Dzhanibekov-effekt

Den mellanliggande axelsatsen , eller tennisracketsatsen , i klassisk mekanik är ett uttalande om instabiliteten i rotationen av en stel kropp i förhållande till den andra huvudsakliga tröghetsaxeln. Det är en följd av den klassiska mekanikens lagar , som beskriver rörelsen hos en stel kropp med tre olika huvudsakliga tröghetsmoment . Manifestationen av teoremet under rotationen av en sådan kropp i viktlöshet kallas ofta Dzhanibekov-effekten för att hedra den sovjetiske kosmonauten Vladimir Dzhanibekov , som märkte detta fenomen den 25 juni 1985 under uppdraget att rädda rymdstationen Salyut-7 [ 1] . En artikel som förklarar denna observation publicerades 1991 [2] . Samtidigt har själva satsen om rotationsinstabiliteten kring en mellanliggande tröghetsaxel varit känd under lång tid och bevisas i alla kurser inom klassisk mekanik [3] . Instabiliteten i en sådan rotation visas ofta i föreläsningsexperiment. Instabiliteten i rotationen runt den mellanliggande (mitten) tröghetsaxeln och stabiliteten i rotationen runt de andra två axlarna upptäcktes först av den franske mekanikern Louis Poinsot 1834 och publicerades i hans avhandling New Theory of Rotation of Bodies [ 4] [5 ] ] .

Satsen beskriver följande effekt: rotationen av ett föremål kring huvudaxlarna med största och minsta tröghetsmoment är stabil, medan rotationen runt huvudaxeln med ett mellanliggande tröghetsmoment (därav namnet mellanaxelsats ) inte är . Dzhanibekov såg detta med en vingmutter : vrida den i noll tyngdkraft från en lång hårnål , märkte han att den flyger lite, vänder sig 180 °, sedan, efter att ha flugit lite mer, vänder den igen.

På jorden kan denna effekt ses i följande experiment: ta en tennisracket i handtaget och försök kasta den i luften så att den fullbordar ett helt varv runt en axel som passerar i racketens plan vinkelrätt mot handtaget, och fånga den i handtaget. I nästan alla fall kommer racketen att göra ett halvt varv längs den längsgående axeln och kommer att "titta" på dig med den andra sidan. Om du kastar racketen och vrider den längs andra axlar, kommer racketen att behålla sin orientering efter en hel varv.

Experimentet kan göras med vilket föremål som helst som har tre olika tröghetsmoment, till exempel en bok eller en fjärrkontroll. Effekten uppstår när rotationsaxeln skiljer sig något från motivets andra huvudaxel; luftmotstånd eller gravitation kan försummas [6] .

Det är fortfarande felaktigt att kalla rotationer runt axlar med ett maximalt och minimum tröghetsmoment stabilt, givet verkliga fysiska kroppar. Om det finns några krafter som kan avleda rotationsenergin, såsom tidvattenkrafter, kommer kroppen så småningom att rotera endast runt axeln med maximalt tröghetsmoment. Det är så alla asteroider och planeter roterar, inklusive jorden. Därför är spekulationer om en möjlig rotation av jordens rotationsaxel ogrundade.

Matematisk motivering

Mellanaxelsatsen kan analyseras med Eulers ekvationer .

När de roteras fritt tar de följande form:

{\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3} ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&= ( I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)} }\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}.~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)))\end{aligned))

Här betecknar de huvudsakliga tröghetsmomenten, och vi antar att vinkelhastigheterna för rotation runt de tre huvudaxlarna - deras derivator med avseende på tid - ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3))$ $I_{1}>I_{2}>I_{3}.$ $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},$ ${\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega}}_{2},{\dot {\omega}}_{3}.$

Betrakta situationen när ett föremål roterar runt en axel med ett tröghetsmoment För att bestämma karaktären av jämvikten, antar vi att det finns två små initiala vinkelhastigheter längs de andra två axlarna. Som ett resultat, enligt ekvation (1), är den mycket liten. Därför kan tidsberoendet försummas. $I_{1}.$ ${\dot {\omega }}_{1}$ $\omega_{1}$

Nu skiljer vi ekvation (2) med avseende på tid och ersätter ekvation (3): ${\dot {\omega }}_{3}$

{\begin{aligned}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})(I_{1}-I_{ 2})\omega _{1}^{2}\omega _{2}.\\\end{aligned}}

Observera att tecknen på y och är olika, eftersom multiplikatorn är negativ, medan multiplikatorerna och är positiva. Följaktligen kommer den initiala låga hastigheten att förbli liten i framtiden. Genom att differentiera ekvation (3) kan man också bevisa stabilitet med avseende på störningar Eftersom både hastigheter och förblir små, följer det av (1) att och förblir liten . Därför sker rotation runt axel 1 med konstant hastighet. $\omega _{2}$ ${\ddot {\omega }}_{2}$ $(I_{3}-I_{1})$ $(I_{1}-I_{2})$ $\omega _{1}^{2}$ $\omega _{2}$ $\omega _{3}.$ $\omega _{2}$ $\Omega 3}$ ${\dot {\omega }}_{1}$

