Enhet (algebra)

Enheten i ringteorin är det tvåsidiga neutrala elementet i multiplikationsoperationen. En ring som innehåller en kallas en ring med en . Enheten betecknas som regel med siffran "1" (som återspeglar sådana egenskaper hos numret med samma namn ) eller ibland (till exempel i matrisalgebra ), den latinska bokstaven I eller E.

Olika definitioner av algebraiska objekt kan antingen kräva närvaron av en enhet eller lämna den som ett valfritt element. Ett ensidigt neutralt element kallas inte en enhet. Enheten är unik genom den allmänna egenskapen hos ett tvåsidigt neutralt element.

Ibland är enheterna i en ring dess reversibla element , vilket kan vara förvirrande.

Ett-, noll- och kategoriteori

Beroende på den algebraiska strukturen och dess exakta definition kan likheten 1 = 0 vara både förbjuden och tillåten, men där en sådan likhet äger rum är objektet trivialt . Ett fält har en enhet per definition och 1 ≠ 0 krävs , så varje fält innehåller minst två distinkta element. I kategorin Ring av enhetsringar är trivialringen ett terminalobjekt .

Enheten är det enda elementet i ringen, både idempotent och inverterbar.

Reversibilitet

Varje element u i en ring med enhet som är en tvåsidig enhetsdelare kallas invertibel , det vill säga:

\exists v_{1}:v_{1}\,u=1

\exists v_{2}:u\,v_{2}=1

Av multiplikationens associativitet följer att i detta fall v 1 = v 2 , vilket återigen antyder att valet är unikt.

Reversibla element kallas ibland algebraiska enheter ( engelska unity , franska unité ), men detta begrepp är bredare än ett specifikt neutralt element 1 . Till exempel i ett fält är alla andra element än noll inverterbara.

Idempotens

Om är en idempotent i en ring och idealen och sammanfaller, då är e identiteten där (i subringen). $e\in R$ $eR$ $Re$

Lägga till en enhet

Vilken algebra som helst över en kommutativ ring , även inte nödvändigtvis associativ, kan utökas till en dimension genom att lägga till elementet 1 och definiera multiplikation på linjära kombinationer som:

{\displaystyle (a_{1}+\mu _{1}{\mathbf {1} })(a_{2}+\mu _{2}{\mathbf {1} })=a_{1}a_{ 2}+\mu _{1}a_{2}+\mu _{2}a_{1}+\mu _{1}\mu _{2}{\mathbf {1} ))

samtidigt som sådana egenskaper som associativitet och kommutativitet av multiplikation bevaras. Element 1 kommer att vara enheten för den utökade algebra. Om algebra redan hade en enhet, kommer den efter expansionen att förvandlas till en irreversibel idempotent.

Detta kan också göras med en ring, till exempel, eftersom varje ring är en associativ algebra över . $\mathbb {Z}$

I graderade algebror

I graderad algebra krävs att en enhet (om den finns) har grad 0.

Exempel

1 (tal) : i heltal , rationaler , reella och andra tal
Identitetsmatris : se matrismultiplikation
Identitetsoperator i operatoralgebror
Polynom 1 (noll grad) i ringen av polynom