Upplösning av en algebraisk ekvation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 maj 2022; kontroller kräver 4 redigeringar .

Upplösningen av en algebraisk gradekvation är en algebraisk ekvation med koefficienter rationellt beroende av koefficienterna , så att kunskap om rötterna till denna ekvation tillåter oss att lösa den ursprungliga ekvationen genom att lösa enklare ekvationer (det vill säga så att deras grad inte är större än ). $f(x)=0$ $n$ $g(y)=0$ $f(x)$ $n$

Resolventet kallas också för själva rationella uttrycket , det vill säga beroendet av resolventets rötter som en ekvation på rötterna till den ursprungliga ekvationen. $y=y(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ $g(y)=0$

Upplösningar av ekvationer med lägre grader i en variabel

Informellt är idén om att erhålla upplösningsmedlet för algebraiska ekvationer , enligt Lagrange , följande. Låt oss komponera något, helst så enkelt som möjligt, algebraiskt uttryck från rötterna till den ursprungliga ekvationen med följande egenskaper:

antalet olika värden för uttrycket för alla möjliga permutationer av rötterna skulle vara mindre än graden av den ursprungliga ekvationen;

elementära symmetriska polynom i uttryckets värden skulle vara funktioner av elementära symmetriska polynom i rötterna av den ursprungliga ekvationen. Sedan uttrycks ekvationens koefficienter, vars rötter är de hittade värdena för uttrycket, rationellt , enligt Vieta-relationerna , genom koefficienterna för den ursprungliga ekvationen;

det resulterande ekvationssystemet med okända - rötterna till den ursprungliga ekvationen - skulle reduceras till en linjär och vara konsekvent.

Alltså sekvensen av åtgärder:

hitta motsvarande uttryck från rötterna;
beräkna koefficienterna för resolventekvationen, vars rötter är värdena för det hittade uttrycket, genom koefficienterna för originalet;
hitta rötterna till lösningsmedlet;
Återställ slutligen rötterna till den ursprungliga ekvationen från de hittade rötterna av upplösningsmedlet.

Enligt teorin om cykliska förlängningar är en lösning i radikaler av en allmän algebraisk ekvation möjlig upp till sin grad inte högre än fyra. Nedan finns exempel på resolventer av algebraiska ekvationer av andra, tredje och fjärde graden i en variabel, och det visas (utan att involvera den allmänna teorin och endast genom elementära beräkningar) hur man kan erhålla resolventerna själva och, på grundval av deras, den allmänna lösning av motsvarande ekvationer.

Upplösning av en andragradsekvation

Inferens genom uttryck för rötter

Givet en andragradsekvation :

ax^{2}+bx+c=0

Låt oss hitta ett linjärt upplösningsmedel. Låt oss skriva den enklaste icke-triviala jämlikheten som inte förändras under permutation och platser $x_{1}$ $x_{2}$

(x_{1}-x_{2})^{2}=y_{1}

eller

(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=y_{1}

Med tanke på , $x_{1}+x_{2}=-b/a$ $x_{1}x_{2}=c/a$

{\displaystyle (b/a)^{2}-4c/a=y_{1))

och kommer att vara roten till upplösningsmedlet - den linjära ekvationen ${\displaystyle y_{1))$

a^{2}yb^{2}+4ca=0\qquad \qquad \qquad \qquad (1.1)

Låt oss lösa systemet

{\begin{cases}(x_{1}-x_{2})^{2}=y_{1}\\x_{1}+x_{2}=-b/a\\\end{ fall}}

Vi väljer tecknet när vi extraherar kvadratroten , sedan dess lösning $+$

{\begin{aligned}x_{1}&=({\sqrt {y_{1}}}-b/a)/2\\x_{2}&=(-{\sqrt {y_{1 }}}-b/a)/2\\\end{aligned}}\qquad \qquad \qquad \qquad (1.2)

Att välja ett annat tecken innan roten vänder på lösningarna. Vi noterar här att förändringen av tecken före kvadratroten är likvärdig med att beräkna den komplexa funktionen kvadratrot , som alltid har två (förutom argumentet lika med noll) olika värden, till exempel . $\ {\sqrt {i}}_{1,2}=\left(e^{\frac {\pi i}{4)),e^{\frac {5\pi i}{4} }\right)=\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i),-{\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right )$

