Kink (matematik)

En kink är en lösning på fältekvationerna i vissa dimensionella fältteorier som interpolerar mellan två vakuum när den rumsliga koordinaten ändras från till . En kink är den enklaste topologiska solitonen . $1+1$ $-\infty$ $+\infty$

Knik i modellen av ett riktigt skalärt fält

Låt oss betrakta [1] teorin om ett verkligt skalärt fält i ett dimensionsrum med handlingen $1+1$

S=\int d^{2}x\left[{\frac {1}{2}}\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu}-V(\phi )\right ],

var är fältpotentialen, , och $\phi$ $\mu=0,1$

V(\phi )=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {\lambda }{4}}\phi ^{4}+ {\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}={\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{2}-v^{2})^{2},~~ v={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda ))}.

Handlingen är oföränderlig under en diskret transformation ; denna symmetri bryts spontant, eftersom det klassiska vakuumet är lika . $\phi =-\phi$ $\phi ^{vac}=\pm v$

Från principen om minsta verkan erhålls fältekvationen

\phi _{,\mu }^{~~\mu}+{\frac {\partial V(\phi )}{\partial \phi ))=0.

Vi kommer att leta efter en statisk, det vill säga tidsoberoende lösning av fältekvationerna. I detta fall reduceras fältekvationen till

\phi ''-{\frac {\partial V(\phi )}{\partial \phi }}=0,

där primtal betecknar derivatan med avseende på den rumsliga koordinaten. Den resulterande ekvationen har följande lösning:

\phi =v\tanh(\pm {\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}v(x-x_{0}))={\frac {\mu }{\sqrt {\ lambda ))}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2))}x)},

var är integrationens konstant. Denna lösning är den enklaste statiska kinken som interpolerar mellan vakuum och när den rumsliga koordinaten ändras från till . En signerad lösning kallas antikink . $x_{0}$ $-v$ $+v$ $-\infty$ $+\infty$ $-$

Lösningsegenskaper

Storleken på kinken är av storleksordningen , det vill säga storleksordningen för Compton-våglängden för den elementära excitationen. I själva verket, energitätheten av kinken ${\displaystyle r_{k}=\mu ^{-1))$

\epsilon (x)={\frac {1}{2}}\phi '^{2}+V(\phi )={\frac {\lambda }{2}}v^{4}{ \frac {1}{\cosh ^{4}({\frac {\mu }{\sqrt {2))}(x-x_{0)))))

skiljer sig markant från noll endast i regionen . ${\displaystyle |x-x_{0}|\lesssim r_{k))$

Kinkens statiska energi är

\int _{-\infty }^{\infty }\epsilon (x)dx={\frac {2}{3}}mv^{2},

var är massan av den elementära excitationen. $m={\sqrt {2}}\mu$

Den resulterande lösningen är inte invariant under rumsliga översättningar och Lorentz-transformationer. Dessa transformationer översätter dock fältekvationernas lösningar till andra lösningar. Genom att tillämpa översättningar och Lorentz-transformationen får vi följande familj av icke-statiska lösningar:

\phi ={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda ))}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2))}{\frac {(x- x_{0})-ut}{\sqrt {1-u^{2)))))},

var är hastigheten på den rörliga kinken. $u$

Kink i modellen av ett komplext skalärt fält

Låt oss betrakta [1] teorin om ett komplext skalärt fält i ett dimensionsrum med Lagrangian $1+1$

\Lambda =\phi _{,\mu }{\bar {\phi }}^{,\mu}+\mu ^{2}\phi {\bar {\phi}}-{\frac { \lambda }{2}}(\phi {\bar {\phi }})^{2}.

Principen om minsta verkan leder till följande fältekvationer:

\phi _{,\mu }^{~~\mu }=\mu ^{2}\phi -\lambda \phi ^{2}{\bar {\phi )),

{\bar {\phi}}_{,\mu}^{,\mu}=\mu ^{2}{\bar {\phi}}-\lambda {\bar {\phi }}^ {2}\phi .

De resulterande ekvationerna har en kinklösning från teorin om ett verkligt skalärfält

\phi ={\bar {\phi }}={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2} }}x)}.

Kink i sinus-Gordon-ekvationen

Låt oss betrakta [1] teorin om ett verkligt skalärt fält i ett dimensionsrum med Lagrangian $1+1$

\Lambda =\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu}+m^{2}v^{2}[\cos {\frac {\phi}{v}}-1] .

Principen om minsta handling leder till ekvationen

\phi _{,\mu }^{~~\mu}+m^{2}v\sin {\frac {\phi}{v))=0,

som reduceras genom substitution till sinus-Gordon-ekvationen $x\rightarrow mx,~~t\rightarrow mt,~~\phi \rightarrow {\frac {\phi }{v))$

\phi _{tt}-\phi _{xx}+\sin \phi =0,

som har följande specifika lösningar [2] , som representerar kinks som rör sig med hastighet , interpolerar mellan vakuum och när man byter från till : $v$ $\phi _{0}=2\pi k,~~k\in \mathbb {Z}$ $\phi _{0}+2\pi$ $x$ $-\infty$ $+\infty$

\phi (x,t)=\phi _{0}+4\arctan \left\{\exp \left[\pm {\frac {x+vt}{\sqrt {v^{2}- 1}}}+\delta \right]\right\},

där är en godtycklig konstant. Tecknet motsvarar kinken, tecknet mot antikinken. $\delta$ $+$ $-$

Anteckningar

↑ 1 2 3 * Rubakov V.A. Klassiska spårfält. Bosoniska teorier. - M . : KomKniga, 2005. - S. 133-143. — 296 sid.
↑ * Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nolinar Equations of Mathematical Physics. - M. : FIZMATLIT, 2002. - S. 144. - 432 sid.

Litteratur

T. I. Belova , A. E. Kudryavtsev, Solitons och deras interaktioner i klassisk fältteori
VA Gani, AE Kudryavtsev, MA Lizunova, Kink-interaktioner i den (1+1)-dimensionella φ 6 - modellen, Phys. Varv. D 89, 125009 (2014) ; [https://web.archive.org/web/20161220140059/https://arxiv.org/abs/1402.5903 Arkiverad 20 december 2016 på Wayback Machine arXiv:1402.5903 [hep-th]].
VA Gani, V. Lensky, MA Lizunova, Kink-excitationsspektra i den (1+1)-dimensionella φ 8 - modellen, JHEP 08 (2015) 147 ; [https://web.archive.org/web/20161220135634/https://arxiv.org/abs/1506.02313 Arkiverad 20 december 2016 på Wayback Machine arXiv:1506.02313 [hep-th]].