Makromekanisk modellering av stenmurar

Makromekanisk modellering av stenväggar  är en metod för att modellera murade väggar, där ett heterogent ( heterogent system ) murverk, bestående av murverk ( tegel , naturliga eller konstgjorda stenar, betongblock, etc.) och murbruk , ersätts av ett homogent ( heterogent system). homogen ) platta . En sådan platta har olika egenskaper för styrka och styvhet i riktningarna normala och parallella med murbädden , därför är det en ortotropisk kropp. Processen att ersätta en heterogen struktur med en homogen kallas murverkshomogenisering .

Homogenisering av murverk

Murverkshomogenisering utförs på två sätt, som för korthetens skull kan kallas approximation och makro- mikrohomogenisering.

Ungefärlig homogenisering använder data om murverks styvhet och hållfasthet under relativt enkla typer av murverksspänningstillstånd, såsom enaxlig kompression och spänning normalt och parallellt med murbädden, biaxiell enhetlig kompression, rent snitt, som erhålls på basis av direkta tester av murverk prototyper och/eller tas enligt instruktioner från normer och manualer för utformning av stenkonstruktioner. Hållfasthetsförhållandena för andra fall av spänningstillståndet anges ungefärligen och uttrycks i termer av hållfasthetsdata för enkla typer av spänningstillstånd.

Hållfasthetsdata för enkla typer av spänningstillstånd är referenspunkter för att konstruera en tredimensionell yta, som bestämmer förutsättningarna för lokalt brott i murverket. När man överväger de makroskopiska destruktionsförhållandena kallas denna yta vanligtvis för destruktionsytan . Observera att inom brottmekanik används termen "brottyta" i en annan betydelse. Denna term hänvisar till den yta längs vilken, på mikroskopisk nivå, ett förskjutningsbrott uppstår på grund av en normal brottspricka eller en skjuvspricka ( dislokation ) som uppstår runt frakturstället på en fast kropp.

Sprickytans geometri mellan referenspunkterna ges hypotetiskt. Som regel antas att brottytan består av flera delar, som kan ha olika geometriska former. Formen på delar av sprickytan väljs med förenklade sprickkriterier eller specificeras med matematiska approximationsmetoder.

Makro-mikrohomogenisering är baserad på mikromekanisk modellering av en repetitiv, identisk murverksvolym, kallad huvudcellen . Huvudcellen beräknas som en uppsättning platta eller rumsliga finita element (FE), i vilka murverksenheter och murbruksfogar i huvudcellen delas in för beräkning. Styrkan hos FE kontrolleras med hjälp av kända kriterier för destruktion av isotropa material, som kan ses olika för murverk och bruksfogar.

Makro-mikrohomogenisering kräver inte komplex testning av murverksprover som krävs för ungefärlig homogenisering. Nödvändiga indata kan vanligtvis bestämmas utifrån standardprov på murelement och murbruk. Observera att förutom hållfasthetsegenskaper krävs data om deformationsegenskaper hos murverksmaterial. Mikromekanisk modellering av huvudcellen gör det möjligt att avslöja egenskaperna hos spänningsfördelningen i murbruksfogar och murverkselement.

Man bör komma ihåg att makro-mikrohomogenisering i vissa fall kan ge mindre exakta resultat än approximationshomogenisering, eftersom den inte tar hänsyn till inverkan av många slumpmässiga faktorer (heterogenitet av material i murverksenheter och murbruk, variation i tjockleken av murbruksfogar och andra oundvikliga fel i byggnadsarbeten). ), som avsevärt påverkar murverkets hållfasthet. Samtidigt tar approximationshomogenisering, med hjälp av direkta experimentella data om murverks styrka, hänsyn till de olika funktionerna i driften av stenstrukturer under belastning (inklusive oundvikliga tillverkningsdefekter), även om det inte tillåter oss att identifiera effekten av var och en av dem separat.

Begränsningar för användningen av makro-mikrohomogenisering är murverkets regelbundenhet och dess utförande från solida (utan tomrum) murverkselement.

