Konjugationsklass

En konjugationsklass är en uppsättning element i gruppen som bildas av element konjugerat till en given , det vill säga alla element i formen , där är ett godtyckligt element i gruppen . $G$ $g\in G$ $hgh^{{-1}}$ $h$ $G$

Konjugationsklassen för ett element kan betecknas med , eller . $g\in G$ $[g]$ $g^{G}$ ${\mathrm {Cl}}(g)$

Definition

Element och grupper kallas konjugat om det finns ett element för vilket . Konjugation är en ekvivalensrelation , och delas därför upp i ekvivalensklasser , detta betyder i synnerhet att varje element i gruppen tillhör exakt en konjugationsklass, och klasserna och sammanfaller om och endast om och är konjugerade, och inte skär varandra annars . $g_{1}$ $g_{2}$ $G$ $h\in G$ $hg_{1}h^{{-1}}=g_{2}$ $G$ $[g_{1}]$ $[g_{2}]$ $g_{1}$ $g_{2}$

Anteckningar

Konjugationsklasser kan också definieras som banorna för en grupps verkan på sig själv genom konjugationer som ges av formeln [1] . $(g,m)=gmg^{{-1}}$

Exempel

Den symmetriska gruppen som består av alla sex permutationer av tre element har tre konjugationsklasser: $S_{3}$
- ordningen ändras inte ( , "1A"), $abc\till abc$
- permutation av två element ( , , , "3A"), $abc\till acb$ $abc\to bac$ $abc\to cba$
- cyklisk permutation av alla tre elementen ( , , "2A"). $abc\to bca$ $abc\till cab$

Den symmetriska gruppen , som består av alla 24 permutationer av fyra element, har fem konjugationsklasser: $S_4$
- ordningen ändras inte (1 permutation): , "1A" eller "(1) 4 "; $\{\{1,2,3,4\}\}$
- permutation av två element (6 permutationer): , "6A" eller "(2)"; $\{\{1,2,4,3\},\{1,4,3,2\},\{1,3,2,4\},\{4,2,3,1\}, \{3,2,1,4\},\{2,1,3,4\}\}$
- cyklisk permutation av tre element (8 permutationer): , "8A" eller "(3)"; $\{\{1,3,4,2\},\{1,4,2,3\},\{3,2,4,1\},\{4,2,1,3\}, \{4,1,3,2\},\{2,4,3,1\},\{3,1,2,4\},\{2,3,1,4\}\}$
- cyklisk permutation av alla fyra elementen (6 permutationer): , "6B" eller "(4)"; $\{\{2,3,4,1\},\{2,4,1,3\},\{3,1,4,2\},\{3,4,2,1\}, \{4,1,2,3\},\{4,3,1,2\}\}$
- parvis permutation (3 permutationer): , "3A" eller "(2)(2)". $\{\{2,1,4,3\},\{4,3,2,1\},\{3,4,1,2\}\}$

I det allmänna fallet är antalet konjugationsklasser i en symmetrisk grupp lika med antalet partitioner av numret , eftersom varje konjugationsklass motsvarar exakt en partition av permutationen i cykler . $S_{n}$ $n$ $\{1,2,\dots ,n\}$

Egenskaper

Det neutrala elementet bildar alltid sin egen klass $[e]=\{e\}$
If är Abelian , alltså , alltså för alla delar av gruppen. $G$ $\forall {g,h\in G}\ghg^{-1}=h$ $[g]=\{g\}$
Om två element och grupper tillhör samma konjugationsklass, har de samma ordning . $g_{1}$ $g_{2}$ $G$
- Mer allmänt är varje gruppteoretiskt påstående om ett element likvärdigt med ett påstående om ett element , eftersom konjugering är en
automorfism av gruppen . $\pi (g)$ $g\in G$ $h\in[g]$ $x\till xgx^{{-1}}$ $G$

Ett element ligger i mitten om och endast om dess konjugationsklass består av ett enda element: .

g\in G

Z(G)

[g]=\{g\}

Mer generellt: indexet för en undergrupp (

centraliseraren för ett givet element ) är lika med antalet element i konjugationsklassen (enligt orbitstabiliseringssatsen ).

