Fri väglängd

Den genomsnittliga fria vägen för en molekyl är den genomsnittliga sträckan som en partikel tillryggalagt under tiden mellan två på varandra följande kollisioner. [ett] $\lambda$

För varje molekyl är detta avstånd olika, därför, i den kinetiska teorin om gaser , förstås den genomsnittliga fria vägen vanligtvis [2] som den genomsnittliga fria vägen < >, vilket är en egenskap för hela uppsättningen av gasmolekyler vid givna värden av tryck och temperatur . $\lambda$

Spridningsteori

Föreställ dig en ström av partiklar som passerar genom ett mål av storlek , och betrakta ett oändligt tunt lager av detta mål (se figur). [3] Den röda här betecknar de atomer som partiklarna i den infallande strålen kan kollidera med. Värdet på den fria vägen kommer att bero på egenskaperna hos detta system. Om alla målpartiklar är i vila, kommer uttrycket för den genomsnittliga fria vägen att se ut så här: $L\times L$

\ell =(\sigma n)^{-1},

där n är antalet målpartiklar per volymenhet, och σ är det effektiva tvärsnittet .

Arean av ett sådant lager är L 2 , volymen är L 2 dx , och sedan är antalet orörliga atomer i det n L 2 dx . Sannolikheten för spridning av detta lager av en partikel är lika med förhållandet mellan den del av tvärsnittsarean, "överlappad" av alla spridningspartiklar, till hela tvärsnittsarean: $dP$

dP={\frac {\sigma nL^{2}\,dx}{L^{2}}}=n\sigma \,dx,

där σ är arean, eller, mer exakt, spridningstvärsnittet av en atom.

Då kommer minskningen av flödesintensiteten att vara lika med den initiala intensiteten multiplicerat med sannolikheten för partikelspridning inuti målet: $dI$

dI=-In\sigma \,dx.

Vi får differentialekvationen

{\frac {dI}{dx}}=-In\sigma =-{\frac {I}{\ell )),

vars lösning är känd som Bouguers lag [ 4 ] och har formen passerat av strålpartikeln innan den stannar . För att verifiera detta, notera att sannolikheten för att en partikel kommer att spridas i ett lager från x till x + dx är lika med ${\displaystyle I=I_{0}e^{-x/\ell ))$

dP(x)={\frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}}={\frac {1}{\ell }}e^{-x/\ ell}dx.

Och därmed kommer medelvärdet av x att vara lika med

\langle x\rangle =\int _{0}^{\infty }xdP(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\ell }}e^{ -x/\ell }\,dx=\ell .

Förhållandet mellan den del av partiklarna som inte sprids av målet och mängden som faller på dess yta kallas transmittans , där x = dx är måltjockleken $T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }$

Kinetisk teori

I den kinetiska teorin om gaser är den genomsnittliga fria vägen för en partikel (till exempel en molekyl) det genomsnittliga avståndet som en partikel tillryggalagt under tiden mellan kollisioner med andra rörliga partiklar. I ovanstående härledning antogs det att målpartiklarna är i vila, så formeln är i allmänhet endast giltig för infallande partiklar med hastigheter som är höga i förhållande till hastigheterna för en samling av samma partiklar med ett slumpmässigt arrangemang. I detta fall kommer målpartiklarnas rörelser att vara obetydliga, och den relativa hastigheten är ungefär lika med partikelns hastighet. ${\displaystyle \ell =(n\sigma )^{-1))$

Om, å andra sidan, strålpartikeln är en del av ett etablerat jämviktssystem med identiska partiklar, så är kvadraten på den relativa hastigheten lika med:

${\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}={\overline {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2 })^{2))}={\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}-2\mathbf {v} _{1 }\cdot \mathbf {v} _{2}}}.$

I jämviktstillståndet är värdena för hastigheterna och därför slumpmässiga och oberoende, och den relativa hastigheten är lika med ${\displaystyle \mathbf {v} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2))$ ${\overline {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2))}=0$

$v_{\rm {rel}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2))))={\sqrt {\overline {\mathbf { v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2))))={\sqrt {2}}v.$

Det betyder att antalet kollisioner är lika med , gånger antalet stationära mål. Därför gäller följande relation: [5] ${\sqrt {2}}$

$\ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1}$

Från Mendeleev-Clapeyron-lagen och med hänsyn till ( effektiv tvärsnittsarea för sfäriska partiklar med radie ) kan det visas att den genomsnittliga fria vägen är [6] $n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)$ ${\displaystyle \sigma =\pi (2r)^{2}=\pi d^{2))$ $r$

\ell ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}p)),

där k B är Boltzmann-konstanten .