Liknande resonemang visar att rotation kring en axel med tröghetsmoment också är stabil. $I_3$

Nu tillämpar vi dessa överväganden på fallet med rotation kring en axel med ett tröghetsmoment . Mycket liten den här gången . Därför kan tidsberoendet försummas. $I_{2}$ ${\dot {\omega }}_{2}$ $\omega _{2}$

Nu skiljer vi ekvation (1) med avseende på tid och ersätter ekvation (3): ${\dot {\omega }}_{3}$

{\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})(I_{1}-I_{ 2})\omega _{2}^{2}\omega _{1}.\\\end{aligned}}

Observera att tecknen på y och är desamma, eftersom alla tre faktorer och är positiva. Följaktligen kommer den initialt låga hastigheten att öka exponentiellt tills den upphör att vara liten och rotationens natur kring axel 2 inte förändras. Även små störningar längs andra axlar får således föremålet att "vända". $\omega_{1}$ ${\ddot {\omega }}_{1}$ $(I_{2}-I_{3}),$ $(I_{1}-I_{2})$ ${\displaystyle \omega _{2}^{2))$ $\omega_{1}$ ${\dot {\omega }}_{2}$

Se även

Anteckningar

↑ Dzhanibekov Effect - CNews Forum (otillgänglig länk) . live.cnews.ru. Hämtad 26 mars 2016. Arkiverad från originalet 16 augusti 2016. (obestämd)
↑ Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone, Richard H. Cushman. The Twisting Tennis Racket (neopr.) // Journal of Dynamics and Differential Equations. - 1991. - V. 3 , nr 1 . - S. 67-85 . - doi : 10.1007/BF01049489 .
↑ Se till exempel: Sivukhin D.V. § 53, Tensor och tröghetsellipsoid; § 54, Rotation av en stel kropp genom tröghet runt en fast punkt // Fysik allmän kurs. - M . : Science , 1979. - T. I. Mechanics. - S. 297-300 . — 520 s.
↑ Poinsot L. Theórie nouvelle de la rotations des corps : Extrait d'un Mémoire lu à l'Académie des Sciences de l'Institut, le 19 mai 1834 (fr.) . - Paris: Bachelier, 1834. - S. 47-51. — 56 sid.
↑ Poinsot L. Konturer av en ny teori om roterande rörelse (engelska) / övers. från fr. på engelska: Ch. Whitley. - Cambridge: Pitt Press, 1834. - S. 63-68. - iv + 96 sid. :
Om den momentana polen [av rotation] sammanfaller med den större eller mindre polen på ellipsoiden [tröghets] och, under påverkan av impulsen från något litet störande kraftpar, avviker ett litet avstånd från den, kommer den att inte röra sig längre, men kommer att beskriva dess poloid runt just denna pol av ellipsoiden. Men det händer annorlunda när den momentana polen sammanfaller med ellipsoidens medelpol ; för vid varje minsta förskjutning kommer den att röra sig längre och längre bort och fortsätta att beskriva sin poloid runt en större eller mindre pol, beroende på om denna slumpmässiga störning är riktad mot att öka eller minska avståndet mellan tangentplanet för paret från mitten av ellipsoiden. Om störningen är sådan att detta avstånd inte ändras, vilket sker i riktningarna för två speciella ellipser som skär varandra vid mittpolen, så kommer momentanpolen att beskriva ellipsen längs med vilken den började röra sig, eller snarare hälften av denna ellips, tills den når den motsatta mittpolen, vilket är den största störning som en kropp kan uppleva; under tiden, om polens rörelse påbörjades längs den andra halvan av denna ellips, skulle den omedelbart återvända till samma mittpol, vilket är minsta möjliga störning. Därför finns det det enda fallet när den momentana axeln, avsatt från den mittaxel som den sammanföll med i början, inte bara inte rör sig längre bort från den, utan även återvänder till den omedelbart, tills dess avstånd blir mindre än något annat. givet värde. Men i alla andra fall börjar den att beskriva en elliptisk kon runt den stora eller lilla axeln, eller följer planet för den ena eller andra ellipsen som jag har nämnt; och vi kan säga att rotationsrörelsen runt mittaxeln inte har någon stabilitet.
↑ Mark Levy. 6. Tennisracketparadoxen // Klassisk mekanik med variationskalkyl och optimal kontroll: en intuitiv introduktion. - American Mathematical Society, 2014. - S. 151-152.

Länkar

Demonstration av effekten - Mir orbital station , Alexander Serebrov , som visas i programmet från Lessons from Space-serien, som släpptes 1997
Video av Janibekov-effekten från den internationella rymdstationen , visad av ISS-30 besättningsmedlemmar Anton Shkaplerov och Daniel Burbank
Slow motion-video som visar rotationen av en bordtennisracket
Dzhanibekov-effektdemo , modellerad med Blender , demokällor finns också tillgängliga
En intuitiv förklaring av Dzhanibekov-effekten