Pilotvågsteori

Inom teoretisk fysik är pilotvågsteorin det första kända exemplet på en gömd variabelteori .

Den introducerades av Louis de Broglie 1927. Dess mer moderna version i tolkningen av Bohm är ett försök att tolka kvantmekaniken som en deterministisk teori, där sådana begrepp som vågfunktionens momentana kollaps och Schrödingers katts paradox finner sin förklaring .

Principer

Pilotvågsteorin är en dold variabel teori. Därför bygger teorin på följande begrepp:

realism (vilket betyder att dess begrepp existerar oberoende av betraktaren );
determinism .

Positionen och rörelsemängden för varje partikel anses vara dolda variabler; de definieras när som helst, men inte kända för observatören; initialförhållandena för partikeln är inte heller kända exakt, så ur observatörens synvinkel finns det en osäkerhet i partikelns tillstånd, vilket överensstämmer med Heisenbergs osäkerhetsprincip .

En uppsättning partiklar motsvarar en våg som utvecklas enligt Schrödinger-ekvationen . Var och en av partiklarna följer en deterministisk bana [1] , som är orienterad mot vågfunktionen , helt, partikeldensiteten motsvarar storleken på vågfunktionen. Vågfunktionen är inte beroende av partiklar och kan även existera som en tom vågfunktion [2] .

Liksom de flesta andra tolkningar av kvantmekanik än tolkningen av många världar , är denna teori icke-lokal .

Konsekvenser

Pilotvågsteorin visar att det finns en teori som är realistisk och deterministisk, och genom att göra det försöker den förutsäga de experimentella resultaten av kvantmekaniken, såsom dubbelslitsexperimentet .

Matematiska grunder

För de Broglie-Bohms pilotvågshärledning för elektroner , kvant Lagrangian

L(t)={{\frac {1}{2}}}mv^{2}-(V+Q),

där Q är potentialen förknippad med kvantkraften (partikeln som påverkas av vågfunktionen) integreras längs en väg (som elektronen faktiskt följer). Detta leder till följande formel för Bohm- propagatorn :

K^{Q}(X_{1},t_{1};X_{0},t_{0})={\frac {1}{J(t)^{{{\frac {1}{2} )))))\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}L(t)\,dt\right ]

Denna propagator gör att elektronen kan spåras över tid under påverkan av kvantpotentialen Q.

Härledning av Schrödinger-ekvationen

Pilotvågsteorin är baserad på Hamilton-Jacobi-dynamik [3] och inte på lagrangisk eller hamiltonsk dynamik. Använda Hamilton-Jacobis ekvationer

H\left({\mathbf {q)),{\partial S \over \partial {\mathbf {q))},t\right)+{\partial S \over \partial t}\left({\mathbf {q}},t\right)=0

- du kan få Schrödinger-ekvationen .

Betrakta en klassisk partikel vars position är okänd. Vi måste betrakta det statistiskt, så endast sannolikhetstätheten ρ(x, t) är känd. Sannolikheten måste bevaras, d.v.s. för varje t. Därför måste den uppfylla kontinuitetsekvationen $\int \rho \,d^{3}x=1$

\partial \rho /\partial t=-\nabla \cdot (\rho v)\quad (1)

där v(x, t) är partikelns hastighet.

I Hamilton-Jacobi-formuleringen av klassisk mekanik ges hastigheten av , där S(x, t) är lösningen av Hamilton-Jacobis ekvation: $v(x,t)={\frac {\nabla S(x,t)}{m))$

-{\frac {\partial S}{\partial t))={\frac {\left(\nabla S\right)^{2)){2m))+{\tilde {V))( x)\quad(2),

var är den yttre potentialen i vars fält partiklarna rör sig. ${\tilde {V}}$

Vi kan kombinera ekvationerna (1) och (2) till ett enda ekvationssystem genom att introducera en komplex funktion . Då är dessa två ekvationer ekvivalenta: $\psi ={\sqrt {\rho }}e^{{\frac {iS}{\hbar }}}$

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))=\left(-{\frac {\hbar ^{2)){2m))\nabla ^{2}+V\ höger)\psi\quad(3)

var

V={\tilde {V}}-Q

och

\quad Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }} }\quad(4)

Ekvation (3) sammanfaller med standard Schrödinger-ekvationen för vågfunktionen för en kvantpartikel i en extern potential . För att återgå till ekvation (2) ser vi att kvantmekaniken kan skrivas i form av klassisk mekaniks rörelseekvationer om man istället för den vanliga potentiella energin använder ett uttryck som inkluderar en extra icke-lokal kvantpotential beroende på krökningen av vågfunktionens amplitud. $\psi$ $V$ ${\tilde {V}}{=}V{+}Q$ $F$

Hydrodynamisk formulering av Schrödinger-ekvationen (Madelung-de Broglie-Bohm-teorin)

Det avslöjade sambandet mellan den klassiska och kvantmekanikens ekvationer ligger till grund för Madelung- de Broglie- Bohm -teorin , även känd som den hydrodynamiska formuleringen av Schrödinger-ekvationen . Inom ramen för denna teori finns det inget behov av att uttryckligen införa en pilotvåg. Utgångspunkten för teorin är representationen av vågfunktionen i polära koordinater, där det antas att sannolikheten för att hitta partikeln vid punkten är icke-negativ och det verkliga värdet bestämmer fasen för vågfunktionen. Genom att ersätta denna representation i Schrödinger-ekvationen (3) kan man skriva om evolutionsekvationerna i nya variabler och : $\psi ={\sqrt {\rho }}e^{{\frac {iS}{\hbar }}}$ $\rho (x)$ $x$ $S$ $\rho (x,t)$ $v(x,t)={\tfrac {\nabla S(x,t)}{m}}{=}{\tfrac {\hbar }{m}}\mathrm {Im} [{\tfrac {\nabla \psi }{\psi }}]$

