Deduktion (komplex analys)

En rest i komplex analys är ett objekt (ett tal, en form eller en kohomologisk klass av en form) som kännetecknar de lokala egenskaperna hos en given funktion eller form .

Teorin om rester av en komplex variabel utvecklades huvudsakligen av Cauchy 1825-1829. Förutom honom erhölls viktiga resultat av Eremit , Sokhotsky , Lindelöf . År 1887 generaliserade Poincaré Cauchys integralsats och begreppet rest till fallet med två variabler [1] , från det ögonblicket härstammar den flerdimensionella teorin om rester. Det visade sig dock att detta begrepp kan generaliseras på olika sätt.

För att beteckna resten av en analytisk funktion vid en punkt används ett uttryck (från lat. residuum ). I ryskspråkig litteratur kallas det ibland för [2] . $F Z)$ $z_{0}$ ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}\left[f(z),z_{0}\right]$ ${\text{calc}}\left[f(z),z_{0}\right]$

Endimensionell komplex analys

Funktionsavdrag

För en funktion med komplext värde i en domän som är regelbunden i någon punkterad omgivning av punkten är dess rest vid punkten numret: $F Z)$ $D\subseteq {\mathbb C}$ $a\i D$ $a$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \ gränser _{{|za|=\rho }}\!f(z)\,dz

Eftersom funktionen är holomorf i en liten punkterad omgivning av punkten , enligt Cauchy-satsen, beror inte värdet på integralen på tillräckligt små värden av denna parameter, liksom på formen av integrationsvägen. Det enda viktiga är att vägen är en stängd kurva i området för funktionens analyticitet, när den en gång omsluter den aktuella punkten och inga andra punkter som inte tillhör holomorfiområdet . $F Z)$ $a$ $\rho$ $f$

I vissa grannskap av punkten representeras funktionen av en konvergent Laurent-serie i makter . Det är lätt att visa att resten sammanfaller med koefficienten för serien vid . Denna representation tas ofta som definitionen av resten av en funktion. $a$ $F Z)$ $za$ $c_{{-1}}$ $(za)^{{-1}}$

Avdrag vid "oändlighet"

För att möjliggöra en mer fullständig studie av egenskaperna hos en funktion introduceras begreppet en rest i oändligheten, medan det betraktas som en funktion på Riemann-sfären . Låt punkten vid oändligheten vara en isolerad singularpunkt , då är resten vid oändligheten ett komplext tal lika med: $F Z)$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{\infty }\,f(z)=-\lim _({\rho \to \infty }}{1 \over {2\pi i}} \int \limits _{{|z|=\rho }}\!f(z)\,dz

Integrationscykeln i denna definition är orienterad positivt, det vill säga moturs.

I likhet med föregående fall har resten vid oändligheten också en representation i form av koefficienten för Laurent-expansionen i närheten av punkten vid oändligheten:

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{\infty }\,f(z)=-c_{{-1}}

Återstående differentialform

Ur synvinkel analys av grenrör är det onaturligt att införa en speciell definition för någon framstående punkt i Riemann-sfären (i detta fall i oändligheten). Dessutom är ett sådant tillvägagångssätt svårt att generalisera till högre dimensioner . Därför introduceras begreppet rest inte för funktioner, utan för differentialformer på Riemann-sfären: $(1,\;0)$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,\omega =\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _ {{|za|=\rho }}\!\omega

Vid första anblicken är det ingen skillnad i definitionerna, men nu är det en godtycklig punkt , och teckenändringen vid beräkning av resten vid oändligheten uppnås genom att ändra variablerna i integralen. $a$ $\overline {{\mathbb C}}$

Logaritmiska rester

Integralen kallas den logaritmiska resten av funktionen med avseende på konturen . ${1 \over {2\pi i}}\oint \limits _{L}\!{f^{\prime }(z) \over f(z)}\,dz$ $F Z)$ $L$

Begreppet logaritmisk rest används för att bevisa Rouchés sats och algebras grundläggande sats .

Sätt att beräkna avdrag

Per definition kan återstoden beräknas som en konturintegral, men i det allmänna fallet är detta ganska mödosamt. Därför använder de i praktiken främst konsekvenserna av definitionen.

