Theta funktion

Theta-funktioner är specialfunktioner för flera komplexa variabler . De spelar en viktig roll inom många områden, inklusive teorin om abelska varianter , modulutrymmen och kvadratiska former . De tillämpas också i teorin om solitoner . Efter generalisering till Grassmann-algebra förekommer funktioner även i kvantfältteorin [1] .

Den vanligaste typen av theta-funktioner är de som finns i teorin om elliptiska funktioner . Med avseende på en av de komplexa variablerna (vanligtvis betecknad z ), har theta-funktionen egenskapen att addera perioderna för de associerade elliptiska funktionerna, vilket gör dem kvasi-periodiska . I abstrakt teori erhålls detta från linjebuntsvillkoret droppen .

Jacobi theta funktion

Det finns flera relaterade funktioner, kallade Jacobi theta-funktionerna, och många olika och inkompatibla notationssystem. En Jacobi theta-funktion (uppkallad efter Carl Gustav Jacobi ), är en funktion definierad från två komplexa variabler z och , där z kan vara vilket komplext tal som helst , och är begränsad till den övre halvan av planet , vilket betyder att talet har ett positivt tal. imaginär del. Funktionen ges av formeln $\tau$ $\tau$

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2 \pi inz\right)=\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau}\right)^{n^{2}} \cos(2\pi nz)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n},\end{aligned}}

var och . Funktionen är en Jacobi-form . Om vi fixar , blir funktionen en Fourierserie för en periodisk hel funktion av z med period 1. I detta fall uppfyller theta-funktionen identiteten $q=\exp(\pi {i}\tau )$ $\eta =\exp(2\pi {i}z)$ $\tau$

\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).

Funktionen uppträder mycket regelbundet, med hänsyn till kvasiperioden , och uppfyller den funktionella ekvationen $\tau$

\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\,\vartheta (z;\tau ),

där a och b är heltal.

Hjälpfunktioner

Jacobi theta-funktionen som definieras ovan betraktas ibland tillsammans med tre ytterligare theta-funktioner, i vilket fall den skrivs med ett extra index 0:

\vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )

Ytterligare (halvperiodiska) funktioner definieras av formlerna

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \!\left(z+{\tfrac {1}{2));\tau \right)\\[ 3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{ \tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4} }\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{ \tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}

Dessa notationer följdes av Riemann och Mumford . Jacobis ursprungliga formulering var i termer av nome , inte . I Jacobi-notation skrivs θ -funktioner som: ${\displaystyle q=e^{i{\pi}\tau ))$ $\tau$

{\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&= \vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z; q)&=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}

Ovanstående definitioner av Jacobi theta-funktionen är långt ifrån de enda. Se artikeln Jacobi Theta funktioner (variationer av notation) för ytterligare diskussion.

Om vi lägger in theta-funktionerna ovan får vi fyra funktioner som endast beror på och definieras på det övre halvplanet (som ibland kallas theta-konstanter.) Dessa kan användas för att definiera olika modulära former och för att parametrisera några kurvor. I synnerhet Jacobi-identiteten $z=0$ $\tau$

\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^ {fyra}

är en fjärdegrads Fermat-kurva .

Jacobi-identiteter

Jacobi-identiteterna beskriver hur theta-funktionerna transformeras av den modulära gruppen , som genereras av mappningarna och . Identiteterna för den första transformationen är lätta att hitta, eftersom att lägga till en till exponenten k har samma effekt som att lägga till en till z ( mod 2). I det andra fallet sätter vi $\tau \mapsto \tau +1$ $\tau \mapsto -{\tfrac {1}{\tau }}$ $\tau$ ${\tfrac {1}{2))$ $n\equiv n^{2}$

\alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi}{\tau }}iz^{2}\right).

Sedan

{\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\ alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\ tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau } };{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({ \frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{ Justerat}}

Theta fungerar i termer av en nome

Istället för att uttrycka theta-funktioner i termer av z och , kan vi uttrycka dem i termer av argumentet w och nome q , där , och . I det här fallet blir funktionerna $\tau$ ${\displaystyle w=e^{\pi {i}z))$ ${\displaystyle q=e^{\pi {i}\tau ))$

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^ {n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{ 2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\summa _{n=-\infty }^{\infty }( w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1 }{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}

Vi ser att thetafunktionerna kan definieras i termer av w och q utan direkt hänvisning till exponentialfunktionen. Formler kan därför användas för att definiera theta-funktioner över andra fält där exponentialfunktionen kanske inte är definierad överallt, till exempel fältet för p -adiska tal .