Ungefärlig homogenisering

Destruktionsyta

Murverkets brottyta under inverkan av yttre belastningar i väggplanet kan specificeras i två versioner: i termer av tangentiella (τ) och normala (σ n , σ p ) spänningar som verkar normalt respektive parallellt med murbädden, eller i termer av huvudspänningar (σ 1 , σ 2 ) och lutningsvinkeln (θ) för den maximala huvudspänningen till murbädden. Formen på brottytan är förvald. Det första av dessa alternativ är det mest bekväma för att fastställa felkriterierna, och det andra alternativet är för att beskriva testresultaten. Övergången från ett alternativ till ett annat utförs med hjälp av formlerna för materialresistans , som bestämmer förhållandet mellan de huvudsakliga spänningarna och de normala och skjuvspänningar som verkar på ett godtyckligt lutande område av en isotropisk kropp.

Sprickytan, given i termer av spänningar (τ, σ n , σ p ), är konstruerad i ett ortogonalt koordinatsystem. Normalspänningar σ n , σ p plottas längs x- och y -axlarna och skjuvspänningar τ längs den vertikala axeln z . Normala dragspänningar, som är brukligt inom elasticitetsteorin, anses vara positiva. Brottytan är symmetrisk med avseende på planet z = 0. Därför brukar endast den övre halvan av frakturytan beaktas. Sektionen av sprickytan i symmetriplanet kallas sprickytans bas .

Som regel är det accepterat att brottytan består av flera delar, som kan ha olika geometriska former. Formen på delar av sprickytan väljs från bekvämlighetsvillkoret för approximation av tillgängliga experimentella data, som är referenspunkter för att konstruera ytan. Dessutom kan de befintliga empiriska beroenden tas i beaktande, som fastställer felkriterierna för särskilda fall av det stressade tillståndet hos murverket.

Referenspunkter för att konstruera en sprickyta

Minst sex referenspunkter används för att konstruera brottytan, som karakteriserar murverkets hållfasthet under enaxlig kompression normalt f' cn och parallell f' cp till bädden, enaxlig spänning normalt till bädden f tn , enaxlig spänning parallellt till bädden med brott endast längs sömmarna f tpj och vid förstörelse samtidigt längs vertikala fogar och murelement f tpb , samt skjuvhållfasthet i gränssnittet mellan murelement och murbruksfogar f v0 .

Eftersom murverkets motstånd mot biaxiell kompression är större än motståndet mot enaxligt kompression, är det också nödvändigt att använda som referenspunkter för att ta hänsyn till hela intervallet av förändringar i normala spänningar i murverkets sömmar värdet för murverkets motstånd mot samma biaxiala kompression ( f" c ) och värdena för de maximala motstånden för ojämn kompression ( f " cn och f " cp ). Resistansen f" cn motsvarar fallet när normalspänningarna i de horisontella sömmarna är större än spänningarna i de vertikala sömmarna, och motståndet f " cp motsvarar fallet  när, tvärtom, normalspänningarna i de vertikala sömmarna är större än spänningarna i de horisontella sömmarna .

Förutom de angivna hållfasthetsegenskaperna, för att konstruera brottytan, är det nödvändigt att använda värdet på vinkeln för inre friktion φ mellan murverkselementen och murverksfogarna.

Förenklade felkriterier

De brottkriterier som diskuteras i detta avsnitt används för att förenkla beräkningen av väggar för laster som verkar i väggplanet, samt för att konstruera en brottyta, vars sektioner motsvarar olika former av brott. Några av dessa kriterier ligger till grund för konstruktions- och beräkningsnormerna för stenkonstruktioner.

Det enklaste förhållandet mellan de begränsande skjuvspänningarna τ och normala spänningar σ n bestäms av formeln:

(ett)

där μ = tg φ , c  är den tangentiella vidhäftningen av murelementet till murbruksfogen.