I praktiken bestäms inte diametern av gasmolekyler exakt. Faktum är att den kinetiska diametern för en molekyl bestäms i termer av den genomsnittliga fria vägen. Generellt sett beter sig gasmolekyler inte som hårda sfärer, utan snarare attraherar varandra på stora avstånd och stöter bort varandra på mindre, vilket kan beskrivas med hjälp av Lennard-Jones potential . Ett sätt att beskriva sådana "mjuka" molekyler är att använda Lennard-Jones-parametern σ som diameter. Ett annat sätt är att anta att gasen i den hårda sfärmodellen har samma viskositet som den riktiga gasen i fråga . Detta leder till den genomsnittliga fria vägen [7]

\ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi k_{\text{B}}T}{2m}}},

där m är molekylens massa och μ är viskositeten . Detta uttryck kan enkelt representeras enligt följande:

\ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi R_{u}T}{2M}}},

där är den universella gaskonstanten och är molekylvikten . Dessa olika definitioner av diametern på en molekyl kan leda till något olika medelfria fria banor. ${\displaystyle R_{u))$ $M$

Formel

\lambda ={\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma n}}

, där är molekylens effektiva tvärsnitt , lika med ( är molekylens effektiva diameter ), och är koncentrationen av molekyler .

\sigma

{\pi d^{2))

d

n

Exempel

Följande tabell visar typiska medelfria vägar för luftmolekyler vid rumstemperatur för olika tryck.

Tryckområde _	Tryck, Pa	Tryck, mm Hg	Koncentration , molekyler/cm 3	Koncentration , molekyler / m 3	Fri väglängd
Atmosfärstryck	101300	759,8	2,7 × 10 19	2,7 × 10 25	68 [8] nm
lågt vakuum	30 000 - 100	220 - 8×10 -1	10 19 — 10 16	10 25 — 10 22	0,1 - 100 µm
Medium vakuum	100 - 10 -1	8×10 −1 — 8×10 −4	10 16 — 10 13	10 22 — 10 19	0,1 - 100 mm
högt vakuum	10 -1 - 10 -5	8×10 -4 - 8×10 -8	10 13 — 10 9	10 19 — 10 15	10 cm - 1 km
Ultrahögt vakuum	10 -5 - 10 -10	8×10 -8 - 8×10 -13	10 9 — 10 4	10 15 — 10 10	1 km — 10 5 km
extremt vakuum	<10 −10	<8×10 −13	<10 4	<10 10	> 105 km

Se även

Anteckningar

↑ Marion Brünglinghaus. Betyder fri väg . Euronuclear.org . (obestämd)
↑ Aleshkevich V.A. Kurs i allmän fysik. Molekylär fysik - M. : FIZMATLIT, 2016. - S. 281-283. - 312 sid. — ISBN 978-5-9221-1696-1 .
↑ Chen, Frank F. Introduktion till plasmafysik och kontrollerad fusion . — 1:a. - Plenum Press, 1984. - S. 156 . - ISBN 0-306-41332-9 .
↑ Sivukhin D.V. Allmän kurs i fysik // Absorption av ljus och breddning av spektrallinjer. - Moskva, 2005. - S. 582-583. — 792 sid. — ISBN ISBN 5-9221-0228-1 .
↑ S. Chapman och T. G. Cowling, Den matematiska teorin om icke-uniforma gaser Arkiverad 7 november 2020 på Wayback Machine , 3:e. upplaga, Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-40844-X , sid. 88.
↑ Genomsnittlig fri väg, molekylära kollisioner . hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Hämtad 8 november 2011. Arkiverad från originalet 28 oktober 2011. (obestämd)
↑ Vincenti, WG och Kruger, CH Introduktion till fysisk gasdynamik. - Krieger Publishing Company, 1965. - S. 414.
↑ SG Jennings. Den genomsnittliga fria vägen i luft (engelska) // Journal of Aerosol Science. - 1988-04. — Vol. 19 , iss. 2 . — S. 159–166 . - doi : 10.1016/0021-8502(88)90219-4 . Arkiverad från originalet den 8 mars 2021.

Länkar

Fri väglängd - artikel från Physical Encyclopedia

Ordböcker och uppslagsverk	stor kines stor kines Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4170260-8