Representationer av verk

Jacobi-trippelprodukten (ett specialfall av Macdonald-identiteterna ) säger oss att för komplexa tal w och q med och vi har $|q|<1$ $w\neq 0$

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\ vänster(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\summa _{n=-\infty }^{\infty}w^{2n}q^{n^{2}} .

Detta kan bevisas med elementära medel, som till exempel i Hardy och Wrights An Introduction to the Theory of Numbers .

Om vi uttrycker theta-funktionen i termer av volymer och , då ${\displaystyle q=e^{\pi {i}\tau ))$ ${\displaystyle w=e^{\pi {i}z))$

\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)= \sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.

Vi får därför en produktformel för formens thetafunktion

\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (} (2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.

När det gäller w och q :

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+ q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left( q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty}\,\left( -{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right) _{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned))

var är q -Pochhammer-symbolen och är q -theta-funktionen . Om fästena öppnas kommer Jacobi trippelprodukten att ta formen ${\displaystyle (~~;~~)_{\infty ))$ $\theta (~~;~~)$

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2 }\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},

som också kan skrivas om som

\vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\höger).

Denna formel är sann för det allmänna fallet, men är av särskilt intresse för verkliga z . Liknande produktformler för ytterligare theta-funktioner

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\ vänster(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\höger),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\midt q)& =2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right)\left(1 +2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2) \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}

Heltalsrepresentationer

Jacobi theta-funktionerna har följande integrerade representationer:

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u ^{2)){\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)))}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z; \tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin (\pi u))))\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i \pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1} {4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}

Explicita värden

Se Yi (2004) [2] .

{\begin{aligned}\varphi (e^{-\pi x})&=\vartheta (0;ix)=\theta _{3}(0;e^{-\pi x})= \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-x\pi n^{2}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-\pi}\right)&= {\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{ -2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{6\pi +4{\sqrt {2}}\pi }}{2\Gamma \left({\frac {3 }{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{27\pi +18 {\sqrt {3}}\pi }}{3\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{4}]{8\pi }}+2{\sqrt[{4}]{\pi }}}{4\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{225\pi +100{\sqrt {5}}\pi }}{5\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{-6 \pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}}+2{\sqrt {3 }}-{\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\sqrt[{8}]{243{\pi }^{ 2)))){6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}\;{\Gamma \left ({\frac {3}{4}}\right  )}}}\end{aligned}}

Vissa identiteter med serier

Följande två identiteter för serier bevisades av Istvan Mezo [3] :

{\begin{aligned}\vartheta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\vartheta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i))\ln q,q\right),\\[6pt]\vartheta _ {4}^{2}(q)&=\summa _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\vartheta _{4}\left({\frac {k \ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}

Dessa relationer gäller för alla 0 < q < 1 . Genom att fixa q -värdena får vi följande parameterfria summor

{\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi )))){2))}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2 }\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{ 2}\right)}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi}{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),\\[6pt]{ \sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)))&=\ summa _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k ^{2}}}}\end{aligned}}}

Nollor av Jacobi theta-funktioner

Alla nollor i Jacobi theta-funktionerna är enkla nollor och definieras enligt följande:

{\begin{aligned}\vartheta (z,\tau )=\vartheta _{3}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{ \frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{1}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z& =m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{2}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2 }}\\[3pt]\vartheta _{4}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\ end{aligned}}

där m , n är godtyckliga heltal.

Relation till Riemann zeta-funktionen

Förhållande

\vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )

använde Riemann för att bevisa den funktionella ekvationen för Riemann zeta-funktionen via Mellin-transformen

\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{ 2))\int _{0}^{\infty }{\big (}\vartheta (0;it)-1{\big )}t^{\frac {s}{2)){\frac {\ mathrm {d} t}{t}}

och det kan visas att transformationen är invariant under ändringen av s till 1 − s . Motsvarande integral för z ≠ 0 ges i artikeln om Hurwitz zeta-funktionen .