Upplösning av en kubikekvation

Med tanke på den reducerade kubikekvationen skrivs den vanligtvis i formen

x^{3}+3px+2q=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.1)

Direktutgång

Låt oss skriva ner identiteten

(a+b)^{3}-3ab(a+b)-a^{3}-b^{3}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.2)

Sedan genom konstruktion

x_{1}=a+b\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.3)

kommer att vara roten till ekvationen

x^{3}-3abx-a^{3}-b^{3}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.4)

Låt oss hitta de återstående rötterna (2.4). Enligt en följd av Bezouts sats (2.2) är den delbar med ett binomial utan rest. Låt oss dela: $x-(a+b)$

x^{3}-3abx-a^{3}-b^{3}=(x-(a+b))(x^{2}+(a+b)x+a^{2 }-ab+b^{2})

och hitta rötterna till den andra faktorn

x^{2}+(a+b)x+a^{2}-ab+b^{2}=0

med hjälp av lösningsmedlet (1.1):

y_{1}=(a+b)^{2}-4(a^{2}-ab+b^{2})=-3(ab)^{2}

och enligt (1.2)

{\begin{aligned}x_{2}=\rho a+\rho ^{2}b\\x_{3}=\rho ^{2}a+\rho b\\\end{aligned))\ quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.5)

var är den primitiva kubroten av enhet , dess egenskaper är: $\rho ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$

\rho ^{2}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}

, , , , .

\rho ^{2}+\rho =-1

\rho ^{3}=1

(\rho ^{2})^{3}=1

\rho ^{4}=\rho \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.6)

Så vi vet hur man löser (2.4), det återstår att reducera (2.1) till formen (2.4). För att rötterna till ekvationerna (2.1) och (2.4) ska sammanfalla måste de ha samma koefficienter vid potenserna och fria led. Om och finns som uttryck för och , så kommer även lösningar (2.1) att vara kända. Genom att likställa koefficienterna får vi systemet: $x$ $a$ $b$ $sid$ $q$

{\begin{cases}p=-ab\\2q=-a^{3}-b^{3}\\\end{cases}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad ( 2.7)

Efter att ha kuberat den första ekvationen (2.7) får vi en andragradsekvation för och $a^{3}$ $b^{3}$

y^{2}+2qy-p^{3}=0\quad \quad \quad \quad \quad \qquad (2.8)

som kommer att vara upplösningsmedlet för ekvation (2.1). Hennes rötter

{\displaystyle y_{1,2}=-q\pm {\sqrt {q^{2}+p^{3))))

Om vi återgår till den ursprungliga variabeln ( ; ), från (2.3), (2.5) hittar vi alla rötter (2.1): ${\displaystyle a={\sqrt[{3}]{y_{1))))$ ${\displaystyle b={\sqrt[{3}]{y_{2))))$

x_{1}={\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3))))}+{\sqrt[{3}]{-q -{\sqrt {q^{2}+p^{3))))}

{\displaystyle x_{2}=\rho {\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3))))}+\rho ^{2}{\sqrt [{3}]{-q-{\sqrt {q^{2}+p^{3)))))))

{\displaystyle x_{3}=\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3))))}+\rho {\sqrt [{3}]{-q-{\sqrt {q^{2}+p^{3)))))))

Vid beräkning av två kubrötter måste ett av de tre värdena för den komplext värderade funktionen kubrot väljas så att det första av relationerna (2.7) är uppfyllt. I alla tre lösningarna måste detta värde som väljs för varje rot vara detsamma.

Inferens genom uttryck för rötter

Antag att vi inte känner till existensen av resolventet (2.8). Vi hittar det genom uttrycket för rötterna. Låt oss hitta ett uttryck som tar två värden när rötterna till den ursprungliga ekvationen (2.1) omarrangeras . Överväga: $3!=6$

\left(x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}\right)^{3}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.9)

Från (2.6) följer egenskaperna för uttrycket (2.9) under graden:

x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}=\rho \left(x_{2}+\rho x_{3}+\rho ^{2}x_ {1}\right)=\rho ^{2}\left(x_{3}+\rho x_{1}+\rho ^{2}x_{2}\right)\quad (2.10)

och vid kubning ger alla tre samma sak, det vill säga värdet (2,9) ändras inte under cykeln . Transponering ger ett annat uttryck, så av sex möjliga permutationer är bara två unika, låt oss säga: $(123)$ $(1)(23)$

