Jackfunktioner

I matematik erhålls Jacks funktioner som den projektiva gränsen för Jacks polynom , introducerad av Henry Jack . Jack-polynomet är ett homogent , symmetriskt polynom som generaliserar Schur-polynom och zonpolynom , och i sin tur generaliseras av Heckman-Opdam-polynom och Macdonald-polynom .

Definition

I ringen av homogena symmetriska funktioner av grad n kan den inre produkten introduceras enligt följande: , där är en bas för maktsummor, är partitionscentralisatorn och är Kronecker-symbolen . Med denna definition av den skalära produkten bildar Schur-funktionerna en ortonormal bas , och övergångsmatrisen från en monomisk bas till en bas av Schur-funktioner kommer att vara övre triangulär. ${\displaystyle \Lambda ^{n))$ ${\displaystyle <p_{\lambda },p_{\mu }>=z_{\lambda }\delta _{\mu \lambda ))$ $p_{\lambda }(x)$ ${\displaystyle z_{\lambda ))$ $\lambda$ ${\displaystyle \delta _{\mu \lambda ))$ ${\displaystyle m_{\lambda ))$ ${\displaystyle s_{\lambda ))$

En mer generell version av den skalära produktspecifikationen leder till att man överväger en bas av Jack-funktioner med liknande egenskaper. De betecknas och bestäms unikt från följande tre egenskaper: ${\displaystyle <p_{\lambda },p_{\mu }>=\alpha ^{l(\lambda )}z_{\lambda }\delta _{\mu \lambda ))$ $J_{\lambda }(x;\alpha )$

(P1) (ortogonalitet) kl

<J_{\lambda }(\alpha ),J_{\mu }(\alpha )>=0

\lambda \not =\mu

(P2) (övre triangularitet)

{\displaystyle J_{\lambda }(\alpha )=\sum \limits _{\mu \leq \lambda }\nu _{\lambda \mu }m_{\mu ))

(vilket betyder den naturliga partiella ordningen på partitioner)

(P3) (normalisering)

[m_{\lambda }]J_{\lambda }(\alpha )=h_{\lambda }(\alpha )=\prod \limits _{s\in \lambda }(\alpha a(s)+ l(s)+1)

(summering utförs över partitionsceller, a(s) - antal celler till höger om s , l(s) - antal celler under s )

De där. Jacks funktioner är resultatet av ortogonalisering med Gram-Schmidt-metoden på monomial basis.

Rekursiv formel för Jacks polynom

Jacks delade funktion , med parametern given av antalet argument , kan också definieras av följande rekursiva formel: $J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m})$ $k$ $\alfa$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m))$

För m = 1

J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1})=x_{1}^{k}(1+\alpha )\cdots (1+(k-1)\alpha )

För m >1

J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=\summa _{\mu }J_{\mu }^{( \alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m-1})x_{m}^{|\kappa /\mu |}\beta _{\kappa \mu },

där summeringen är över alla partitioner så att skevpartitionen är en horisontell rand , nämligen $\mu$ $\kappa /\mu$

\kappa _{1}\geq \mu _{1}\geq \kappa _{2}\geq \mu _{2}\geq \cdots \geq \kappa _{n-1}\geq \ mu _{n-1}\geq \kappa _{n}

( ska vara 0, annars ) och

\mu _{n}

J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=0

\beta _{\kappa \mu }={\frac {\prod _{(i,j)\in \kappa }B_{\kappa \mu }^{\kappa }(i,j)}{ \prod _{(i,j)\in \mu }B_{\kappa \mu }^{\mu }(i,j))),

där är lika om och annat. Uttrycken och betecknar konjugerade partitioner och resp. Beteckningen innebär att produkten tas över alla cellkoordinater i partitionsdiagrammet Ung . $B_{\kappa \mu }^{\nu }(i,j)$ $\kappa _{j}'-i+\alpha (\kappa _{i}-j+1)$ $\kappa _{j}'=\mu _{j}'$ $\kappa _{j}'-i+1+\alpha (\kappa _{i}-j)$ $\kappa '$ $\mu'$ $\kappa$ $\mu$ $(i,j)\in \kappa$ $(I j)$ $\kappa$

Kombinatorisk formel

1997 fick F. Knop och S. Sahi [1] en rent kombinatorisk formel för Jacks polynom i n variabler: ${\displaystyle J_{\mu }^{(\alpha )))$

J_{\mu }^{(\alpha )}=\summa _{T}d_{T}(\alpha )\prod _{s\in T}x_{T(s)}.

