Bessel fungerar

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 oktober 2021; kontroller kräver 5 redigeringar .

Besselfunktioner i matematik är en familj av funktioner som är kanoniska lösningar av Bessels differentialekvation :

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2} )y=0,

där är ett godtyckligt reellt tal (komplext i det allmänna fallet), kallat ordningen . $\alfa$

De vanligaste Bessel-funktionerna är funktioner av heltalsordningar .

Även om de genererar samma ekvationer brukar man komma överens om att olika funktioner motsvarar dem (detta görs t.ex. så att Bessel-funktionen är jämn i ). $\alfa$ $(-\alpha )$ $\alfa$

Bessel funktioner definierades först av den schweiziska matematikern Daniel Bernoulli , och uppkallad efter Friedrich Bessel .

Applikationer

Bessel-ekvationen uppstår när man hittar lösningar på Laplace-ekvationen och Helmholtz-ekvationen i cylindriska och sfäriska koordinater. Därför används Bessel-funktioner för att lösa många problem med vågutbredning, statiska potentialer etc., till exempel:

elektromagnetiska vågor i en cylindrisk vågledare ;
värmeledningsförmåga i cylindriska föremål;
vågformer av ett tunt runt membran;
fördelningen av ljusintensiteten som diffrakteras av det runda hålet;
partiklarnas hastighet i en cylinder fylld med vätska och som roterar runt sin axel;
vågfunktioner i en sfäriskt symmetrisk potentiallåda.

Bessel-funktioner används också för att lösa andra problem, till exempel vid signalbehandling.

Bessel-funktionen är en generalisering av sinusfunktionen. Det kan tolkas som vibrationen av en sträng med variabel tjocklek, variabel spänning (eller båda förhållandena samtidigt); fluktuationer i ett medium med varierande egenskaper; vibrationer av skivans membran etc.

Definitioner

Eftersom ovanstående ekvation är en linjär differentialekvation av andra ordningen måste den ha två linjärt oberoende lösningar. Olika definitioner av dessa beslut väljs dock beroende på omständigheterna. Nedan är några av dem.

Bessel-funktioner av det första slaget

Bessel-funktioner av det första slaget, betecknade med , är lösningar som slutar vid en punkt för heltal eller icke-negativ . Valet av en viss funktion och dess normalisering bestäms av dess egenskaper. Man kan definiera dessa funktioner med hjälp av en Taylor-serieexpansion nära noll (eller en mer generell potensserie för icke-heltal ): $J_{\alpha }(x)$ $x=0$ $\alfa$ $\alfa$

J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m)){m!\,\Gamma (m+\alpha + 1))){\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }.

Här är Euler gamma-funktionen , en generalisering av de faktoriella till icke-heltalsvärden. Grafen för Bessel-funktionen liknar en sinusvåg vars svängningar avtar proportionellt , även om funktionens nollor i själva verket inte är lokaliserade periodiskt (avståndet mellan två på varandra följande nollor tenderar dock att vara ) [ 1] . $\Gamma(z)$ ${\frac {1}{{\sqrt {x))))$ $\pi$ $x\till \infty$

Nedan är diagrammen för : $J_{\alpha }(x)$ $\alfa =0,1,2$

Om inte är ett heltal är funktionerna och linjärt oberoende och är därför lösningar till ekvationen. Men om ett heltal är följande förhållande sant: $\alfa$ $J_{\alpha }(x)$ $J_{{-\alpha }}(x)$ $\alfa$

J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x).

Det betyder att i detta fall är funktionerna linjärt beroende. Då kommer den andra lösningen av ekvationen att vara Bessel-funktionen av det andra slaget (se nedan).

Bessel-integraler

Man kan ge en annan definition av Bessel-funktionen för heltalsvärden med hjälp av integralrepresentationen: $\alfa$

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \ tau )\,d\tau .

Detta tillvägagångssätt användes av Bessel, som använde det för att studera vissa egenskaper hos funktioner. En annan integrerad representation är också möjlig:

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}\,d\tau .

För att hitta den integrerade representationen av Bessel-funktionen i fallet med icke-heltal , är det nödvändigt att ta hänsyn till att det finns ett snitt längs abskissaxeln. Detta beror på att integranden inte längre är -periodisk. Således är integrationskonturen uppdelad i 3 sektioner: en stråle från till , där , en cirkel med enhetsradie och en stråle från till vid . Efter att ha gjort enkla matematiska transformationer kan du få följande integrerade representation: $\alfa$ $2\pi$ $-\infty$ $ett$ $\phi =-\pi$ $ett$ $+\infty$ $\phi =\pi$

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(xsin(\phi) )-\alpha \phi )}d\phi -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {e^{ -{\frac {1}{2}}x(r-{\frac {1}{r))))}{{}r^{\alpha +1}}}dr.