{\begin{aligned}y_{1}=\left({\frac {x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}}{3}}\right )^{3}\\y_{2}=\left({\frac {x_{1}+\rho x_{3}+\rho ^{2}x_{2}}{3}}\right)^ {3}\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.11)

där finns en normaliserande faktor. Att beräkna summorna och produkterna i termer av koefficienterna för den ursprungliga ekvationen ger oss koefficienterna för upplösningsmedlet (2.8): ${\frac {1}{3}}$

{\begin{aligned}y_{1}+y_{2}&=-2q\quad \quad \quad \quad \quad (2.12)\\y_{1}y_{2}&=-p^ {3}\quad \quad \quad \quad \quad (2.13)\end{aligned}}

beräkning

Beteckna

{\begin{aligned}R&=x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}x_{3}^{2}\ \S&=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{3}^{2}+x_{2}^{2}x_{3}\end{aligned}}\quad \ quad \quad \quad \quad (2.14)

Vi beräknar kuber (2.11) med likheter (2.10) för det första uttrycket och liknande för det andra (istället för att beräkna kuben multiplicerar vi tre uttryck (2.10)). Vi får:

27y_{1}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+3\rho ^{2}R+3\rho S+6x_ {1}x_{2}x_{3}

27y_{2}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+3\rho ^{2}S+3\rho R+6x_ {1}x_{2}x_{3}

Enligt Newtons identiteter :

{\begin{aligned}x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+6x_{1}x_{2}x_{3}&= \ e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}+6e_{3}&=\\9e_{3}&=-18q\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad (2.15)

var ; ; , då $e_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$ $e_{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=3p$ $e_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}=-2q$

{\begin{aligned}9y_{1}&=\rho ^{2}R+\rho S-6q\\9y_{2}&=\rho ^{2}S+\rho R-6q\end{ aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad (2.16)

Låt oss bevisa jämlikhet (2.12). Vi lägger till (2.16):

{\begin{aligned}9(y_{1}+y_{2})&=(\rho ^{2}+\rho )R+(\rho ^{2}+\rho )S-12q\ \&=-(R+S+12q)\end{aligned}}

där (2.6) används. Låt oss räkna ut : $R+S$

{\begin{aligned}R+S&=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{3}(x_{1}+x_{3} })+x_{2}x_{3}(x_{2}+x_{3})\\&=(x_{1}+x_{2}+x_{3})(x_{1}x_{2} }+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})-3x_{1}x_{2}x_{3}\\&=e_{1}e_{2}-3e_{3} =6q\end{aligned}}

eller

y_{1}+y_{2}={\frac {-(6q+12q)}{9}}=-2q

Att härleda (2.13) är något svårare. Vi multiplicerar (2,16):

{\begin{aligned}3^{4}y_{1}y_{2}&=(\rho ^{2}R+\rho S-6q)(\rho ^{2}S+\rho R- 6q)\\&=(\rho ^{2}R+\rho S)(\rho ^{2}S+\rho R)-6q(\rho ^{2}+\rho )(R+S)+36q ^{2}\\&=(\rho ^{2}+\rho )RS+R^{2}+S^{2}+6q(R+S)+36q^{2}\\&=- RS+(R+S)^{2}-2RS+6q(R+S)+36q^{2}\\&=36q^{2}+36q^{2}+36q^{2}-3RS\\ &=108q^{2}-3RS\end{aligned}}

Det återstår att hitta . Från (2.14) efter multiplikation: $RS$

RS=x_{1}x_{2}x_{3}(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3})+3x_{1} ^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}+T\quad \quad \quad \quad \quad (2.17)

där vi redan känner till de första termerna, men vi beräknar dem separat: $T=x_{1}^{3}x_{2}^{3}+x_{1}^{3}x_{3}^{3}+x_{2}^{3}x_{3 }^{3}$

T=x_{1}^{3}x_{2}^{3}x_{3}^{3}\left({\frac {1}{x_{1}^{3))}+ {\frac {1}{x_{2}^{3}}}+{\frac {1}{x_{3}^{3}}}\right)

Uttrycket inom parentes är summan av kuberna av rötterna i ekvationen (2.1), där ersättningen görs för : $x$ ${\frac {1}{x'))$

