Differentialspridningstvärsnitt

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 maj 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Differentialspridningstvärsnittet är förhållandet mellan antalet partiklar spridda per tidsenhet per rymdvinkelelement dW och flödestätheten för de infallande partiklarna.

Klassisk spridning

Om vi betraktar det klassiska problemet, när en partikel sprids från en orörlig målpartikel, så används vanligtvis det sfäriska koordinatsystemet . I detta fall placeras målet vid utgångspunkten för koordinaterna, och z för detta koordinatsystem sammanfaller med den infallande strålen. Vinkeln θ är spridningsvinkeln , mätt mellan den infallande strålen och den spridda strålen, och φ är azimutvinkeln .

Islagsparametern b är den vinkelräta förskjutningen av den infallande partikelbanan, och den utgående partikeln flyger i en vinkel θ . För en given interaktion ( Coulomb , magnetisk , gravitationell , kontakt och så vidare) har islagsparametern och spridningsvinkeln ett visst en-till-en funktionellt beroende av varandra. Vanligtvis kan påverkansparametern varken kontrolleras eller mätas från händelse till händelse, och antas ta på sig alla möjliga värden när medelvärdet beräknas över en uppsättning spridningshändelser. Tvärsnittets differentialstorlek är ett areaelement i anslagsparameterns plan, det vill säga d σ = b d φ d b . Det differentiella vinkelområdet för en spridd partikel vid en vinkel θ är det rymda vinkelelementet d Ω = sin θ d θ d φ . Differentialtvärsnittet är kvoten av dessa storheter,dσ _dΩ _

Det är en funktion av spridningsvinkeln (och därför även av anslagsparametern) samt andra observerbara storheter såsom den infallande partikelns rörelsemängd. Differentialtvärsnittet antas alltid vara positivt, även om högre slagparametrar vanligtvis orsakar mindre nedböjning. I cylindriskt symmetriska situationer (med avseende på strålaxeln) ändras inte azimutvinkeln φ under spridningen, och differentialtvärsnittet kan skrivas som

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} (\cos \theta )))=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d } } \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \varphi

I andra situationer där spridningsprocessen inte är azimutsymmetrisk, såsom när strålen eller målpartiklarna har magnetiska moment orienterade vinkelrätt mot strålens axel, måste differentialtvärsnittet också uttryckas som en funktion av azimutvinkeln.

När partiklar av det infallande flödet F inc sprids från ett orörligt mål som består av många partiklar, blir differentialtvärsnittetdσ _dΩ _vid en vinkel ( θ , φ ) är relaterat till detektionsflödet av spridda partiklar F out ( θ , φ ) i partiklar per tidsenhet genom relationen

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{nt\Delta \Omega }}{\frac {F_{\text{out}}(\theta ,\varphi )}{F_{\text{ink))))

Här är Δ Ω detektorns slutliga vinkelstorlek (SI-enheter: sr ), n är måltätheten för målpartiklarna (m −3 ), och t är tjockleken på det stationära målet (m). Denna formel förutsätter att målet är tillräckligt tunt för att varje strålpartikel interagerar med högst en målpartikel.

Det totala tvärsnittet σ kan återvinnas genom att integrera differentialtvärsnittetdσ _dΩ _över hela rymdvinkeln ( 4π steradianer):

\sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\int _{ 0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\sin \theta \,\mathrm { d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .

Det är vanligt att utelämna definitionen av "differentiell" när typen av tvärsnitt kan härledas från sammanhanget. I det här fallet kan σ kallas det integrala tvärsnittet eller det totala tvärsnittet . Den senare termen kan vara förvirrande i sammanhang där flera händelser är inblandade, eftersom "totalt" också kan hänvisa till summan av tvärsnitt över alla händelser.

Det differentiella tvärsnittet är en extremt användbar storhet inom många fysikområden, eftersom dess mätning kan avslöja en stor mängd information om målpartiklars inre struktur. Till exempel var det differentiella tvärsnittet av Rutherford-spridningen ett övertygande bevis på existensen av en atomkärna. Istället för rymdvinkeln kan den överförda rörelsemängden användas som den oberoende variabeln för differentialtvärsnitten .

De differentiella tvärsnitten för oelastisk spridning innehåller resonanstoppar som indikerar skapandet av metastabila tillstånd och innehåller information om deras energi och livslängd för tillstånden.

Kvantspridning

I den tidsoberoende formalismen av kvantspridning tas den initiala vågfunktionen (före spridningen) som en plan våg med ett visst momentum k :

\phi _{-}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;e^{ikz},

där z och r är relativa koordinater mellan projektil och mål. Pilen indikerar att detta endast beskriver vågfunktionens asymptotiska beteende när projektilen och målet är för långt ifrån varandra för att interaktionen ska ha någon effekt.

Efter spridning förväntas vågfunktionen ha följande asymptotik:

\phi _{+}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;f(\theta ,\phi ){\frac {e^{ ikr}}{r}},

där f är någon funktion av vinkelkoordinaterna, känd som spridningsamplituden . Denna allmänna form är giltig för all energibesparande interaktion på kort räckvidd. Detta är inte sant för långväga interaktioner, så det finns ytterligare svårigheter när man hanterar elektromagnetiska interaktioner.

Systemets totala vågfunktion beter sig asymptotiskt som summan av två bidrag

\phi (\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;\phi _{-}(\mathbf {r} )+\phi _{+ }(\mathbf {r} ).

Differentialtvärsnittet är relaterat till spridningsamplituden med formeln:

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\phi )={\bigl |}f(\theta ,\phi ){\bigr | }^{2}.

Vilket har en enkel tolkning som sannolikhetstätheten för att hitta en spridd projektil i en given vinkel.

Relation med S-matrisen

Om de reducerade massorna och momenten för det kolliderande systemet är lika med m i , p i och m f , p f före respektive efter kollisionen, ges differentialtvärsnittet av

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left(2\pi \right)^{4}m_{i}m_{f}{\frac {p_{f}}{p_{i}}}{\bigl |}T_{fi}{\bigr |}^{2},

T -matrisen definieras av formeln

S_{fi}=\delta _{fi}-2\pi i\delta \left(E_{f}-E_{i}\right)\delta \left(\mathbf {p} _{i} -\mathbf {p} _{f}\right)T_{fi}

när det gäller S-matrisen . Här är δ Dirac delta-funktionen . Beräkningen av S-matrisen är huvudmålet med spridningsteori .

Litteratur

Bilen'kii S. M. Spridning av mikropartiklar // Physical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - V. 4: Poynting - Robertson - Streamers. - 704 sid. - 40 000 exemplar. - ISBN 5-85270-087-8 .