Det är lätt att se att för heltal går detta uttryck över i den föregående formeln. $\alfa$

Neumann funktioner

Neumann-funktionerna är lösningar av Bessel-ekvationen, oändliga vid punkten . $Y_{\alpha }(x)$ $x=0$

Denna funktion är relaterad till följande relation: $J_{\alpha }(x)$

Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{{-\alpha }}(x)}{\sin(\alpha \pi )}},

där i fallet med ett heltal tas gränsen på , som beräknas till exempel med hjälp av L'Hospital-regeln . $\alfa$ $\alfa$

Neumann-funktioner kallas även Bessel-funktioner av det andra slaget. Den linjära kombinationen av Bessel-funktionerna av det första och andra slaget är den kompletta lösningen av Bessel-ekvationen:

y(x)=C_{1}J_{\alfa}(x)+C_{2}Y_{\alfa}(x).

Nedan är ett diagram för : $Y_{\alpha }(x)$ $\alfa =0,1,2$

I ett antal böcker betecknas Neumann-funktionerna med . $N_{\alpha }(x)$

Sfäriska Bessel-funktioner

När man löser Helmholtz-ekvationen i sfäriska koordinater med metoden för separation av variabler, har ekvationen för den radiella delen formen

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n (n+1)\right)y=0.

Två linjärt oberoende lösningar kallas sfäriska Bessel-funktioner j n och y n , och är relaterade till de vanliga Bessel-funktionerna J n och Neumann Y n med [2]

{\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x) ,\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^ {n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}

yn betecknas också n n eller ηn ; _ vissa författare hänvisar till dessa funktioner som sfäriska Neumann-funktioner .

De sfäriska Bessel-funktionerna kan också skrivas som ( Rayleighs formel ) [3]

{\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\ höger)^{n}{\frac {\sin x}{x)),\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}

Några första sfäriska Bessel-funktioner [4] :

{\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x)),\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x} {x^{2))}-{\frac {\cos x}{x)),\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2))} -1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left( {\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15} {x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}

och Neumann [5] :

{\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x)),\\y_{1}(x )&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2))}-{\frac {\sin x}{x)),\\y_{2}( x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}- {\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x ^{3))}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}} -1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}

Genererar funktioner

Generera funktioner för sfäriska Bessel-funktioner [6] :

{\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0} ^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!)}}y_{n-1} ( z).\end{aligned}}

Differentiella relationer

I följande formler kan f n ersättas med j n , y n , h(1)
n, h(2)
n, där h(1)
noch h(2)
n är sfäriska Hankel-funktioner, för n = 0, ±1, ±2, ... [7] :

{\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_ {n}(z)\höger)&=z^{n-m+1}f_{nm}(z),\\\vänster({\frac {1}{z)){\frac {d}{ dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-nm}f_{n+m }(z).\end{aligned}}

Egenskaper

Ortogonalitet

Låt vara nollorna för Bessel-funktionen . Sedan [1] : ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2))$ $J_{\alpha }(x)$

\int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{ \begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right.

Asymptotik

Asymptotiska formler är kända för Bessel-funktioner av det första och andra slaget . Med små och icke-negativa argument ser de ut så här [8] : $(0<x\ll {\sqrt {\alpha +1)))$ $\alfa$

J_{\alpha }(x)\högerpil {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)))\left({\frac {x}{2))\right)^{\alpha },

Y_{\alpha }(x)\högerpil \left\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\ mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{ \alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matris}}\right.

där är Eulerkonstanten - Mascheroni (0,5772 ...), och är Eulers gammafunktion . För stora argument ( ) ser formlerna ut så här: $\gamma$ $\Gamma$ $x\gg |\alpha ^{2}-1/4|$

J_{\alpha }(x)\högerpil {\sqrt {\frac {2}{\pi x))}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi}{2))- {\frac {\pi }{4}}\right),

Y_{\alpha }(x)\högerpil {\sqrt ({\frac {2}{\pi x))))\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi}{2)))-{ \frac {\pi }{4}}\right).

