Epsilon nätverk

Ett ε -nätverk ( epsilon -nätverk , ε -tät uppsättning) för en delmängd av ett metriskt utrymme är en mängdfrån samma utrymmeså att det för vilken punkt som helstfinns en punktsomär högst ε bort från . $M$ $X$ $Z$ $X$ $x\i M$ $z\in Z$ $x$

Relaterade definitioner

Ett metriskt utrymme där det finns ett ändligt nätverk för var och en kallas helt avgränsat . $\varepsilon> 0$ $\varepsilon$

Ett mått på en mängd sägs vara helt avgränsat om är ett helt avgränsat metriskt utrymme. $\rho$ $X$ $(X,\rho)$

En familj av metriska utrymmen så att det för alla finns ett naturligt tal så att varje utrymme medger ett -nätverk av högst punkter kallas universellt fullständigt avgränsat . $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ $\varepsilon >0$ $N_\varepsilon$ $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ $\varepsilon> 0$ $N_\varepsilon$
- För sådana familjer gäller en analog av Gromovs kompakthetsteorem .

Ett topologiskt utrymme som är homeomorft till ett totalt avgränsat metriskt utrymme kallas ett metrizbart totalt avgränsat mått .

Exempel

För standardmåttet är uppsättningen av rationella tal ett ε -nätverk för uppsättningen av reella tal för alla ε > 0 .
Heltalsmängden är ett ε -nätverk för mängden reella tal för $\varepsilon\ge 0{,}5$

Egenskaper

Ett metriskt utrymme har ett ekvivalent totalt avgränsat mått om och endast om det är separerbart .
Ett topologiskt utrymme är metrizable av ett totalt avgränsat mått om och endast om det är regelbundet och uppfyller det andra räknebarhetsaxiomet .
Ett metriskt utrymme är kompakt om och bara om det är komplett och helt avgränsat. I en något mer allmän formulering säger Hausdorffs kompaktitetssats att för att en delmängd av ett metriskt utrymme ska vara relativt kompakt , är det nödvändigt, och om utrymmet är komplett räcker det att det för alla finns ett ändligt ε -net av element av uppsättningen . $M$ $X$ $X$ $\varepsilon > 0$ $M$

Bevis

Behöver

Låt setet vara (relativt) kompakt. Vi fixar och överväger alla element . Om för någon , så har ett ändligt ε -nätverk av ett element redan konstruerats. Annars finns det ett element som . Det finns ytterligare två möjligheter. Antingen för minst ett av talen eller är mindre än , och sedan har det finita ε -net av två element redan byggts, eller så finns det ett element som , , och så vidare. Låt oss visa att processen att konstruera punkter kommer att avslutas efter ett ändligt antal steg, vilket innebär att ett ändligt ε -net kommer att konstrueras. Om så inte vore fallet skulle vi få en sekvens för vilken vid . Men då kan varken själva sekvensen eller någon av dess undersekvenser konvergera, vilket motsäger mängden kompakthet . Så för en kompakt mängd har vi konstruerat ett ändligt ε -net vars punkter tillhör själva mängden. $M$ $\varepsilon > 0$ $x_{1} \i M$ $\rho(x, x_{1}) < \varepsilon$ $x \i M$ $x_{2} \i M$ $\rho(x_{2}, x_{1}) \geqslant \varepsilon$ $x \i M$ $\rho(x, x_{1})$ $\rho(x, x_{2})$ $\varepsilon$ $x_{3} \i M$ $\rho(x_{3}, x_{1}) \geqslant \varepsilon$ $\rho(x_{3}, x_{2}) \geqslant \varepsilon$ $x_{1}, x_{2}, \ldots$ $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}, \ldots$ $\rho(x_{i}, x_{j}) \geqslant \varepsilon$ $i \neq j$ $\{ x_{n} \},$ $M$ $M$

Lämplighet

Antag att det för någon av dem finns ett ε -net för mängden . Låt oss ta en numerisk sekvens , där vi för och för varje konstruerar ett -nätverk . Betrakta en godtycklig sekvens . Eftersom det finns ett -net för , då, oavsett element , kommer vi att ha det för minst ett element . Därför faller vilket element som helst i minst en boll , det vill säga hela uppsättningen , och ännu mer hela sekvensen , kommer att finnas i dessa bollar. Eftersom det finns ett ändligt antal bollar och sekvensen är oändlig, finns det åtminstone en boll som kommer att innehålla en oändlig undersekvens av vår sekvens. Detta resonemang kan upprepas för . Låt oss göra en diagonal följd . Låt oss visa att denna sekvens konvergerar i sig själv. Eftersom och för ingår i den -th delsekvensen, och den -th delsekvensen finns i bollen , då för . Med antagande är utrymmet fullt. Därför följer sekvensens konvergens i sig själv dess konvergens till en viss gräns, och detta bevisar möjligheten att välja en konvergent delsekvens från vilken sekvens som helst, det vill säga mängdens (relativa) kompakthet [1] $\varepsilon > 0$ $M$ $\mathcal{f} \varepsilon_{n} \mathcal{g}$ $\varepsilon_{n} \rightarrow 0$ $n \högerpil \infty$ $n$ $\varepsilon_{n}$ $N_{n} = \{ z_{1}^{(n)}, z_{2}^{(n)}, \ldots, z_{m_{n}}^{(n)} \}$ $\{ x_{n} \} \i M$ $N_{1}$ $\varepsilon_{1}$ $M$ $x \i M$ $\rho(x, z_{i}^{(1)}) < \varepsilon_{1}$ $z_{i}^{(1)} \i N_{1}$ $x \i M$ $S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1}), i=1, 2, \ldots, m_{1}$ $M$ $\{ x_{n} \}$ $\{ x_{n} \}$ $S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1})$ $\{ x_{n}^{(1)} \}$ $N_{m}, m = 2, 3, \ldots$ $x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(2)}, \ldots, x_{k}^{(k)}, \ldots$ $x_{k}^{(k)}$ $x_{k+p}^{(k+p)}$ $p>0$ $k$ $k$ $S(z_{i}^{(k)}, \varepsilon_{k})$ $\rho(x_{k+p}^{(k+p)}, x_{k}^{(k)}) \leqslant \varepsilon_{k} \rightarrow 0$ $k \högerpil \infty$ $X$ $\{ x_{k}^{(k)} \}$ $\{ x_{n} \}$ $M.$

Ett komplett metriskt utrymme är kompakt om och endast om det finns ett kompakt ε -net för något i det. $\varepsilon> 0$

Anteckningar

↑ Sobolev V.I. Föreläsningar om ytterligare kapitel i matematisk analys. - M .: Nauka, 1968 - s. 59.

Litteratur

D. Yu. Burago, Yu. D. Burago, S. V. Ivanov. Metrisk geometrikurs. Moskva-Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2004, 512 s. ISBN 5-93972-300-4 .
Engelking, R. Allmän topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 sid.