Summan tas över alla giltiga tabeller av formuläret och $\lambda ,$

d_{T}(\alpha )=\prod _{s\in K}d_{\lambda }(\alpha )(s),

var

d_{\lambda }(\alpha )(s)=\alpha (a_{\lambda }(s)+1)+(l_{\lambda }(s)+1).

En giltig formtabell är ett Young-diagram fyllt med siffrorna 1,2,..., n så att för varje cell ( i , j ) i tabellen, $\lambda$ $\lambda$

$T(i,j)\neq T(i',j)$ , om $i'>i.$
$T(i,j)\neq T(i,j-1)$ , om och $j>1$ $i'<i.$

$K\subset T$ är uppsättningen av kritiska celler sådan att och $s=(i,j)\in \lambda$ $j>1$ $T(i,j)=T(i,j-1).$

Detta resultat kan betraktas som ett specialfall av en mer generell kombinatorisk formel för Macdonald-polynom.

C normalisering

Jack-funktionerna bildar en ortogonal bas i rymden av symmetriska polynom, med följande inre produkt:

\langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1}},\ldots,e^{i \theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}}\ prod _{1\leq j<k\leq n}\left|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right|^{\frac {2}{ \alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}

Normalisering påverkar inte denna ortogonalitetsegenskap. Normaliseringen som beskrivs ovan kallas vanligtvis J -normalisering. C normalisering definieras som

C_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots,x_{n})={\frac {\alpha ^{|\kappa |}(|\kappa |)! }{j_{\kappa }}}J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n}),

var

j_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }\left(\kappa _{j}'-i+\alpha \left(\kappa _{i}-j+1 \right)\right)\left(\kappa _{j}'-i+1+\alpha \left(\kappa _{i}-j\right)\right).

For betecknas vanligtvis och kallas för zonpolynomet . $\alpha =2,C_{\kappa }^{(2)}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $C_{\kappa }(x_{1},\ldots ,x_{n})$

P normalisering

P -normalisering ges av identiteten , där ${\displaystyle J_{\lambda }=H'_{\lambda }P_{\lambda ))$

H'_{\lambda }=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1),

där och betecknar antalet celler till höger om den givna respektive antalet celler under den givna. Således är för den vanliga Schur-funktionen. ${\displaystyle a_{\lambda ))$ ${\displaystyle l_{\lambda ))$ ${\displaystyle \alpha =1,P_{\lambda ))$

Precis som Schur-polynom kan de uttryckas som en summa över Young-diagram. Du måste dock lägga till ytterligare vikt till varje tabell, beroende på parametern . ${\displaystyle P_{\lambda ))$ $\alfa$

Således ges formeln [2] för Jack-funktionerna som ${\displaystyle P_{\lambda ))$

P_{\lambda }=\sum _{T}\psi _{T}(\alpha )\prod _{s\in \lambda }x_{T(s)},

där summan tas över alla tabeller i formen och betecknar talet som skrivits i cell s i tabell T . $\lambda$ $T(s)$

Vikten kan definieras enligt följande: Varje T -formtabell kan representeras som en sekvens av partitioner $\psi _{T}(\alpha )$ $\lambda$

\emptyset =\nu _{1}\to \nu _{2}\to \dots \to \nu _{n}=\lambda ,

där betecknar en snedstreckform med innehåll i i T . Sedan ${\displaystyle \nu _{i+1}/\nu _{i))$

\psi _{T}(\alpha )=\prod _{i}\psi _{\nu _{i+1}/\nu _{i}}(\alpha ),

var

\psi _{\lambda /\mu }(\alpha )=\prod _{s\in R_{\lambda /\mu}-C_{\lambda /\mu )){\frac {(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu}(s)+1)}{(\alpha a_{\mu}(s)+l_{\mu}(s)+\alpha ))){\ frac {(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+\alpha )}{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1 )}}

och produkten tas endast över alla celler s i , så att s har en cell från samma rad men inte i samma kolumn. $\lambda$ $\lambda /\mu$