2qx'^{3}+3px'^{2}+1=0

Elementära symmetriska polynom för det: , , . Från Newtons identiteter $e_{1}'=-{\frac {3p}{2q))$ $e_{2}'=0$ $e_{3}'=-{\frac {1}{2q))$

x_{1}'^{3}+x_{2}'^{3}+x_{2}'^{3}=e_{1}'^{3}+3e_{3}'

vi får

{\begin{aligned}T&=e_{3}^{3}(e_{1}'^{3}+3e_{3}')\\&=-8q^{3}\left(\ vänster(-{\frac {3p}{2q}}\right)^{3}-{\frac {3}{2q}}\right)\\&=27p^{3}+12q^{2}\ end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad (2.18)

Nu (2.17) beräknas:

{\begin{aligned}RS&=e_{3}\cdot 3e_{3}+3e_{3}^{2}+T\\&=12q^{2}+12q^{2}+27p^ {3}+12q^{2}\\&=36q^{2}+27p^{3}\end{aligned}}

Till sist

3^{4}y_{1}y_{2}=108q^{2}-3(36q^{2}+27p^{3})=-3^{4}p^{3}

och (2.13) är bevisat.

Sedan kan du lösa det resulterande systemet:

{\begin{aligned}{\begin{cases}\left({\frac {x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}}{3}}\ höger)^{3}&=y_{1}\\\left({\frac {x_{1}+\rho x_{3}+\rho ^{2}x_{2}}{3}}\höger )^{3}&=y_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}&=0\end{cases}}\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.19)

Om vi extraherar kubrötter från de högra delarna av (2.19), har vi ett system av linjära ekvationer :

{\begin{aligned}{\begin{cases}x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}&=3{\sqrt[{3}]{y_ {1}}}\\x_{1}+\rho ^{2}x_{2}+\rho x_{3}&=3{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\x_ {1}+x_{2}+x_{3}&=0\end{cases}}\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.20)

Lägga till alla 3 ekvationerna, från (2.6) får vi omedelbart roten , multiplicerar sedan den första ekvationen med och den andra med , och adderar alla tre - vi får . Efter det, vice versa - den första på , och den andra på och lägg till alla tre - får vi . Totalt, alla rötter till ekvationen (2.1): $x_{1}$ $\rho ^{2}$ $\rho$ $x_{2}$ $\rho$ $\rho ^{2}$ ${\displaystyle x_{3))$

{\begin{aligned}x_{1}&={\sqrt[{3}]{y_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\x_{ 2}&=\rho {\sqrt[{3}]{y_{1}}}+\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\x_{3}& =\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{y_{1}}}+\rho {\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\\end{aligned}}

Här är det också nödvändigt att korrekt välja värdena för kubrötter. Med Vietas formler är det lätt att kontrollera det

3p=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=-3{\sqrt[{3}]{y_{1))}{ \sqrt[{3}]{y_{2}}}

Därför måste vi välja sådana värden

{\sqrt[{3}]{y_{1}}}{\sqrt[{3}]{y_{2}}}=-p

Nu får vi detsamma (2.11), förutsatt att resolventet (2.8) är känt för oss. Sedan , , då löser vi systemet $a^{3}=y_{1}$ $b^{3}=y_{2}$

{\begin{aligned}{\begin{cases}x_{1}&=a+b\\x_{2}&=\rho a+\rho ^{2}b\\x_{3}&= \rho ^{2}a+\rho b\\\end{cases}}\end{aligned}}

med hänsyn till och . Lägg till de tre ekvationerna igen, multiplicera den andra med och den tredje med , och lägg sedan till dem genom att multiplicera den andra med och den tredje med . Vi kommer omedelbart att ta emot $a$ $b$ $\rho$ $\rho ^{2}$ $\rho ^{2}$ $\rho$

{\begin{aligned}b={\frac {x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}}{3}}\\a={\frac { x_{1}+\rho ^{2}x_{2}+\rho x_{3}}{3}}\\\end{aligned}}

det vill säga faktiskt de två första lösningarna av (2.20); och det önskade uttrycket (2.9) skrivs omedelbart ut.

