Homologisk spegelsymmetri är en matematisk gissning som lagts fram av Maxim Kontsevich . Det uppstod som ett försök att avslöja den matematiska karaktären hos ett fenomen som först märktes av fysiker inom strängteorin .
I ett meddelande till den internationella matematiska kongressen i Zürich 1994 föreslog Kontsevich att spegelsymmetrin för ett par Calabi-Yau grenrör X och Y kan förklaras som en ekvivalens av en triangulerad kategori , erhållen med metoderna för algebraisk geometri ( derivatan av kategorin koherenta skivor på X ) och en annan triangulerad kategori, konstruerad med hjälp av symplektisk geometri (derivatan av Fukaya-kategorin på Y ).
Edward Witten beskrev ursprungligen den topologiska vändningen av N=(2,2) supersymmetrisk fältteorin i vad han kallade A- och B-modellerna för topologisk strängteori . Dessa modeller överväger kartläggning av Riemann-ytor till så kallade målutrymmen , vanligtvis Calabi-Yau-grenrör. De flesta av de matematiska förutsägelserna av spegelsymmetri passar in i ramen för ekvivalensen av A-modellen på Y och B-modellen på dess spegel X , känd från fysiken . Riemann-ytor, som är grenrör utan gräns, kan vara världsarket för en sluten sträng. För att beskriva fallet med öppna strängar behöver man dessutom specificera randvillkor som dessutom bevarar supersymmetri. I A-modellen tar dessa gränsförhållanden formen av de lagrangiska undergrenarna av Y med någon ytterligare struktur (ibland kallad branstrukturen). I B-modellen tar dessa gränsvillkor formen av holomorfa submanifolds av X med en holomorf vektorbunt på dem. Dessa objekt används för att konstruera de beskrivna triangulerade kategorierna. De kallas A- respektive B-braner. Morfismer i dessa kategorier är alla masslösa öppna strängar som sträcks mellan två braner.
För slutna strängar täcker A- och B-modellerna endast den topologiska sektorn, en liten del av hela strängteorin. På liknande sätt är brorna i dessa modeller endast topologiska approximationer till det fullständiga dynamiska objektet - D-braner . På ett eller annat sätt är matematik, även i denna lilla sektor av strängteorin, både djup och svår.
Matematiker kunde testa denna hypotes med bara några få exempel. I sitt ursprungliga meddelande nämnde Kontsevich att gissningen kunde bevisas för elliptiska kurvor med hjälp av theta-funktioner . Efter detta förslag presenterade Eric Zaslow och en annan matematiker ett bevis på denna gissning för elliptiska kurvor. Kenji Fukaya gav fragment av beviset för abelska sorter . Senare gav Kontsevich och Jan Soibelman ett bevis på en väsentlig del av den gissning som diskuteras för icke-singulara toriska buntar över affina varianter med hjälp av idéerna från SYZ-förmodan . 2003 bevisade Paul Seidel sin kvartsförmodan .
Tabellen nedan kallas Hodge-diamanten. Här är h p , q — dimensionerna av utrymmena i ( p , q )-differentialformer — ordnade så att koordinaterna ( p , q ) bildar rombens sidor. I det tredimensionella fallet kör p och q heltalsvärden från noll till tre, och Hodge-romben, till exempel, för ett komplext tvådimensionellt grenrör ser ut så här:
h 2,2 h 2,1 h 1,2 h 2,0 h 1,1 h 0,2 h 1,0 h 0,1 h 0,0När det gäller en elliptisk kurva , som är en komplex endimensionell Calabi-Yau-grenrör, är Hodge-diamanten särskilt enkel:
ett elva ettI fallet med en K3-yta , som är en komplex tvådimensionell Calabi-Yau-grenrör, eftersom dess Betti-tal är {1, 0, 22, 0, 1}, ser Hodge-diamanten ut så här:
ett 0 0 1 20 1 0 0 ettCalabi-Yau grenrör av komplex dimension tre är det första icke-triviala exemplet på spegelsymmetri. Par som är spegelsymmetriska till varandra (låt oss kalla dem M och W) mappas in i varandra med symmetri kring en vertikal linje.
Hodge rhombus av grenröret M :
ett 0 0 0 till 0 1 b b 1 0 till 0 0 0 ettHodge rhombus av grenröret W :
ett 0 0 0 b 0 1 a a 1 0 b 0 0 0 ettM och W motsvarar A- och B-modeller inom strängteorin. Spegelsymmetri byter inte bara Betti-talen, den byter ut de symplektiska och komplexa strukturerna hos spegelsymmetriska grenrör. Detta är essensen av homologisk spegelsymmetri.