Vid den borttagbara singularpunkten , såväl som vid regelbundenhetspunkten, är resten av funktionen lika med noll. Samtidigt är detta påstående inte sant för en punkt i oändligheten. Till exempel har en funktion en första ordningens nolla vid oändligheten, dock . Anledningen till detta är att formen har en singularitet både vid noll och vid oändlighet. $a\in {\mathbb C}$ $F Z)$ $f(z)={\frac {1}{z}}$ ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{\infty }}\,{\frac 1{z}}=-1$ ${\frac {dz}{z))$

I multiplicitetspolen kan resten beräknas med formeln: $a$ $n$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{{z\to a}}{{d^ {{(n-1)}} \över dz^{{(n-1)}}}[(za)^{n}f(z)]}

specialfall $n=1$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{z\to a}}{(za)f(z)}

Om funktionen har en enkel pol vid punkten , där och är funktioner holomorfa i grannskapet , , , så kan en enklare formel användas: $f(z)={\frac {g(z)}{h(z)))$ $a$ $g(z)$ $h(z)$ $a$ $h(a)=0$ $h'(a)\neq 0$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)={\frac {g(a)}{h^{\prime }(a))))

Mycket ofta, särskilt när det gäller väsentligen singulära punkter , är det bekvämt att beräkna resten med hjälp av Laurent-seriens expansion av funktionen. Till exempel, eftersom koefficienten för at är lika med 1. ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{0}\,e^{{1/z}}={\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{0}\,\left (1+{\frac 1{z}}+{\frac 1{2!z^{2}}}+\ldots \right)=1$ $z^{{-1}}$

Tillämpningar av teorin om rester

I de flesta fall används restteori för att beräkna olika typer av integraluttryck med hjälp av huvudrestsatsen . Ofta användbart i dessa fall är Jordans lemma .

Beräkningar av bestämda integraler av trigonometriska funktioner

Låt funktionen vara en rationell funktion av variablerna och . För att beräkna integraler av formen är det bekvämt att använda Euler-formlerna . Om vi antar att och gör lämpliga omvandlingar får vi: $R(u,\;v)$ $u$ $v$ $\int \limits _{0}^{{2\pi }}R\!(\sin \varphi ;\;\cos \varphi )\,d\varphi$ $z=e^{{i\varphi }}$

\int \limits _{0}^{{2\pi }}\!R(\sin \varphi ,\;\cos \varphi )\,d\varphi =2\pi i\sum {\mathop {{\ mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}R(z)

Beräkning av felaktiga integraler

För att beräkna felaktiga integraler med hjälp av teorin om rester, används följande två lemman:

1. Låt funktionen vara holomorf i det övre halvplanet och på den reella axeln, förutom ett ändligt antal poler som inte ligger på den reella axeln och . Sedan $F Z)$ $I^{+}=\{z\mid \operatörsnamn {Im}\,z\geqslant 0\}$ $n$ $\lim _{{z\to \infty }}zf(z)=0$

\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x)\,dx=2\pi i\sum _{{k=1}}^{n}{\ mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}f(z)

2. Låt funktionen vara holomorf i det övre halvplanet och på den reella axeln, förutom ett ändligt antal poler , som inte ligger på den reella axeln, och . Sedan $F Z)$ $I^{+}=\{z\mid \operatörsnamn {Im}\,z\geqslant 0\}$ $n$ $\lim _{{z\to \infty }}zf(z)=0$ $\alfa >0$

\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x)e^{{i\alpha x}}\,dx=2\pi i\sum _{{k =1}}^{n}{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}f(z)e^{{i\alpha z}}

I det här fallet krävs inte integralerna på de vänstra sidorna av likheterna för att existera och förstås därför endast i betydelsen av huvudvärdet (enligt Cauchy) .

Multivariat komplex analys

Form-residue och class-residue

Lokalt avdrag

Restflöde

Anteckningar

↑ H. Poincare. Sur les résidues des integrales dubbel // Acta Math. - 1887. - Nr 9 . - S. 321-380 . - doi : 10.1007/BF02406742 .
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner för en komplex variabel. - 3:e uppl., tillägg. — M.: Nauka, 1974. — 320 sid.

Litteratur

Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka, 1976.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner för en komplex variabel. — M .: Nauka, 1979.
Aizenberg L. A., Yuzhakov A. P. Integrala representationer och rester i multidimensionell komplexanalys. - Novosibirsk: Nauka, 1979.
Tsikh A.K. Flerdimensionella rester och deras tillämpningar. - Novosibirsk: Nauka, 1988.