Detta beroende motsvarar Coulombs friktionslag , som 1773 slog fast att motståndet hos lösa jordar mot skjuvning är motståndet för inre friktion proportionell mot normalt tryck. Denna lag utvidgades sedan till kohesiva jordar, för vilka skjuvmotståndet vid inte särskilt höga tryck är lika med summan av krafterna av inre friktion och kohesion (kohesion). [ett]

Enligt det begränsande beroendet (1) ökar skjuvmotståndet oändligt med ökande kompression. Under tiden finns det för varje solid kropp en slutlig tryckbelastning vid vilken skjuvmotståndet är noll. En makromekanisk modell som tar hänsyn till att skjuvmotståndet gradvis minskar efter att man uppnått en viss nivå av tryckbelastning kallas "cap-modellen". En sådan modell föreslogs för första gången i förhållande till jordmekanikens problem av Drucker. [2] Druckers "mössamodell" användes senare framgångsrikt för makromekanisk modellering av murverk. [3] [4]

Coulombs lag i koordinater τ-σ beskriver grafiskt en rät linje som lutar mot σ -axeln vid en inre friktionsvinkel φ och som skär τ- axeln i en punkt med ordinatan c . Coulombs lag, bestämd av formel (1), kan uttryckas i termer av maximala σ 1 och minsta σ 3 huvudspänningar. För att göra detta, på denna graf av gränsberoendet τ-σ , är det nödvändigt att konstruera en Mohr-cirkel , för vilken den sneda linjen är en tangent. Från geometriska överväganden, istället för ekvation (1), får vi följande ekvation, kallad Mohr-Coulombs hållfasthetskriterium:

(2)

Som tillämpat på murverk har tillstånd (1) bekräftats genom ett flertal skjuvtester av prover med kompression mot normala bruksfogar. Vid provning av prover bestående av två (duplexprover) eller tre (triplexprover) murverkselement översteg tryckbelastningen som regel inte hälften av provernas slutliga tryckmotstånd. Tester för enaxlig kompression av murverksfragment (paneler), där bruksfogarna är placerade i en vinkel mot tryckbelastningens riktning, visade att det linjära beroendet endast bevaras upp till en viss gräns. När tryckbelastningen närmar sig den maximala tryckhållfastheten tenderar den slutliga skjuvhållfastheten till noll [5] .

Gränsberoendet, som tar hänsyn till minskningen av murverkets slutliga skjuvhållfasthet under inverkan av en stor tryckbelastning, föreslogs i artikeln av W. Mann och H. Műller (1973) [6] för beräkning av hållfastheten hos stenmembranväggar. Vid härledning av hållfasthetsförhållandena antog författarna att skjuvspänningar inte förekommer i ändarna av murelementen, och balansen av murelementet säkerställs genom en stegvis förändring av de normala tryckspänningarna i bäddfogarna ovanför och under elementet . Den plastiska omfördelningen av spänningar i murverkets bäddfogar under den kombinerade verkan av normala och skjuvspänningar i dem togs inte med i beräkningen. De accepterade antagandena underskattar murverkets faktiska motstånd.

Mann-Müller särskiljer tre former av misslyckande, som uppfyller följande kriterier:

(3)

där h m  är höjden på murverkselementet, b m  är djupet på murverkets förband;

(fyra)
(fyra)

Kriterier (3)-(5) ligger till grund för de tyska standarderna för konstruktion och beräkning av murverkskonstruktioner. DIN 1053. I något modifierad form ingår villkoret (2) i de paneuropeiska normerna för murverk Eurocode 6.

På basis av tester av prover för kompression i en vinkel mot bädden av murverket, föreslog Page (1978) ett bilinjärt förhållande mellan de begränsande skjuvspänningarna och kompressionen av murverket vinkelrätt mot bädden) [7] .

För det fall då murverkets draghållfasthet i en normal bädd är noll, föreslog HR Ganz (1985) fem kriterier för murverksbrott [8] :

(6)
(7)
(åtta)
(9)
(tio)

Därefter förfinades dessa kriterier delvis i [9] Felkriterierna som föreslagits av HR Ganz används i den schweiziska murverksdesignkoden SIA 266.

