Distans

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 juli 2022; kontroller kräver 4 redigeringar .

Avstånd , i vid bemärkelse, graden (måttet) av avståndet mellan objekt från varandra.

Avstånd är ett grundläggande begrepp inom geometri . Termen används ofta i andra vetenskaper och discipliner: astronomi , geografi , geodesi , navigation och andra. Inom olika discipliner, som term, har den en annan definition, presenterad nedan.

Avstånd i matematik

Avstånd i algebra

Innehållet i termen "avstånd" i algebra är kopplat till begreppet metriskt och metriskt utrymme .

En mängd X kallas ett metriskt utrymme om en sådan mappning, kallad ett mått, X² till en uppsättning icke-negativa tal ges så att för alla element a, b, c i mängden X följande axiom, kallade Fréchets axiom, håll :

1) dessutom är likhet uppfylld om och endast om elementen a och b är lika; $\rho (a;b)\geq 0$

2) ; $\rho (a;b)=\rho (b;a)$

3) . $\rho (a;b)\leq \rho (a;c)+\rho (c;b)$

För det tredje axiomet är ett specialfall triangelolikheten .

Avstånd i uppsättningen av reella tal Introduktion av mätvärden

För mängden av alla reella tal anses avståndet från talet a till talet b av matematiker som talet . $|ab|$

Det är lätt att se att uppsättningen av reella tal med ett givet mått är ett metriskt utrymme.

Bevis

Det första villkoret är uppfyllt, eftersom modulen för ett reellt tal från definitionen är ett icke-negativt tal, dessutom är modulen för talet lika med noll om och endast om uttrycket under modulen är lika med noll, varav, om jämställdheten är uppfylld är siffrorna lika.

Den andra egenskapen är sann, eftersom från egenskaperna för talmodulen: . $|ab|=|ba|$

Den tredje egenskapen gäller, eftersom egenskapen i sig är ekvivalent med , men , och summans modul överstiger alltid inte summan av modulerna. $|ab|\leq |ac|+|cb|$ $(ac)+(cb)=ab$

Avstånd i uppsättningen av par av reella tal

Av huvudmåtten i uppsättningen av par av reella tal (och i grafisk tolkning - uppsättningen av alla punkter på planet) urskiljs två: Descartes- metriken och Euklid- metriken .

Descartes metriska Introduktion av mätvärden

För uppsättningen av par av reella tal ges Descartes-måttet:

$\rho ((a;b);(c;d))=|ac|+|bd|$ .

Låt oss se till att uppsättningen av par av reella tal (R²) med den introducerade Descartes-metriken är ett metriskt utrymme.

Bevis

Den första egenskapen gäller uppenbarligen, eftersom summan av moduler, som var och en är ett icke-negativt tal, också är ett icke-negativt tal. Dessutom är likheten uppfylld om och endast om båda uttrycken under modulen är lika med noll, men då de betraktade elementen-paren i mängden också är lika.

Den andra egenskapen är nöjd eftersom . $\rho ((a;b);(c;d))=|ac|+|bd|=|ca|+|db|=\rho ((c;d);(a;b))$

Låt oss bevisa den tredje egenskapen:

Låt tre par reella tal ges, (a; b), (c; d), (e; f). Då kan den nödvändiga ojämlikheten skrivas i följande form:

$|ac|+|bd|\leq |ax|+|by|+|xc|+|yd|$ . Denna ojämlikhet är sann, vilket följer av tillägget av följande två ojämlikheter som tidigare bevisats:

$|ac|\leq |ax|+|xc|$ och . $|bd|\leq |by|+|yd|$

Euklids metriska Introduktion av mätvärden

För en uppsättning par av reella tal ges den euklidiska metriken:

${\displaystyle \rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))))$ .

Låt oss verifiera att mängden R² med den introducerade euklidiska metriken är ett metriskt utrymme.

Bevis

Den första egenskapen gäller eftersom den aritmetiska roten av ett icke-negativt tal alltid är icke-negativt. Om likheten till noll å andra sidan är uppfylld, så är båda uttrycken i kvadrat lika med noll, varför kravet är uppenbart.

Den andra egenskapen är nöjd eftersom . $\rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))}={\sqrt {(ca)^{ 2}+(db)^{2}}}=\rho ((c;d);(a;b))$

Låt oss bevisa den tredje egenskapen:

Låt tre par reella tal ges, (a; b), (c; d), (e; f). Då kan den nödvändiga ojämlikheten skrivas i följande form:

${\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2}}}\leq {\sqrt {(ae)^{2}+(bf)^{2}}}+{\ sqrt {(ec)^{2}+(fd)^{2}}}$ . Efter att ha kvadrerat och transformerat detta uttryck kommer vi fram till följande ojämlikhet:

$(ae)(ec)+(bf)(fd)\leq {\sqrt {((ae)^{2}+(bf)^{2})((ec)^{2}+(fd )^{2})}}$ , vilket är sant, vilket följer av Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten (med en lämplig förändring av skillnader i antal).

Avstånd i geometri

Inom geometri är avståndet mellan figurerna den minsta möjliga längden på segmentet mellan en punkt som tillhör den första figuren och en punkt som tillhör den andra figuren.

Avstånd i teknik

Avståndet mellan objekt är längden av ett rakt linjesegment som förbinder två objekt. Avstånd i denna mening är en fysisk storhet med dimensionen längd, avståndsvärdet uttrycks i längdenheter.

Avstånd i fysik

Distans
s
Enheter
SI	m
GHS	centimeter

Inom fysiken mäts avstånd i längdenheter , vilket i de flesta mätsystem är en av de grundläggande måttenheterna . I International System of Units (SI) är längdenheten meter . Avstånd kallas också längden på vägen som ett föremål färdas. I detta fall är derivatan av avståndet (radievektor) med avseende på tid hastigheten .

Andra användningsområden

Inom proxemics används begreppet avstånd för att beskriva en persons personliga utrymme.

Se även

Anteckningar

Litteratur

Zenith distans // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.