Likhetscentrum

Om cirklarna har samma radie (men olika centra) finns det inget yttre likhetscentrum i det affina planet - i analytisk geometri leder detta till division med noll, och i klassisk geometri är centrumlinjerna raka och parallella (båda för sekantlinjer och för tangenter), och kan därför inte skära varandra. Likhetens yttre centrum kan definieras i det projektiva planet som en punkt i oändligheten som motsvarar linjers skärningspunkt.

Om cirklarna har samma centrum men olika radier, sammanfaller de yttre och inre likhetscentrumen med cirklarnas gemensamma centrum. Detta kan ses från den analytiska formeln, och även som gränsen för två likhetscentra när centran rör sig mot varandra samtidigt som radierna bibehålls tills centran sammanfaller.

Om en radie är lika med noll, och den andra inte är lika med noll (punkt och cirkel), sammanfaller både den yttre och den inre likhetscentrum med punkten (centrum i en cirkel med noll radie).

Om två cirklar är identiska (har samma centrum och samma radier) är det inre likhetscentrumet deras gemensamma centrum, men det finns inget väldefinierat yttre centrum. I gränsen, när två cirklar med samma radie rör sig mot varandra tills centran sammanfaller, är det externa likhetscentrumet i oändligheten och kan därför vara var som helst, och därför finns det inget yttre likhetscentrum för sådana cirklar.

Om båda radierna är noll (två punkter), men punkterna är olika, kan likhetens yttre centrum definieras som den punkt i oändligheten som motsvarar linjen som går genom centrumlinjen, men i detta fall finns det inget inre centrum.

Homologa och antihomologa punkter

I det allmänna fallet skär strålen som utgår från likhetens centrum varje cirkel på två ställen. Av dessa fyra punkter är två homologa om radierna som dras från dem gör samma vinkel med centrumlinjen, dvs. punkterna A 1 och A 2 i figur 3. Punkter som ligger på samma linje med likhetens centrum, men inte är homologa, kallas antihomologa , [1] som till exempel punkterna Q och P′ i figur 4.

Par av antihomologa punkter som ligger på en cirkel

Om två strålar från samma likhetscentrum skär cirklar, ligger vilken uppsättning antihomologa punkter som helst på cirkeln.

Låt trianglarna EQS och EQ′S′ ges (Figur 4).
De är lika eftersom de har en gemensam vinkel ∠QES=∠Q′ES′ och , eftersom E är likhetens centrum. Av denna likhet följer att ∠ESQ=∠ES′Q′=α . På grund av den inskrivna vinkelsatsen, ∠EP′R′=∠ES′Q′ . ∠QSR′=180°-α eftersom detta är den komplementära vinkeln för ∠ESQ . I fyrhörningen QSR′P′ ∠QSR′+∠QP′R′=180°-α+α=180° , vilket betyder att fyrkanten är inskriven . Av sekantsatsen följer att EQ•EP′=ES•ER′.

På samma sätt kan det visas att PRS′Q′ kan inskrivas i en cirkel och EP•EQ′=ER•ES′.

Beviset liknar beviset för det inre likhetscentrumet I .
PIR~P′IR′ , därför, ∠RPI=∠IP′R′=α . ∠RS′Q′=∠PP′R′=α (inskriven vinkelsats). Segmentet RQ′ ses i samma vinkel från P och S′ vilket betyder att R, P, S′ och Q′ ligger på cirkeln. Sedan från den skärande ackordsatsen IP•IQ′=IR•IS′. På liknande sätt kan det visas att QSP′R′ kan inskrivas i en cirkel och IQ•IP′=IS•IR′.

Förbindelse med radikala axlar

Två cirklar har radikala axlar , raka linjer som består av punkter, varav linjesegmenten från punkten till tangentpunkten för båda cirklarna är av samma längd. Mer generellt har varje punkt på den radikala axeln egenskapen att dess grader med avseende på cirklar är lika. Radikalaxeln är alltid vinkelrät mot centrumlinjen, och om två cirklar skär varandra, passerar deras radikalaxel genom cirklarnas skärningspunkter. För tre cirklar kan tre radikalaxlar definieras, för varje par av cirklar ( C1 / C2 , C1 / C3 och C2 / C3 ) . Det anmärkningsvärda är att dessa tre radikala axlar skär varandra vid en punkt, det radikala centrumet . Tangentsegment som dras från det radikala centrumet till alla tre cirklarna kommer att ha samma längd.

Vilka två par som helst av antihomologa punkter kan användas för att hitta en punkt på den radikala axeln. Låt två strålar dras från det yttre centrum av likhet E som i figur 4. Dessa strålar skär två givna cirklar (gröna och blå i figur 4) vid två par antihomologa punkter, Q och P′ för den första strålen, och S och R′ för den andra strålen. Dessa fyra punkter ligger på samma cirkel som skär båda givna cirklarna. Per definition är linjen QS den radikala axeln för den nya cirkeln och den gröna cirkeln, medan linjen P′R′ är den radikala axeln för den nya cirkeln och den blå cirkeln. Dessa två linjer skär varandra i punkt G , som är det radikala mitten av tre cirklar - den nya cirkeln och de två ursprungliga. Sålunda ligger också punkt G på de två ursprungliga cirklarnas radikala axel.

Tangentcirklar och antihomologa punkter

För varje par av antihomologa punkter i två cirklar finns det en tredje cirkel som tangerar de ursprungliga cirklarna vid de antihomologa punkterna.
Det omvända är också sant - varje cirkel som rör två andra cirklar berör dem på antihomologa punkter.