U. Andreaus (1996) föreslog att man skulle använda tre styrkekriterier [10]

De övervägda felkriterierna sammanfaller i princip för fallet med ett murverk längs en horisontell fog, men skiljer sig väsentligt för andra former av brott.

Styckvis linjära begränsande beroenden mellan normal- och skjuvspänningar används i arbeten [11] , [12] , [13] .

Varianter av felkriterier föreslås också i Pietruszczak och Nui (1992), Mojsilovic och Marti (1997), Syrmakezis och Asteris (2001), Ushaksaraei och Pietruszczak (2002), Massart et al (2007), Calderini och Lagomarsino (2008), Pela et al. (2011) och andra.

Destruktionsytans bas

Konturen av botten av brottytan bestämmer förhållandet mellan gränsvärdena för normalspänningar σ n , σ p för fallet med ett plant spänningstillstånd, när den yttre belastningen riktas normalt och parallellt med murbädden. Beroende på tecknet och förhållandet mellan externa belastningar uppstår följande former av murverksfel i detta fall:

Följande begränsningsmotstånd motsvarar de uppräknade formerna av förstörelse: f' cn , f' cp , f tn , f tpj , f tpb , f " c . Dessa motstånd bestämmer referenspunkter för att konstruera konturen av sprickytans bas. Utöver dessa resistanser är det lämpligt att dessutom använda referenspunkter , motsvarande resistanserna f" cn och f" cp (motståndsbeteckningarna ges i avsnittet "referenspunkter"). Med hjälp av åtta referenspunkter kan du bygga en baskontur i form av en konvex oktagon (oktagon) [14] [15] För bättre matchning Baserat på experimentdata är det rimligt att anta att ortagonens hörn är belägna på de platser där murverksbrottsformerna förändras i planspänningstillståndet.

Vertikala sektioner av frakturytan

Den vertikala sektionen av brottytan som passerar genom den vertikala axeln z bestämmer beroendet av de begränsande skjuvspänningarna τ vid ett fast förhållande mellan normalspänningarna γ=σ p / σn . Oftast, för att konstruera brottytan, används beroendet för fallet när γ=0 (vid σ p =0). Typiska varianter av detta beroende visas i figuren till höger, där normalspänningarna σ n är plottade längs abskissaxeln och de begränsande skjuvspänningarna τ plottas längs ordinataaxeln.

Sprickytan har tre speciella vertikala sektioner, så kallade huvudsektioner [15] . Alla huvudsektioner passerar genom den vertikala z -axeln . Den första huvudsektionen är belägen längs x -axeln, den andra är längs y -axeln och den tredje är längs bisektrisen av vinkeln mellan x- och y -axlarna i koordinatplanets första och tredje kvadranter.

Brottytan för huvudsektionerna i det allmänna fallet har fyra sektioner, som motsvarar olika former av skador på murverket, beroende på normalspänningarnas tecken och storlek. Dessa sektioner är numrerade i följd, utgående från sektionen där normalspänningarna är drag. I vissa fall kan det hända att vissa av de angivna formerna av förstörelse inte visas. Då minskar antalet tomter därefter. Det bitvis linjära beroendet mellan de begränsande tangentiella och normala spänningarna bestäms av en formel som är gemensam för alla sektioner, där det första indexet j bestämmer numret på huvudsektionen och det andra indexet i bestämmer  sektionens nummer:

(elva)

.

Formel (11) är en naturlig generalisering av formel (1). Därför kallas det ofta för det generaliserade Mohr-Coulomb-tillståndet.