Upplösning av en fjärdegradsekvation

Låt det finnas en reducerad ekvation av fjärde graden :

x^{4}+ax^{2}+bx+c=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.1)

Direktutgång

Vi representerar ekvation (3.1) som en produkt av två kvadrattrinomial:

(x^{2}+p_{1}x+q_{1})(x^{2}+p_{2}x+q_{2})=0

Vi multiplicerar trinomialen och likställer koefficienterna vid samma potenser . Vi får ett ekvationssystem: $x$

{\begin{cases}p_{1}+p_{2}=0\\q_{1}+q_{2}+p_{1}p_{2}=a\\p_{1}q_{ 2}+p_{2}q_{1}=b\\q_{1}q_{2}=c\\\end{cases}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.2)

Från den första ekvationen (3.2) betecknar vi

p=p_{1}=-p_{2}

Ekvationen kommer att skrivas så här:

(x^{2}+px+q_{1})(x^{2}-px+q_{2})=0

Med den sista notationen får vi från andra och fjärde ekvationerna (3.2) för andragradsekvationen: $q_1, q_2$

Q^{2}-(a+p^{2})Q+c=0

Dess rötter:

q_{1,2}={\frac {1}{2}}\left(a+p^{2}\pm {\sqrt {(p^{2}+a)^{2}- 4c}}\right)\quad \quad (3.3)

Från systemets tredje ekvation (3.2)

p(q_{2}-q_{1})=b\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.4)

Att kvadrera den senare och ersätta skillnaden från (3.3) i den får vi $(q_{2}-q_{1})^{2}=(p^{2}+a)^{2}-4c$

{\displaystyle p^{2}((p^{2}+a)^{2}-4c)=b^{2))

Betecknar , får vi en kubikekvation för , som kommer att vara upplösningsmedlet: $y=-p^{2}$ $y$

y^{3}-2ay^{2}+(a^{2}-4c)y+b^{2}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ quad(3.5)

Observera att den sista ekvationen också är upplösningsmedlet för originalet (3.1), där den ersätts med . Dessutom skulle det vara möjligt att ersätta , men med ett minus är det bekvämare för ytterligare lösning. $b$ $-b$ $y=p^{2}$

Inferens genom uttryck för rötter

Vi får upplösningsmedlet (3.5) från de givna relationerna för dess rötter. Komponera ett uttryck

(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})

Med alla möjliga permutationer av variabler i får vi bara tre olika uttryck för : ${\displaystyle x_{i))$ $x_{j},i,j=1,2,3,4$ $y$

y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})

y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.6)

y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})

De tre värdena motsvarar en kubikekvation vars rötter de är. För att hitta det är det nödvändigt att beräkna koefficienterna vid potenserna genom koefficienterna i den ursprungliga ekvationen (3.1). Att beräkna dem är förvånansvärt enklare än för upplösningen av en kubikekvation: $y$

y_{1}+y_{2}+y_{3}=2a

y_{1}y_{2}+y_{2}y_{3}+y_{1}y_{3}=a^{2}-4c\quad \quad \quad \quad \quad \quad ( 3.7)

y_{1}y_{2}y_{3}=-b^{2}

beräkning

Första jämställdheten (3.7):

y_{1}+y_{2}+y_{3}=2(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2 }x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})=2a

För att beräkna den andra, skriver vi om (3.6) i formen:

{\displaystyle y_{1}=a-x_{1}x_{2}-x_{3}x_{4))

{\displaystyle y_{2}=a-x_{1}x_{3}-x_{2}x_{4))

{\displaystyle y_{3}=a-x_{1}x_{4}-x_{2}x_{3))

Låt oss hitta : ${\displaystyle y_{1}y_{2))$

y_{1}y_{2}=(a-x_{1}x_{2}-x_{3}x_{4})(a-x_{1}x_{3}-x_{2}x_ {4})=a^{2}-a(a-x_{1}x_{4}-x_{2}x_{3})+x_{1}^{2}x_{2}x_{3} +x_{2}^{2}x_{1}x_{4}+x_{3}^{2}x_{1}x_{4}+x_{4}^{2}x_{2}x_{3 }

Liknande

y_{1}y_{3}=a^{2}-a(a-x_{1}x_{3}-x_{2}x_{4})+x_{1}^{2}x_ {2}x_{4}+x_{2}^{2}x_{1}x_{3}+x_{3}^{2}x_{2}x_{4}+x_{4}^{2} x_{1}x_{3}

y_{2}y_{3}=a^{2}-a(a-x_{1}x_{2}-x_{3}x_{4})+x_{1}^{2}x_ {3}x_{4}+x_{2}^{2}x_{3}x_{4}+x_{3}^{2}x_{1}x_{2}+x_{4}^{2} x_{1}x_{2}

