{X}

Egenskaper

Även om det är svårare att definiera än , beräknas dess lager enklare: för punkten har vi . $f^{-1}$ ${\displaystyle f_{\ast ))$ $x\i X$ ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x))))$
$f^{-1}$ är en exakt funktion , vilket framgår av beräkningen av lagren ovan.
$f^{*}$ , i allmänhet, är bara korrekt till höger. Om exakt, sägs f vara platt . $f^{*}$
$f^{-1}$ lämnas konjugerat till den direkta bildfunktionen , det vill säga det finns en naturlig isomorfism ${\displaystyle f_{\ast ))$

\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G)),{\mathcal {F)))=\mathrm {Hom} _{ \mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}),f_{*}{\mathcal {F)))

Litteratur

Iversen, Birger , Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3 .