Atom (måttteori)

I måttteorin är en atom en mätbar uppsättning av positivt mått som inte innehåller en delmängd av ett mindre positivt mått. Ett mått som inte har atomer kallas atomlöst .

Definition

Om det finns ett mätbart utrymme och ett mått på detta utrymme, kallas uppsättningen av en atom , om $(X,\Sigma )$ $\mu$ $A$ $\Sigma$

\mu (A)>0

och för varje mätbar delmängd av uppsättningen från $B$ $A$

\mu (A)>\mu (B)

följer det

\mu (B)=0.

Exempel

Betrakta en mängd X = {1, 2, ..., 9, 10} och låt sigma-algebra vara mängden av alla delmängder av X . Låt oss definiera måttet på en mängd som dess kardinalitet , det vill säga antalet element i den. Då är varje enpunktsdelmängd { i } för i = 1, 2, ..., 9, 10 en atom. $\Sigma$ $\mu$
Lebesgue-måttet på den verkliga linjen är atomlöst.

Atomlösa åtgärder

Ett mått som inte innehåller atomer kallas atomlös . Med andra ord, ett mått är atomlöst om det för någon mätbar mängd c finns en mätbar delmängd B av mängden A så att $A$ $\mu (A)>0$

\mu (A)>\mu (B)>0.

Ett atomlöst mått med minst ett positivt värde har ett oändligt antal olika värden, eftersom utgående från en mängd A med ett mått kan man konstruera en oändlig sekvens av mätbara mängder $\mu (A)>0$

A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots

Så att

\mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.

Detta kanske inte stämmer för åtgärder med atomer (se exempel ovan).

I själva verket visar det sig att icke-atomära mått har ett kontinuum av värden. Det kan bevisas att om μ är ett atomlöst mått och A är en mätbar mängd med då för varje reellt tal b som uppfyller villkoret $\mu (A)>0,$

\mu (A)\geq b\geq 0

det finns en mätbar delmängd B av mängden A så att

\mu (B)=b.

Detta teorem bevisades av Vaclav Sierpinski . [1] [2] Det liknar mellanvärdessatsen för kontinuerliga funktioner.

Skiss över beviset för Sierpinskis sats för icke-atomära mått. Låt oss använda ett något starkare påstående: om det finns ett atomlöst mätbart utrymme och , så finns det en funktion som definierar en enparameterfamilj av mätbara mängder S(t) så att för alla $(X,\Sigma ,\mu )$ $\mu (X)=c$ $S:[0,c]\to \Sigma$ $0\leq t\leq t'\leq c$

S(t)\subset S(t'),

\mu \left(S(t)\right)=t.

Beviset följer lätt av Zorns lemma applicerat på uppsättningen

\Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subset [0,\,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,\forall t\in D\ ;(\mu \left(S(t)\right)=t)\},

ordnas genom att inkludera grafer. Vidare visas det på ett standardmässigt sätt att varje kedja i har ett maximalt element, och varje maximalt element har en definitionsdomän , vilket bevisar påståendet. $\Gamma$ $\Gamma$ $[0,c]$

Se även

Dirac delta funktion
Elementära händelser , även kända som atomhändelser

Länkar

↑ W. Sierpinski. Sur les fonctions d'ensemble additives et fortsätter Arkiverad 15 maj 2011 på Wayback Machine . Fundamenta Mathematicae, 3:240-246, 1922.
↑ Fryszkowski, Andrzej. Fixpunktsteori för nedbrytbara mängder (topologisk fixpunktsteori och dess tillämpningar ) . — Springer. - S. 39. - ISBN 1-4020-2498-3 .

Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. Verklig analys . - Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall , 1997. - P. 108. - ISBN 0-13-458886-X .

Butnariu, Dan; Klement, EP Triangulära normbaserade åtgärder och spel med luddiga koalitioner . - Dordrecht: Kluwer Academic , 1993. - P. 87 . - ISBN 0-7923-2369-6 .