Lägger vi till de tre sista likheterna får vi:

y_{1}y_{2}+y_{2}y_{3}+y_{1}y_{3}=3a^{2}-a(y_{1}+y_{2}+y_{ 3})+

x_{1}(x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4})+x_{ 2}(x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{2}x_{3}x_{4})+

x_{3}(x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}x_{3})+x_{ 4}(x_{2}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}x_{4})=

3a^{2}-2a^{2}-x_{1}(b+x_{2}x_{3}x_{4})-x_{2}(b+x_{1}x_{3 }x_{4})-x_{3}(b+x_{1}x_{2}x_{4})-x_{4}(b+x_{1}x_{2}x_{3})=

a^{2}-b(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})-4x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=a ^{2}-4c

Och den tredje jämställdheten (3,7):

y_{1}y_{2}y_{3}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})(x_{1}+x_{3})( x_{2}+x_{4})(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})=

-(x_{1}+x_{2})^{2}(x_{2}+x_{4})^{2}(x_{2}+x_{3})^{2}=

-((x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{4})(x_{2}+x_{ 3}))^{2}=

-(x_{2}^{2}x_{1}+x_{2}^{3}+x_{2}^{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{ 4}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3} x_{4})^{2}=

{\displaystyle -(x_{2}^{2}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})-b)^{2}=-b^{2))

Identitet används i beräkningar . $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0$

Ytterligare beslut

Sedan kan du gå vidare på två sätt:

Det första sättet

De tre rötterna i den kubiska ekvationen (3.5) motsvarar tre uppsättningar tal , som erhålls om vi, genom att omordna de fyra rötterna i den ursprungliga ekvationen (3.1) på tre sätt, representerar den som en produkt av två kvadrattrinomial. Därför, när man löser upplösningsmedlet (3.5), räcker det att välja en av rötterna , med ett annat val av roten, kommer motsvarande fyra lösningar av ekvation (3.1) att vara permutationer av de erhållna lösningarna. ${\displaystyle p,q_{1},q_{2))$ $y$

Efter att ha löst upplösningsmedlet (till exempel enligt Cardano-formeln ), väljer vi vilken rot som helst, låt . ${\displaystyle y_{1))$

Nu måste vi återkomma till genom att välja valfritt tecken framför kvadratroten, och sedan hitta genom att välja sådana tecken framför rötterna av lösningar (3.3) så att likhet (3.4) är uppfylld. Efter det är det inte svårt att hitta 4 rötter av två trinomialer. Till sist: ${\displaystyle p=\pm {\sqrt {-y_{1))))$ ${\displaystyle q_{1},q_{2))$

x_{1},_{2}=(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q_{1}}})/2

x_{3},_{4}=(p\pm {\sqrt {p^{2}-4q_{2}}})/2

där motsvarar (det första trinomialet), och motsvarar (det andra trinomialet). $sid$ ${\displaystyle q_{1))$ $-p$ $q_{2}$

Det andra sättet

Vid lösning krävs alla 3 rötter av resolvent (3.5), låt dem hittas.

Vi väljer överensstämmelsen mellan roten av upplösningsmedlet och rötterna av det första trinomialet och det andra. På samma sätt som rötterna av det första trinomialet och det andra; rötter av det första trinomialet och det andra. Sedan för spärrar: $y_1$ $x_{1},x_{2}$ ${\displaystyle x_{3},x_{4))$ $y_2$ ${\displaystyle x_{1},x_{3))$ ${\displaystyle x_{2},x_{4))$ ${\displaystyle y_{3))$ ${\displaystyle x_{1},x_{4))$ ${\displaystyle x_{2},x_{3))$ $y_1$

-p^{2}=y_{1}

Enligt Vieta-formlerna för det första och andra trinomialet, respektive:

{\displaystyle -p=x_{1}+x_{2))

... _

{\displaystyle p=x_{3}+x_{4))

sedan

y_{1}=-p^{2}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})

Efter att ha gjort samma sak för rötterna (var och en kommer att ha sin egen ), får vi återigen system (3.6). Ekvation (Vieta-relation för koefficienten för den ursprungliga ekvationen vid ) $y_{2},y_{3}$ $sid$ ${\displaystyle x^{3))$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.8)

stänger systemet (3.6). Substitution från (3.8) till tre ekvationer (3.6) leder omedelbart till systemet

