Spridningslagen

Spridningslagen , eller spridningsrelationen , i teorin om vågor är en funktion av vågfrekvensens beroende av vågvektorn :

\omega =\omega (\mathbf {k} )

Den matematiska formen av detta beroende, som uttrycker förhållandet mellan vågens tidsmässiga och rumsliga periodicitet, bestäms av egenskaperna hos de betraktade svängningarna och det medium i vilket de utbreder sig.

Från spridningslagen kan man erhålla vågens fas- och grupphastigheter :

\mathbf {v} _{\text{ph}}={\frac {\omega }{k}}\cdot {\frac {\mathbf {k} }{k)),\quad \mathbf { v} _{\text{gr}}={\frac {d\omega }{d\mathbf {k} }}

I det enklaste fallet med en linjär anslutning sammanfaller dessa hastigheter också. $\omega$ $k$

Dispersionslagar finns för vågor av alla slag, inklusive elektromagnetiska och elastiska vågor . Begreppet våg-partikeldualitet tillåter oss att skriva denna lag även för de Broglie-vågor associerade med partiklar, såsom elektroner.

Ibland anges spridningsrelationen som ett beroende

E=E(\mathbf {k} )

för energin hos ett oscillationskvantum ( foton , fonon ) eller en partikel, där är Planck-Dirac-konstanten . $E=\hbar \omega$ $\hbar$

Vågekvation och spridning

I den harmoniska lösningen av den klassiska vågekvationen beror inte fashastigheten på vågtalet. Emellertid kan olika effekter som uppstår i ett medium leda till uppkomsten av ytterligare termer i differentialekvationen som beskriver utbredningen av vågor i detta medium. När du byter ut en övertonsfunktion i en sådan ekvation kan du se att det fortfarande är en lösning, men förhållandet mellan frekvens och vågtal är inte längre linjärt, vilket är ekvivalent med fashastighetens beroende av vågtalet.

Hitta spridningsrelationen

Spridningsförhållanden kan beräknas inom ramen för olika modeller av mediet.

Experimentellt mäts de inte direkt utan måste bestämmas utifrån analys av vågutbredning. Till exempel kan spridningslagen för en elektromagnetisk våg i ett visst medium erhållas baserat på mätningar av brytningsindexets frekvensberoende .

Exempel på vågor av olika slag

Dispersion av synligt ljus i optik

Dispersion uppstår om vågutbredningens fashastighet beror på dess vågnummer, vilket inträffar när spridningslagen är olinjär. Mediet där dispersion sker kallas dispersion eller dispersivt medium . Glas är ett sådant medium. Det kan visas att den icke-linjära spridningsrelationen för vågor som utbreder sig i glas leder till ett beroende av brytningsindexet på våglängden .

Glasspridning och Snells lag leder till möjligheten att använda ett glasprisma som det enklaste spektralinstrumentet (se bild).

Elastiska vibrationer av atomer i en kedja

Låt det finnas en endimensionell linjär kedja av atomer med massa , avståndet mellan dem . Låt oss flytta den e atomen ett litet avstånd . På grund av avvikelsens litenhet kommer atomernas samverkanskraft att vara kvasi-elastisk. $m$ $d$ $n$ $fn}$

Med hänsyn till de närmaste grannarna kan smla som verkar på den e atomen skrivas som $n$

F_{n}=-\beta (u_{n}-u_{{n+1}})-\beta (u_{n}-u_{{n-1}})=\beta (u_{{n+ 1 }}-2u_{n}+u_{{n-1}}),

var är en koefficient. Rörelseekvationen för den e atomen har formen $\beta$ $n$

ma_{n}=F_{n}\quad \Longleftrightarrow \quad m{\cfrac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}=\beta (u_{n+1 }-2u_{n}+u_{n-1})

Dess lösning söks i formen , där är vågnumret, const och är frekvensen. Sedan ${\displaystyle Ae^{i(kd-\omega t)))$ $k$ $A=\,$ $\omega$

-m\omega ^{2}=\beta (e^{ikd}+e^{-ikd}-2)=-2\beta (1-\cos kd)=-4\beta \sin ^ {2}(kd/2),

var kommer det ifrån:

\omega =\pm \omega _{m}\sin {kd/2},\,\,

var .

\,\,\omega _{m}=2{\sqrt {\beta /m))

Detta är frekvensens beroende av vågtalet, det vill säga spridningslagen, för en monoatomisk kedja.

Dispersionslagar för elektroner

I fasta tillståndets fysik uttrycker spridningslagen förhållandet mellan energin hos en elektron och dess vågvektor . Sådana beroenden kan vara ganska komplexa. Baserat på dem beräknas den effektiva massan av en elektron i olika kvanttillstånd.

I halvledare , i elektronenergiområdet nära ledningsbandets minimum, upprepar spridningsrelationen ofta motsvarande uttryck för fallet med vakuum, men med en effektiv massa som skiljer sig från den för en fri elektron: $E$ $E_{c}$ $m^{*}$

E=E_{c}+\hbar ^{2}k^{2}/2m^{*}

Men när energin ökar ändras uttrycket avsevärt.

Se även

Vågspridning

Anteckningar

Litteratur

Stefan A. Tau. Linjära vågor i media med dispersion // Icke-linjära vågor . — M.: Mir, 1977.