{\frac {\partial {\rho (x,t)}}{\partial t}}{=}-\mathrm {div} (v\rho ),\quad

(5a)

m{\frac {du}{dt}}{=}{-}\mathrm {grad} (V{+}Q).\quad

(5 B)

Det är lätt att se att den första av dessa ekvationer sammanfaller med kontinuitetsekvationen för någon "kvantvätska", med densitet och flödeshastighet . Den andra ekvationen är i huvudsak en analog till Newtons andra lag, där kvantpotentialen Q återigen visas, givet av formel (2). $\rho$ $v$

Ekvationer (5) är de grundläggande ekvationerna i den hydrodynamiska beskrivningen av kvantmekaniken. Hela deras kvantnatur är "dold" i potentialen Q, som definierar en icke-lokal, icke-additiv och till stor del singulär interaktion mellan partiklarna i en kvantvätska. I synnerhet vänder både kvantpotentialen i sig och dess gradient till oändligheten vid de punkter där , på grund av vilka partiklar av en kvantvätska omedelbart kan få oändliga hastigheter och glida genom "torra" platser, där den försvinner. På grund av detta har dynamiken som definieras av ekvation (5) kvalitativa skillnader från den klassiska. Som ett illustrativt exempel är det intressant att överväga bildandet av ett interferensmönster genom att två gaussiska vågpaket fritt utbreder sig mot varandra. Kom ihåg att i standardtolkningen av kvantmekanik uppstår interferensmönstret på grund av principen om kvantöverlagring, vilket gör att paketens vågfunktioner kan passera genom varandra utan att interagera. Samtidigt kan flödena av kvantvätskepartiklar inte skära varandra. Som ett resultat uppstår interferens som ett resultat av ett komplext spridningsmönster av kolliderande partikelströmmar, där deras hastigheter når oändliga värden. $\rho (x)=0$ $\rho (x)$

De beskrivna matematiska egenskaperna hos den kvanthydrodynamiska beskrivningen är ett betydande hinder för dess användning i tillämpade beräkningar. Ändå finns det exempel på dess framgångsrika användning både vid tillämpning på de enklaste testproblemen och för att beskriva några molekylära processer [4] . [5] ..

Tomma vågfunktioner

Lucien Hardy [6] och J.S. Bell [2] betonar att i de Broglie-Bohms bild av kvantmekaniken kan det finnas "tomma vågor" som beskrivs av vågfunktioner som utbreder sig i rum och tid, men som inte bär energi eller momentum [ 7] och inte bunden till en partikel. Samma koncept kallades "spökvågen" (eller "Gespensterfelder", spökfält) av Albert Einstein . [åtta]

Begreppet en tom vågfunktion har diskuterats i detalj i litteraturen [9] [10] [11] . I många världars tolkning av kvantmekaniken finns det inget behov av att introducera begreppet en tom vågfunktion [2] .

Anteckningar

↑ Utsatt för oförutsägbara störningar, såväl som med ett exakt okänt initialtillstånd för partikeln. [1] Arkiverad 2 februari 2015 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 J. S. Bell: Kvantmekanikens sex möjliga världar (länk ej tillgänglig) , Foundations of Physics, vol. 22, nr. 10, del I. Inbjudna papper tillägnade Louis De Broglie, 1992, s. 1201-1215, DOI: 10.1007/BF01889711, sid. 1212
↑ Towler, Mike, http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~mdt26/pilot_waves.html Arkiverad 10 april 2016 på Wayback Machine
↑ Robert E. Wyatt: Quantum Dynamics with Trajectories: Introduction to Quantum Hydrodynamics (Springer, 2005) ISBN 978-0-387-22964-5
↑ B. Gu och S. Garashchuk, "Quantum Dynamics with Gaussian Bases Defined by the Quantum Trajectories" J. Phys. Chem. A 120, 3023 (2016) ( abstrakt arkiverad 16 maj 2022 på Wayback Machine )
↑ Lucien Hardy: Om förekomsten av tomma vågor i kvantteorin , Physics Letters A, vol. 167, nr. 1, 6 juli 1992, sid. 11-16, DOI: 10.1016/0375-9601(92)90618-V ( abstrakt arkiverad 24 september 2015 på Wayback Machine )
↑ Franco Selleri, Alwyn Van der Merwe . Kvantparadoxer och fysisk verklighet , sid. 86
↑ Franco Selleri , Alwyn Van der Merwe : Kvantparadoxer och fysisk verklighet , Fundamental Theories of Physics, Kluwer Academic, 1990, ISBN 0-7923-0253-2 , s. 85-86 Arkiverad 16 april 2020 på Wayback Machine
↑ Marek Zukowski . "Om förekomsten av tomma vågor i kvantteorin": en kommentar // Physics Letters A, vol. 175, nr. 3-4, 12 april 1993, sid. 257-258, DOI: 10.1016/0375-9601(93)90837-P ( abstrakt )
↑ HD Zeh: Varför Bohms kvantteori?, hittat. Phys. Lett. 12 (1999) sid. 197-200, quant-ph/9812059v2 Arkiverad 15 december 2018 på Wayback Machine
↑ L. Vaidman . The Reality in Bohmian Quantum Mechanics or Can You Kill with an Empty Wave Bullet?, quant-ph/0312227 Arkiverad 1 mars 2019 på Wayback Machine (inlämnad 31 december 2003)