Kärna (algebra)

Kärnan i algebra är ett kännetecken för kartläggningen , betecknad med , som reflekterar skillnaden från den injektiva avbildningen , vanligtvis uppsättningen av inversa bilder av något fast (noll, identitet, neutralt) element . Den specifika definitionen kan variera, men för en injektiv mappning måste mängden alltid vara trivial, det vill säga den måste bestå av ett element (vanligtvis ett neutralt element från ). $\f:A\högerpil B$ $\ker \,f$ $f$ $e$ $f$ $\ker \,f$ $A$

Om mängderna och har någon struktur (till exempel är de grupper eller vektorrum ), måste de också ha denna struktur, medan olika formuleringar av huvudhomomorfismens sats kopplar ihop bilden och faktormängden . $A$ $B$ $\ker \,f$ ${\mathrm {Im}}\,f$ $A/\ker \,f$

Linjär mappningskärna

Kärnan i en linjär mappning är den omvända bilden av nollelementet i rymden : $f:\,V\till U$ $U$

\ker f=\{x\in V:f(x)=0\}.

$\kerf$ är ett delrum av . Den innehåller alltid elementet null space . Enligt den grundläggande homomorfismsatsen är bilden isomorf till kvotutrymmet med avseende på kärnan : $V$ $V$ $f$ $V$ $f$

\mathrm {Im} \,f\simeq V/\ker f.

Följaktligen är dimensionen på rymdbilden lika med skillnaden mellan dimensionerna för rummet och kartläggningskärnan, om dimensionen är ändlig: $V$

\dim \mathrm {Im} \,f=\dim V-\dim \ker f,

och den omvända bilden av vilken vektor som helst definieras upp till tillägg av en vektor från kärnan:

f^{{-1}}(u)=v_{0}+\ker f,~~~f(v_{0})=u,~~~v_{0}\in V,~u\in U .

Vilken grund som helst för kärnan kallas ett grundläggande system av lösningar .

Matristeori

Varje rektangulär matris av storlek , som innehåller fältelement (särskilt reella tal ), kan ses som en linjär operator för att multiplicera vektorer från vänster med en matris: $G$ $m\ gånger n$ $K$ $g:{\mathbb {K}}^{n}\högerpil {\mathbb {K}}^{m}$

g(v)=Gv,~~~v\in {\mathbb {K}}^{n}

Resultaten av teorin om ändliga-dimensionella linjära rum överförs alltså helt och hållet till att arbeta med matriser. I synnerhet systemet av linjära ekvationer med okända $n$

\left\{{\begin{matrix}a_{{11}}x_{1}+\ldots +a_{{1n}}x_{n}=b_{1};\\\ldots ~~\ldots ~~ \ldots ~~\\a_{{m1}}x_{1}+\ldots +a_{{mn}}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}\right.

kan betraktas som problemet med att hitta vektorns förbild och problemet med att lösa det homogena ekvationssystemet ( ) reduceras till att hitta kärnan i kartläggningen . ${\mathbf {b}}=(b_{1},\;\ldots ,\;b_{m})$ ${\mathbf {b}}={\mathbf {0}}$ $g$

Exempel

Låt vara en linjär mappning och: $f$ $f:{\mathbb R}^{3}\to {\mathbb R}^{3}$

f({\vec {x)))={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{ 3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\end{pmatrix}}.

Då är dess kärna ett vektorunderrum:

\ker f=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}}\in {\mathbb R}^{3}\mid \lambda \in {\mathbb R} \höger\}.

Grupphomomorfism

Om är en homomorfism mellan grupper , så bildar den en normal undergrupp av . $f$ $\kerf$ $A$

Ringhomomorfismer

Om det är en homomorfism mellan ringar , så bildar det ett ideal för ringen . $f$ $\kerf$ $A$

Se även

kokkärna

Litteratur

Vinberg E. B. Algebrakurs. - 3:e uppl. - Moscow: Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 exemplar. — ISBN 5-88688-060-7 .