Exempel på brottytor

Typiska varianter av murade brottytor i plant spänningstillstånd visas i figuren till höger. För att underlätta jämförelsen är ytorna konstruerade för samma värden för murverkets slutmotstånd mot enaxlig kompression och spänning normalt och parallellt med murverkets bädd, såväl som de slutliga motstånden mot biaxiell kompression (samma och annorlunda). Förhållandena mellan gränsspänningarna är hämtade från experimenten av AW Page (1981-1983) [16] [17] . För bildens klarhet ökas de begränsande dragspänningarna, men förhållandet mellan dem bevaras. Kontrollpunkterna som används för att konstruera brottytor är markerade med små mörka ringar. Antalet sektioner av brottytor i figuren bestämmer deras form: 1 - plan; 2 - cylinder; 3 - cirkulär kon; 4 - elliptisk kon; 5 - stympad pyramid; 6 - ortotropisk flytyta av Rankine; 7, Hill yield yta; 8 - stängt valv.

Den brottyta som föreslagits av HR Ganz (1985) består av fem sektioner som var och en motsvarar en av murverksbrottsformerna [18] . Nackdelen med denna yta är att den inte tar hänsyn till den signifikanta ökningen av murverkshållfasthet vid biaxiell kompression jämfört med enaxlig kompression.

M. Dhanasekar, A. W. Page och P. W. Kleeman (1985) antog brottytan som tre korsande koniska ytor [19] . Konernas skärningslinjer är i form av ellipser. För det fall då skjuvspänningar är lika med noll, beskrivs gränsen för motståndsområdet av en konvex hexagon, som täcker området för biaxiell kompression. Uppdelningen av destruktionsytan i delar är inte helt förenlig med förändringen i formerna för förstörelse av murverket, vilket är dess nackdel.

Sprickytan som används av G. Maier, E. Nappi och A Papa (1991) är i form av en stympad pyramid, som inte har en gemensam vertex av sluttande kanter [14] . Pyramiden kan bestå av en eller flera nivåer, vars baser är sjukantiga, men i det allmänna fallet liknar de inte varandra. De lutande kanterna på en pyramid med mer än två nivåer bildar en bitvis linjär rumslig kurva. Den föreslagna brottytan är en konvex polyeder och kan betraktas som en bitvis linjär approximation av experimentdata, därför tillåter den att beskriva dem med vilken grad av noggrannhet som helst. Ytans komplicerade form kräver emellertid användning av ett stort antal kontrollpunkter för dess konstruktion.

PB Lourenço (1995), PBLourenço och JGRots (1997) antog en sprickyta som två korsande ytor [20] [21] . En av dem, som motsvarar brott vid huvudsakliga spänningar av olika tecken, är den ortotropiska typen av sträckyta som föreslagits av Rankine (Orthotropic Rankins sträckyta). Den andra begränsande ytan är flytytan av typen Hill's. Formen på Rankine flytytan överensstämmer inte med experimentella data för det fall då normalspänningarna som verkar vinkelrätt och parallellt med murbädden har olika tecken.

CA Syrmakesis och PG Asteris (2001), till skillnad från andra författare, beskrev brottytan med en enda funktion, ett kubiskt polynom vars koefficienter bestämdes med minsta kvadratmetoden [22] . En sådan teknik gjorde det möjligt att beskriva tillgängliga experimentella data ganska bra, men den kan inte användas för att beräkna hållfastheten hos stenkonstruktioner med andra hållfasthetsegenskaper utan speciella, mycket tidskrävande tester.

R. Ushaksaraei och S. Pietruszczak (2002) använde sin föreslagna metod för approximering av kritiska plan [23] för att konstruera sprickytan . M. Kawa, S. Pietruszczak och B. Shieh-Beygi (2008) utvecklade denna metod för att förfina brottkriterierna för murverk under plan spänning [24] .

L. Berto, R.Scotta R. Vitaliani (2002) accepterade destruktionsytan i form av ett höfttak (höfttak) med en rektangulär bas [25] . Ytorna, liksom ytan på HR Ganz(1985) [8] , tar inte hänsyn till ökningen av murverkets hållfasthet under biaxiell kompression. Dessutom är uppdelningen av ytan i delar inte förenlig med förändringen i formerna för förstörelse av murverket.