{\begin{cases}{\begin{aligned}&(x_{3}+x_{4})^{2}=-y_{1}\\&(x_{2}+x_{4} )^{2}=-y_{2}\\&(x_{2}+x_{3})^{2}=-y_{3}\\&x_{1}+x_{2}+x_{3 }+x_{4}=0\\\end{aligned}}\end{cases}}

När man löser det är det svårt att välja tecken när man extraherar en kvadratrot. Man skulle kunna kontrollera likhetstecknet

p{\sqrt {(p^{2}+a)^{2}-4c}}=b

som erhölls i den direkta härledningen av resolventet (vid kvadrering av den sista likheten lades extra rötter med motsatta tecken till), konsekvent för , men låt oss göra det enklare. Vi väljer vilket tecken som helst när vi extraherar kvadratroten, till exempel , och skriver systemet som betecknar , , : $p=\pm {\sqrt {-y_{1}}},p=\pm {\sqrt {-y_{2}}},p=\pm {\sqrt {-y_{3}}}$ ${\displaystyle-}$ ${\sqrt {-y_{1}}}=u$ ${\sqrt {-y_{2}}}=v$ ${\sqrt {-y_{3}}}=w$

{\begin{cases}{\begin{aligned}&x_{3}+x_{4}=-u\\&x_{2}+x_{4}=-v\\&x_{2}+x_{ 3}=-w\\&x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\\end{aligned}}\end{cases}}

Detta är ett system av linjära ekvationer ; helt enkelt löst genom substitution. Hennes lösning:

{\begin{aligned}x_{1}&=(-uvw)/2\\x_{2}&=(-u+v+w)/2\\x_{3}&=(u- v+w)/2\\x_{4}&=(u+vw)/2\\\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.9)

Observera att en enstaka teckenändring av någon av termerna antingen omvandlar lösningen till en lösning och vice versa (till exempel om du ändrar till översätts till ). Därför, om valet av tecken visar sig vara felaktigt, räcker det att ändra tecknet för en term i lösningen, och det kommer att bli sant. Enligt förhållandena mellan rötterna och koefficienterna för upplösningen kan man inte säga om det korrekta valet av tecken, eftersom det är upplösningen av två ekvationer. Det betyder att vi måste leta efter ett samband mellan originalets rötter och koefficienter, och koefficienten måste delta i det . Vi skriver Vieta-relationen för det: $u$ $v$ $w$ $\mathbf {x}$ $-\mathbf {x}$ $u$ $-u$ $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ $(-x_{2},-x_{1},-x_{4},-x_{3})$ $x_{i}$ $b$

x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3} x_{4}=-b

Genom att ersätta uttryck (3.9) här får vi

uvw=b\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.10)

, beräkning

Från (3.8) och (3.9)

{\begin{aligned}b&=-(x_{1}x_{2}(x_{3}+x_{4})+(x_{1}+x_{2})x_{3}x_{ 4})\\&=u(x_{3}x_{4}-x_{1}x_{2})\\&={\frac {u}{4}}\left(u^{2}- (vw)^{2}-(u^{2}-(v+w)^{2})\höger)\\&={\frac {u}{4}}\left(u^{2} -v^{2}+2vw-w^{2}-u^{2}+v^{2}+w^{2}+2vw\right)\\&=4uvw/4=uvw\end{aligned }}

vad betyder verifiering

{\sqrt {-y_{1}}}{\sqrt {-y_{2}}}{\sqrt {-y_{3}}}=b

och om skylten visar sig vara felaktig så ersätter vi till exempel med . För att få den slutliga lösningen beräknar vi (3.9) med de valda tecknen. ${\displaystyle {\sqrt {-y_{1))))$ ${\displaystyle -{\sqrt {-y_{1))))$

Litteratur

MM. Postnikov. Galois teori. - M.: Publishing House Factorial Press, 2003. ISBN 5-88688-063-1
Kaluzhnin L.A., Sushchansky V.I. Transformationer och permutationer: översatt från ukrainska. - M.: Nauka, 1979
Prasolov V.V., Solovyov Yu.P. Elliptiska funktioner och algebraiska ekvationer. - M.: Factorial Publishing House, 1997. ISBN 5-88688-018-6