Koppling med Schur-polynom

När Jack-polynomet är en skalär faktor av Schur-polynomet $\alpha=1$

J_{\kappa }^{(1)}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})=H_{\kappa}s_{\kappa}(x_{1}, x_{2},\ldots ,x_{n}),

var

H_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }h_{\kappa }(i,j)=\prod _{(i,j)\in \kappa }(\ kappa _{i}+\kappa _{j}'-i-j+1)

produkten tas över alla längder av skiljeväggskrokarna . $\kappa$

Jacks karaktärer

Betrakta expansionerna av Jack-funktionerna i termer av kraftbas. Koefficienterna för denna expansion kallas Jack-tecken: $\theta _{\mu }^{\lambda }(\alpha )$ $J_{\lambda }^{(\alpha )}=\sum _{\rho }\theta _{\rho }^{\lambda }p_{\rho }.$

För vissa karaktärer av Jack erhålls följande formler:

\theta _{(1^{n})}^{\lambda }(\alpha )=1,

\theta _{(1^{n-2}2^{1})}^{\lambda }(\alpha )=\summa _{s\in \lambda }(\alpha a'(s) -l'(s)),

\theta _{(n)}^{\lambda }(\alpha )=\prod _{s\in \lambda \setminus {(1,1)))(\alpha a'(s)-l '(s)),

\theta _{\mu }^{(n)}(\alpha )={\frac {n!}{z_{\mu }}}\alpha ^{nl(\mu )},

\theta _{(1^{n})}^{\lambda }(\alpha )=\theta _{\mu }^{(n)}(-1)={\frac {n!} {z_{\mu ))}(-1)^{nl(\mu )},

var är antalet celler till vänster om s i Young-diagrammet, är över s , är partitionscentraliseraren lika med $a'(s)$ $l'(s)$ ${\displaystyle z_{\lambda ))$ $\lambda =[1^{m_{1}(\lambda )}2^{m_{2}(\lambda )}\dots ]$ $z_{\lambda }=\prod _{i}i^{m_{i}(\lambda )}m_{i}(\lambda )!$

Jack karaktärsegenskaper:

Jacks tecken är polynom med heltalskoefficienter på . $\alfa$
Ortogonalitetsrelation. $\sum _{\nu }z_{\nu}\alpha ^{l(\nu )}\theta _{\nu}^{\lambda }(\alpha )\theta _{\nu}^{ \mu }(\alpha )=\delta _{\lambda \mu }h_{\lambda }(\alpha )\cdot h'_{\lambda }(\alpha ).$
När Jacks karaktärer är proportionella mot tecknen i den symmetriska gruppen ( , där ), varifrån de fick sitt namn. $\alpha =1$ ${\displaystyle S_{n))$ $n=|\lambda |$

Egenskaper

Om partitionen har fler delar än antalet variabler är Jack-polynomet 0:

J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m})=0

, om

\kappa _{m+1}>0.

Matrisargument

Ibland, särskilt i teorin om slumpmässiga matriser, tycker författare att det är mer bekvämt att använda matrisargumentet i Jacks polynom. Deras anslutning är ganska enkel. Om en egenvärdesmatris är då $X$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m))$

J_{\kappa }^{(\alpha )}(X)=J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}) .

Anteckningar

↑ Knop, Sahi, 1997 .
↑ Macdonald, 1995 , s. 379.

Länkar

Demmel, James & Koev, Plamen (2006), Exakt och effektiv utvärdering av Schur- och Jack-funktioner , Mathematics of Computation vol. 75 (253): 223–239 , DOI 10.1090/S0025-5718-05-01780-1 .
Jack, Henry (1970–1971), En klass av symmetriska polynom med en parameter, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh , Section A. Mathematics vol. 69: 1–18 .
Knop, Friedrich & Sahi, Siddhartha (19 mars 1997), A recursion and a combinatorial formula for Jack polynomials , Inventiones Mathematicae T. 128 (1): 9–22 , DOI 10.1007/s002220050134
Macdonald, I.G. (1995), Symmetric functions and Hall polynomials (2nd ed.), Oxford Mathematical Monographs, New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1
Stanley, Richard P. (1989), Some combinatorial properties of Jack symmetric functions , Advances in Mathematics vol. 77 (1): 76–115 , DOI 10.1016/0001-8708(89)90015-7 .
Programvara för att beräkna Jack-funktionen av Plamen Koev och Alan Edelman.
MOPS: Multivariat ortogonala polynom (symboliskt) (lönnpaket)
SAGE-dokumentation för Jack Symmetric Functions