Användningen av nästa term av den asymptotiska expansionen gör det möjligt att avsevärt förfina resultatet. För en noll-ordningens Bessel-funktion ser det ut så här:

J_{0}\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x))}\cos(x-{\frac {\pi}{4)))+{\frac {1}{ 4x{\sqrt {2\pi x))))\sin(x-{\frac {\pi }{4))))

Hypergeometrisk serie

Bessel-funktionerna kan uttryckas i termer av den hypergeometriska funktionen :

J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1))){}_{0}F_{1}(\alpha +1 ;-z^{2}/4).

För heltal är Bessel -funktionen således analytisk med ett värde och för icke-heltal är den analytisk med flera värden . $\alfa$

Genererande funktion

Det finns en representation för Bessel-funktionerna av det första slaget och heltalsordningen i termer av koefficienterna för Laurent-serien för en funktion av en viss typ, nämligen

e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\summa _{n=-\infty }^{+\ infty }J_{n}(z)w^{n}.

Förhållanden

Jacobi-Ilska formel och relaterade

Erhållen från uttrycket för genereringsfunktionen vid , [9] : $a=1$ $w=e^{i\phi }$

e^{{iz\sin \phi }}=J_{0}(z)+2\summa _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n}}(z)\cos(2n\ phi )+2i\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n-1}}(z)\sin(2n-1)\phi .

För , [9] : $a=1$ $t=ie^{{i\phi }}$

e^{{iz\cos \phi }}=J_{0}(z)+2\summa _{{n=1}}^{\infty }i^{n}J_{n}(z)\cos (n\phi).

Återkommande relationer

Det finns ett antal återkommande relationer för Bessel-funktioner. Här är några av dem:

J_{\alpha +1}={\frac {\alpha }{x))J_{\alpha }-J'_{\alpha }(x);

J_{\alpha +1}(x)+J_{\alpha -1}(x)={\frac {2\alpha}{x}}J_{\alpha}(x);

J_{\alpha +1}(x)-J_{\alpha -1}(x)=-2J'_{\alpha }(x)

[10] .

Additionssats

För alla heltal n och komplex , har vi [11] $z_{1}$ $z_{2}$

J_{n}(z_{1}+z_{2})=\sum _{{k=-\infty }}^{\infty }J_{k}(z_{1})J_{{nk}}( z_{2}).

Integral uttryck

För alla och (inklusive komplexa), [12] $a$ $b$

\int _{0}^{\infty }e^{{-at))J_{n}(bt){\mathrm d}t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^ {2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}.

Ett specialfall av den sista formeln är uttrycket

\int _{0}^{\infty }e^{{-at))J_{0}(bt){\mathrm d}t={\frac {1}{{\sqrt {a^{2}+ b^{2}}}}}.

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Zubov V. I. . Bessel funktioner . - M . : MIPT, 2007. Arkiverad kopia av 24 juni 2016 på Wayback Machine
↑ Abramowitz och Stegun, sid. 437, 10.1.1 Arkiverad 2 september 2006 på Wayback Machine .
↑ Abramowitz och Stegun, sid. 439, 10.1.25, 10.1.26 Arkiverad 21 december 2009 på Wayback Machine .
↑ Abramowitz och Stegun, sid. 438, 10.1.11 Arkiverad 30 april 2009 på Wayback Machine .
↑ Abramowitz och Stegun, sid. 438, 10.1.12 Arkiverad 30 april 2009 på Wayback Machine .
↑ Abramowitz och Stegun, sid. 439, 10.1.39 Arkiverad 21 december 2009 på Wayback Machine .
↑ Abramowitz och Stegun, sid. 439, 10.1.23, 10.1.24 Arkiverad 22 december 2019 på Wayback Machine .
↑ Arfken G. B., Hans J. W. . Matematiska metoder för fysiker. 6:e uppl. - San Diego: Harcourt, 2005. - ISBN 0-12-059876-0 .
↑ 1 2 Bateman, Erdeyi, 1974 , sid. femton.
↑ V. S. Gavrilov et al. Bessel fungerar i problem inom matematisk fysik Arkiverad 26 november 2019 på Wayback Machine , s. 7
↑ Lavrentiev, Shabat, 1973 , sid. 670.
↑ Lavrentiev, Shabat, 1973 , sid. 671.

Litteratur

Watson G. Teori om Bessel funktioner. — M .: IL , 1949.
Bateman G., Erdeyi A. . Besselfunktioner, paraboliska cylinderfunktioner, ortogonala polynom // Högre transcendentala funktioner. T. 2. 2:a uppl. / Per. från engelska. N. Ya. Vilenkina. — M .: Nauka , 1974. — 296 sid.
Lavrentiev M. A., Shabat B. V. . Metoder för teorin om funktioner för en komplex variabel. — M .: Nauka , 1973. — 736 sid.