Låt våra två cirklar ha centra O 1 och O 2 (Figur 5). Låt E vara deras yttre centrum av likhet. Vi bygger en godtycklig stråle från punkt E som skär två cirklar i punkterna P, Q, P′ och Q′ . Låt oss förlänga O 1 Q och O 2 P′ till skärningspunkten (vid punkten T 1 ). Det är lätt att visa att trianglarna O 1 PQ och O 2 P′Q′ är lika. Dessa trianglar är likbenta eftersom O 1 P=O 1 Q ( radie ), så ∠O 1 PQ=∠O 1 QP=∠O 2 P′Q′=∠O 2 Q′P′=∠T 1 QP′=∠ T 1 P Q . Men då kommer T 1 P′Q också att vara likbent, och man kan konstruera en cirkel centrerad vid T 1 och med radien T 1 P′=T 1 Q . Denna cirkel är tangent till de två ursprungliga cirklarna vid punkterna Q och P′ .

Påståendet bevisas på liknande sätt för ett annat par antihomologa punkter ( P och Q′ ), såväl som för fallet med ett internt likhetscentrum.

Om vi ​​konstruerar tangentcirklar för varje möjligt par av antihomologa punkter får vi två familjer av cirklar - för varje likhetscentrum. Cirkelfamiljen för det yttre centret av likhet är sådan att cirklarna i denna familj antingen innehåller båda de ursprungliga cirklarna inuti sig själva, eller ingen (Figur 6). Å andra sidan innehåller cirklar från familjen för det inre centret alltid en av de ursprungliga cirklarna (Figur 7).

Alla cirklar från familjen av tangentcirklar har ett gemensamt radikalt centrum och det sammanfaller med likhetens centrum.

För att visa detta, låt oss föreställa oss två strålar från likhetens centrum som skär de givna cirklarna (Figur 8). Det finns två tangentcirklar T 1 och T 2 som tangerar de ursprungliga cirklarna vid antihomologa punkter. Som vi redan har visat ligger dessa punkter på cirkeln C , och därför är dessa två strålar de radikala axlarna för C / T 1 och C / T 2 . Skärningspunkten för dessa radikalaxlar måste också ligga på den radikala axeln T 1 / T 2 . Denna skärningspunkt är likhetscentrumet E .

Om två tangentcirklar rör vid antihomologa punkter som ligger på en rät linje genom en likhetspunkt, som i figur 5, så på grund av likheten . Men då är graderna av punkten E med avseende på de två tangentcirklarna lika, vilket betyder att E tillhör den radikala axeln.

Likhetscentrum för tre cirklar

Varje par av cirklar har två centra av likhet, så tre cirklar kommer att ha sex centra av likhet, två för varje par av (olika) cirklar. Intressant nog ligger alla dessa sex punkter på fyra linjer, tre punkter på varje linje. Här är ett sätt att visa det.

Föreställ dig tre cirklar på planet (Figur 9). Låt oss för varje mittpunkt av cirklarna lägga till en punkt på vinkelrät mot planet, på avstånd från det ursprungliga centrumet med ett avstånd lika med motsvarande radie. Poäng kan läggas till från vilken sida som helst av planet. De tre erhållna punkterna definierar planet. I detta plan kommer vi att konstruera tre linjer genom varje par av punkter. Dessa linjer skär cirklarna i punkterna H AB , H BC och H AC . Eftersom platsen för punkter som hör till båda icke-parallella planen är en rät linje, kommer dessa tre punkter att ligga på samma räta linje. Från likheten mellan trianglarna H AB AA′ och H AB BB′ ser vi att (här är r A,B radier), och därför är H AB likhetscentrumet för de två motsvarande cirklarna. Vi kan göra samma sak för H BC och H AC .

Genom att upprepa processen för olika kombinationer av likhetscentra (i vår metod bestäms de av sidorna från vilka vi väljer punkter i förhållande till planet), får vi fyra linjer - tre likhetscentra på varje linje (Figur 10).

Det finns en annan metod för bevis.

Låt C 1 och C 2 vara ett par konjugerade cirklar till alla tre ursprungliga cirklarna (Figur 11). Med konjugation menar vi här att cirklarna tillhör samma familj för en av de ursprungliga cirklarna. Som vi redan har sett passerar den radikala axeln för två tangentcirklar från samma klass genom likhetscentrumet för de två ursprungliga cirklarna. Eftersom tangentcirklarna är gemensamma för alla tre paren av ursprungliga cirklar, ligger deras likhetscentra på de radikala axlarna C 1 och C 2 , d.v.s. på en rak linje.

Denna egenskap används i Joseph Diaz Gergonnes allmänna lösning på Apollonius-problemet . Givet tre cirklar kan man hitta likhetscentra och sedan de radikala axlarna för paren av önskade cirklar. Naturligtvis finns det oändligt många cirklar med samma radikala axlar, så det krävs mer arbete för att avgöra exakt vilket par cirklar som är lösningen.

Se även

• Likhet
• Homoteti
• Radikal axel av två cirklar , Radikal centrum
• Apollonius problem

Anteckningar

1. ↑ Weisstein .

Litteratur

• Johnson R.A. Avancerad euklidisk geometri: En elementär avhandling om triangelns och cirkelns geometri. — New York: Dover Publications, 1960.
• Paul Kunkel. Apollonius' tangency problem: tre blickar. - 2007. - T. 22 , nr. 1 . — S. 34–46 . - doi : 10.1080/17498430601148911 .
• Eric W. Weisstein. Antihomologa punkter . MathWorld --En Wolfram webbresurs. (obestämd)