Anslutning med Weierstrass elliptiska funktion

Theta-funktioner användes av Jacobi för att konstruera (i en form anpassad för att förenkla beräkningar) hans elliptiska funktioner som partier av ovanstående fyra theta-funktioner, och han kunde också använda dem för att konstruera Weierstrass elliptiska funktioner , eftersom

\wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau){\big )}''+c

där andraderivatan tas med avseende på z , och konstanten c definieras så att Laurent-serien för funktionen ℘( z ) i punkten z = 0 har en nollkonstantled.

Relation med q -gamma-funktionen

Den fjärde thetafunktionen - och sedan resten - är oupplösligt kopplad till Jackson q -gammafunktionen relationen [4] .

\left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{ 2x(1-x))){\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right) }}\vartheta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).

Släktskap med Dedekinds eta-funktion

Låt vara Dedekind eta-funktionen , och låt theta-funktionsargumentet representeras som nom . Sedan $\eta (\tau )$ ${\displaystyle q=e^{\pi {i}\tau ))$

{\begin{aligned}\theta _{2}(0,q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(0,q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^ {5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )))={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1))),\\[3pt]\theta _ {4}(0,q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right )}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}

och

\theta _{2}(0,q)\,\theta _{3}(0,q)\,\theta _{4}(0,q)=2\eta ^{3}(\ tau).

Se även artikeln om Webers modulära funktioner .

Elliptisk modul

J-invarianten är lika

{\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0,\tau )^{2)){\vartheta _{00}(0,\tau )^{2))))

och den ytterligare elliptiska modulen är

k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}

Lösning av den termiska ekvationen

Jacobi theta-funktionen är en grundläggande lösning av den endimensionella värmeekvationen med rumsliga periodiska randvillkor [5] . Med verklig, och med verklig och positiv t , kan vi skriva $z=x$ $\tau=it$

\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)

vad löser värmeekvationen

{\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta(x,it).

Denna theta-lösning är 1-periodisk i x och tenderar till en periodisk deltafunktion eller Dirac-kam i betydelsen fördelningar $t\to 0$

\lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (xn)

Allmänna lösningar för problemet med rumsliga periodiska initiala värden för värmeekvationen kan erhållas genom att konvolvera initialdata med theta-funktionen. $t = 0$

Anslutning till Heisenberg-gruppen

Jacobi theta-funktionen är invariant under verkan av en diskret undergrupp av Heisenberg-gruppen . Denna invarians presenteras i artikeln om theta-representationen av Heisenberg-gruppen.

Generaliseringar

Om F är en kvadratisk form i n variabler, så är theta-funktionen associerad med F

{\displaystyle \theta _{F}(z)=\summa _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)))

med summan över gittret av heltal ℤ n . Denna theta-funktion är en modulär form med vikten (på en korrekt definierad undergrupp) av den modulära gruppen . I en Fourier-serie expansion ${\tfrac {n}{2))$

{\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},

talen kallas formrepresentationsnummer . $R_{F}(k)$

Ramanujans theta-funktion

Riemannsk theta-funktion

Låta

\mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T)) \,,\,\operatörsnamn {Im} F>0\right\}

är mängden symmetriska kvadratiska matriser vars imaginära del är positiv bestämd . ℍ n kallas det övre Siegel-halvrummet och är den högre dimensionella analogen av det övre halvplanet . Den n -dimensionella analogen av den modulära gruppen är den symboliska gruppen Sp(2 n , ℤ ) . För . Rollen för den n -dimensionella analogen av kongruenta undergrupper spelas av $n=1~~~\mathrm {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$

\ker {\big \{}\operatörsnamn {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\högerpil \operatörsnamn {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\ stor \}}.

Sedan, om den ges , definieras Riemann theta-funktionen som $\tau \in \mathbb {H} _{n}$

\theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp {\bigg (}2\pi i\left({\tfrac {1}{ 2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right){\bigg )}.

