Jacobian

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 november 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Jacobian ( Jacobi determinant , funktionell determinant ) är en viss generalisering av derivatan av en funktion av en variabel till fallet med avbildningar från det euklidiska rummet in i sig självt.

Jacobian uttrycks som determinanten för Jacobi- matrisen, en matris som består av de partiella derivatorna av mappningen.

Jacobianen för en kartläggning vid en punkt betecknas vanligtvis , ibland också enligt följande: $f$ $x$ $\mathop {\rm {Jac)) _{x}f$

{\frac {D(f_{1},\dots ,f_{n})}{D(x_{1},\dots ,x_{n)))))

,eller

{\frac {\partial (f_{1},\dots,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots,x_{n)))))

Dessutom kallas jakobian ibland (på ryska är denna användning av termen inte riktigt accepterad) den jakobianska matrisen själv, och inte dess avgörande. På engelska och på några andra språk anses termen jakobisk vara lika tillämplig på Jacobi-matrisen och dess determinant [1] .

Introducerad av Jacobi (1833, 1841).

Definition

Jacobian för en vektorfunktion som har alla första ordningens partiella derivator vid någon tidpunkt definieras som $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n}) ,u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,n$ $x$

\det {\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x) &\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{ 2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{n} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{n} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{ n} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}.

Man kan också tala om den jakobiska determinanten eller den jakobiska för ett system av funktioner . $u_{1},\ldots ,u_{n}$

Geometrisk tolkning

Om funktionerna definierar koordinattransformationen , så är betydelsen av Jacobi-determinanten i förhållande till volymerna [2] av parallellepipederna "sträckta" på och på när produkterna är lika . ${\tilde x}_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\ldots ,{\tilde x}_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})$ $x_{i}\högerpil {\tilde x}_{j}$ $d{\tilde x}_{1},d{\tilde x}_{2},\dots ,d{\tilde x}_{n}$ $dx_{1},dx_{2},\dots ,dx_{n}$ $d{\tilde x}_{1}d{\tilde x}_{2}\dots d{\tilde x}_{n}=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}$

Applikation

Jacobian används ofta i analysen av implicita funktioner.
Jacobi-determinantens ojämlikhet till noll tjänar som ett lämpligt nödvändigt och tillräckligt villkor för den lokala icke-degenerationen av en koordinattransformation, det vill säga det betyder att i ett område av den aktuella punkten är denna transformation en diffeomorfism .
Integralen över regionen under en icke-degenererad transformation av koordinater omvandlas som ${\tilde x}_{j}\högerpil x_{i}$ $\int \limits _{{{\tilde \Omega }}}f({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots ,{\tilde x}_{n}) d{\tilde x}_{1}d{\tilde x}_{2}\dots d{\tilde x}_{n}=$ $=\int \limits _{{\Omega }}f({\tilde x}_{1}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),{\tilde x}_{ 2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\dots ,{\tilde x}_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{ n})){\bigg |}{\frac {D({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots ,{\tilde x}_{n})}{ D(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})}}{\bigg |}dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}$ ( ändring av variablers formel i n - dimensionell integral ).

Exempel

Exempel 1. Övergång av ett elementärt område från kartesiska koordinater ( x , y ) till polära koordinater ( r , φ ): ${\mathrm {d}}S={\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y$

x=r\,\cos \varphi

y=r\,\sin \varphi .

Jacobi-matrisen har följande form

{\hat {I))(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r))&{\dfrac {\partial x}{\partial \ varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin {bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}.

Och jakobian för övergången från kartesiska till polära koordinater är avgörande för Jacobi-matrisen:

$J(r,\varphi )=\det {\hat {I))(r,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\ \sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}=r.$

Således kommer areaelementet i övergången från kartesiska till polära koordinater att se ut så här:

$\mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=J(r,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi = r\,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi$

Exempel 2. Övergång av en elementär volym från kartesiska koordinater ( x , y , z ) till sfäriska koordinater ( r , θ , φ ): ${\mathrm {d}}V={\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y\,{\mathrm {d}}z$

x=r\,\sin \theta \,\cos \varphi

y=r\,\sin \theta \,\sin \varphi

z=r\,\cos \theta .

Jacobi-matrisen har följande form

{\hat {I}}(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r))&{\dfrac {\partial x}{ \partial \theta ))&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r))&{\dfrac {\partial y} {\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z }{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r \,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.

Och jakobian för övergången från kartesiska till sfäriska koordinater är avgörande för Jacobi-matrisen:

$J(r,\theta ,\varphi )=\det {\hat {I))(r,\theta ,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \ varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \, \sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}=r^{2}\sin \theta .$

Således kommer volymelementet i övergången från kartesiska till sfäriska koordinater att se ut så här:

$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi$

Egenskaper

Det absoluta värdet av Jacobian vid någon tidpunkt är lika med koefficienten för volymförvrängning vid denna punkt (det vill säga gränsen för förhållandet mellan volymen av bilden av området till punkten och volymen för själva grannskapet, när grannskapets dimensioner tenderar att vara noll). $x$ $x$
Jacobianen vid en punkt är positiv om mappningen inte ändrar orientering i närheten av punkten M, och negativ annars. $x$
Om mappningens Jacobian inte försvinner i domänen är mappningen en lokal diffeomorfism . $\Delta$ $\Delta$

Anteckningar

↑ wolfram.com Jacobian
↑ Här menar vi orienterad volym . Förhållandet mellan primärvolymer är modulen för Jacobi-determinanten.

Se även

Tillämpning i fysik

Bridgeman-relationer (termodynamik) och Maxwell-relationer (termodynamik) härleds med hjälp av den jakobianska tekniken