Första ordningens extrapolator

En första ordningens extrapolator är en matematisk modell för att rekonstruera en samplade signal, som kan produceras av en konventionell digital-till-analog-omvandlare (som i detta fall fungerar som en noll-ordningens extrapolator ) och en analog krets ( integrator ). I detta fall återställs signalen som en bitvis linjär approximation av den ursprungligen digitaliserade signalen. Jämfört med en nollordningens extrapolator har en första ordningens extrapolator i allmänhet mindre kvantiseringsbrus och rekonstruerar därför signalen mer exakt.

Matematisk modell

Låt x s ( t ) vara signalen före digitalisering och x ( nT ) vara signalen efter digitalisering. Då är nollordningens extrapolator ett filter som transformerar en perfekt digitaliserad signal | $x_{s}(t)$ $=x(t)\ T\summa _{{n=-\infty }}^{{\infty }}\delta (t-nT)\$ $=T\summa _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x(nT)\delta (t-nT)\$

till en bitvis linjär signal

x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\summa _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t- nT}{T}}\höger)\

och har en impulsöverföringsfunktion

h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}\right)={ \begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|t|<T\\ 0&{\mbox{annat}}\end{cases}}\

var är en triangulär funktion .

\mathrm {tri} (x)\

Amplitudfasfrekvenssvaret för första ordningens extrapolator är Fouriertransformen av dess impulsöverföringsfunktion:

$H_{\mathrm {FOH} }(f)$ $={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$ $=\left({\frac {e^{i\pi fT}-e^{-i\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\$ $=\mathrm {sinc} ^{2}(fT)\$

var är sinc-funktionen .

{\mathrm {sinc}}(x)\

Överföringsfunktionen för första ordningens extrapolator erhålls genom den formella förändringen s = i 2 π f :

$H_{\mathrm {FOH} }(s)$ $={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$ $=\left({\frac {e^{sT/2}-e^{-sT/2}}{sT}}\right)^{2}\$

Första ordningens extrapolator

Matematisk modell

Se även