Z_{G}(g)

g

[g]

Om och är konjugerade, då är deras befogenheter och också konjugerade .

g_{1}

g_{2}

g_{1}^{k}

g_{2}^{k}

För alla element i gruppen motsvarar elementen i konjugationsklassen en-till-en konjugationsklasserna för centraliseraren , ja, om , då för vissa , vilket leder till samma konjugerade element: . Särskilt: $g\in G$ $[g]$ $Z_{G}(g)$ $h_{1}\in [h_{2}]$ $h_{1}=h_{2}z$ $z\in Z_{G}(g)$ $h_{1}gh_{1}^{-1}=h_{2}zg(h_{2}z)^{-1}=h_{2}zgz^{-1}h_{2}^ {-1}=h_{2}zz^{-1}gh_{2}^{-1}=h_{2}gh_{2}^{-1}$
- Om är en
finit grupp , då är antalet element i konjugationsklassen indexet för centraliseraren . $G$ $[g]$ $[G:Z_{G}(g)]$
Ordningen för varje konjugationsklass är en divisor av gruppens ordning.

Ordningen på gruppen är summan av indexen för centraliserare för den valda representanten från varje konjugationsklass: . Med hänsyn till det faktum att centraliseraren av en grupp bildar en konjugationsklass från ett enda element (själv), skrivs denna relation, som kallas ekvationen för konjugationsklasser [2] :

g_i

|G|=\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]

Z(G)

|G|=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]

där summan tas över alla representanter för varje konjugationsklass som inte tillhör centern.

Låt till exempel en finit -grupp ges (det vill säga en grupp med ordning , där är ett primtal och ). Eftersom ordningen för någon konjugationsklass måste dela upp gruppens ordning, har varje konjugationsklass också en ordning som är lika med någon potens ( ), och då följer det av ekvationen för konjugationsklasser att: $sid$ $G$ $p^{n}$ $sid$ $n>0$ $Hej$ $p^{{k_{i}}}$ $0<k_{i}<n$

|G|=p^{n}=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}p^{{k_{i}}}

, detta i sin tur innebär att antalet måste dela , så att för alla finita -grupper, det vill säga ekvationen för konjugationsklasser tillåter oss att fastställa att vilken finit -grupp som helst har ett icke-trivialt centrum.

sid

|Z(G)|

|Z(G)|>1

sid

sid

Konjugationsklasser i den fundamentala gruppen av ett bananslutet topologiskt utrymme kan betraktas som ekvivalensklasser av fria loopar under fri homotopi.

Variationer och generaliseringar

För en godtycklig delmängd (inte nödvändigtvis en undergrupp) kallas delmängden konjugera till om det finns något element så att . I det här fallet är konjugationsklassen mängden av alla delmängder så att var och en är konjugerad . $S\subseteq G$ $T\subseteq G$ $S$ $g\in G$ $T=gSg^{{-1}}$ $[S]$ $T\subseteq G$ $T$ $S$

En allmänt använd teorem är att för varje given delmängd av en grupp är uppsättningsindexet för dess normalisator lika med ordningen för dess konjugationsklass : $S$ $G$ $N(S)$ $[S]$

|[S]|=[G:N(S)]

Detta följer av det faktum att för håller: om och endast om , det vill säga, och ingår i samma normaliserare adjacency class . $g,h\in G$ $gSg^{{-1}}=hSh^{{-1}}$ $g^{{-1}}h\in N(S)$ $g$ $h$ $N(S)$

Undergrupper kan delas in i konjugationsklasser så att två undergrupper tillhör samma klass om och endast om de är konjugerade. Konjugerade undergrupper är isomorfa , men isomorfa undergrupper behöver inte vara konjugerade. Till exempel kan en Abelisk grupp innehålla två distinkta isomorfa undergrupper, men de kommer aldrig att vara konjugerade.

Se även

Anteckningar

↑ Grillet, 2007 , sid. 56.
↑ Grillet, 2007 , sid. 57.

Litteratur

Pierre Antoine Grillet. abstrakt algebra. - 2. - Springer, 2007. - T. 242. - (Examinerade texter i matematik). — ISBN 978-0-387-71567-4 .