Här är en n -dimensionell komplex vektor, och det upphöjda T betyder transponera . Jacobi theta-funktionen är då ett specialfall med och , där är det övre halvplanet av . $z\in \mathbb {C} _{n}$ $n=1$ $\tau \in \mathbb {H}$ ${\mathbb {H}}$

Riemann theta-funktionen konvergerar absolut och enhetligt på kompakta delmängder . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n))$

Funktionell ekvation för en funktion

\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^ {\mathsf {T}}\tau b\right)\theta (z,\tau )

som gäller för alla vektorer och för alla }} och . $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$ $z \in \mathbb{C}^n$ $\tau \in \mathbb {H} _{n}$

Poincare-serien

Poincaré-serien generaliserar thetaserien till automorfa former som tillämpas på godtyckliga fuchsiska grupper .

Anteckningar

↑ Tyurin, 2003 .
↑ Yi, 2004 , sid. 381–400.
↑ Mező, 2013 , sid. 2401–2410.
↑ Mező, 2012 , sid. 692–704.
↑ Ohyama, 1995 , sid. 431–450.

Litteratur

Yousuke Ohyama. Differentiella relationer mellan theta-funktioner // Osaka Journal of Mathematics. - 1995. - T. 32 , nr. 2 . — S. 431–450 . — ISSN 0030-6126 .
Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. sek. 16.27ff. // Handbok i matematiska funktioner . - New York: Dover Publications, 1964. - ISBN 0-486-61272-4 .
Akhiezer NI Element i teorin om elliptiska funktioner. - Moskva: "Nauka" Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, 1970. - (Engineers Physical and Mathematical Library). - ISBN 0-8218-4532-2 .
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. kap. 6 // Riemann Ytor. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-90465-4 . . (diskussion om Riemann theta-funktionen)
Hardy GH , Wright EM En introduktion till talteorin. — 4:a. — Oxford: Clarendon Press, 1959.
David Mumford . Tata Lectures on Theta I. - Boston: Birkhauser, 1983. - ISBN 3-7643-3109-7 .
James Pierpont. Funktioner hos en komplex variabel. — New York: Dover Publications, 1959.
Harry E. Rauch, Hershel M. Farkas. Theta-funktioner med applikationer på Riemann-ytor. - Baltimore: Williams & Wilkins, 1974. - ISBN 0-683-07196-3 .
William P. Reinhardt, Peter L. Walker. Theta Functions // NIST Handbook of Mathematical Functions / Frank WL Oliver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. - Cambridge University Press, 2010. - ISBN 978-0521192255 ,.
Whittaker ET, Watson GN kap. 21 // En kurs i modern analys. — 4:a. - Cambridge: Cambridge University Press, 1927. (History of Jacobi θ -funktioner)
Jinhee Yi. Theta-funktionsidentiteter och de explicita formlerna för theta-funktion och deras tillämpningar // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2004. - T. 292 . — S. 381–400 . - doi : 10.1016/j.jmaa.2003.12.009 .
István Mező. En q -Raabe-formel och en integral av den fjärde Jacobi theta-funktionen // Journal of Number Theory. - 2012. - T. 133 , nr. 2 . — S. 692–704 . - doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.025 .
István Mező. Dupliceringsformler som involverar Jacobi theta-funktioner och Gospers q -trigonometriska funktioner // Proceedings of the American Mathematical Society. - 2013. - T. 141 , nr. 7 . — S. 2401–2410 . - doi : 10.1090/s0002-9939-2013-11576-5 .

Läsning för vidare läsning

Theta-funktioner, Jacobi elliptiska funktioner // Mathematical Encyclopedia / Vinogradov I. V. - Soviet Encyclopedia, 1985. - V. 5. - (Encyklopedier, ordböcker, referensböcker).
Prasolov VV, Solovyov Yu. P. Algebraiska ekvationer och thetafunktioner. — M. : MK NMU, 1994.

Hershel M. Farkas. Theta funktioner i komplex analys och talteori // Surveys in Number Theory / Krishnaswami Alladi. - Springer-Verlag , 2008. - T. 17. - S. 57–87. — (Utveckling i matematik). - ISBN 978-0-387-78509-7 .
Bruno Schöneberg. IX. Theta-serien // Elliptiska modulära funktioner. - Springer-Verlag , 1974. - T. 203. - S. 203-226. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-06382-X .
Tyurin AN Kvantisering, klassisk och kvantfältteori och thetafunktioner. - M. , 2003.

Länkar

Moiseev Igor. Elliptiska funktioner för Matlab och Octave . (obestämd)