VI Lishak, V.I. Yagust och DZ Yankelevsky (2012) tog brottytan som fem sektioner med olika former [15] . Uppdelningen av ytan i sektioner är förenlig med förändringen i formerna för förstörelse av murverket. Delar av brottytan är i form av plana, koniska ytor, och en del är i form av en bikonvex yta. Sprickytans geometri bestäms med hjälp av dess tre sektioner av vertikala plan. Dessa avsnitt kallas principal. Två huvudsektioner är belägna längs koordinataxlarna, och den tredje - längs bisektorn av vinkeln mellan dem. Skärningslinjerna för brottytan av huvudsektionernas plan har formen av en kapsylmodell och består av två linjära sektioner och en krökt sektion - en del av ellipsbågen. På grund av den differentierade hänsynen till olika former av brott i murverket uppnåddes det bästa, i jämförelse med andra tidigare föreslagna brottkriterier, överensstämmelsen mellan de experimentella och beräknade uppgifterna.

Makro-mikrohomogenisering

Makro-mikrohomogenisering används för murverk som har en regelbunden, upprepad struktur. Ett minimalt upprepande element, kallat huvudcellen, sticker ut i murverket. Huvudcellen beräknas av FEM med hjälp av mikromekanisk simulering. Huvudidén med huvudcellhomogeniseringsproceduren är att spänningstensorerna Ε och töjningen Σ bestäms för den makromekaniska modellen med formlerna :

där A , Y  är arean respektive volymen av den elementära cellen; ε och σ  är lokala spänningar och töjningar av den elementära cellen, respektive,  är förskjutningsvektorn.

De ändliga elementen i vilka huvudcellen är uppdelad för beräkning betraktas som isotropiska kroppar, vars hållfasthet bestäms med hjälp av vissa hållfasthetskriterier för murverkselement och murbruksfogar. Oftare än andra används olika "klassiska" styrketeorier och deras kombinationer, liksom Drucker-Prager-styrkekriteriet .

Makro-mikrohomogenisering utfördes, särskilt i [26] . [27]

Funktioner i beräkningen av en ortotropisk platta

På grund av klädseln av murverkselementen och murbruksfogarnas olika stigning längs väggens längd och höjd, har murverket olika styrka och styvhet normalt och parallellt med bädden. Därför måste plattan som simulerar väggens murverk anses vara ortotropisk . En ortotrop platta, som har olika egenskaper i tre inbördes vinkelräta riktningar, varav en är parallell med plattans plan, är ett specialfall av en anisotrop platta. [28]

För en ortotropisk platta är förhållandet mellan spänningar och töjningar i matrisform följande:

var - Ex och E y är plattdeformationsmodulerna längs x- respektive y -axlarna ; ν xy och ν yx  är Poissons förhållanden; εx och εy är  relativa förlängningar (förkortningar) längs x- och y - axlarna ; γ xy  är den relativa förskjutningen. X- och y -axlarna är parallella respektive vinkelräta mot murbädden.

Beräkningen av en ortotrop platta utförs vanligtvis med den finita elementmetoden , där den beräknade strukturen approximeras av platta eller rumsliga finita element (FE).

Se även


Anteckningar

  1. ↑ Tsytovich N. A. Jordmekanik. 1963, M., Gosstroyizdat: 636 sid.
  2. ↑ Drucker DC, Gibson RE och Henkel DJ Jordmekanik och arbetshärdande teorier om plasticitet. Proceeding ASCE, 1957; 122:338-46.
  3. ↑ Lourenço PB Analys av murverk med gränssnittselement. Teori och tillämpningar, 1995. Delft University of Technology, Delft University Press, Nederländerna.
  4. ↑ Lourenço PB och Rots JG Multisurface gränssnittsmodell för analys av murverkskonstruktioner. ASCE J Engng Mech, 1997; 123(7): 660-68.
  5. ↑ Hamid A. A, Drysdale RG Föreslagna brottkriterier för murverk av betongblock under biaxiell spänning. J Struktur. Div. Proc. ASCE, 1981; 107 (ST8): s. 1675-87.
  6. ↑ Mann W., Műller H. Bruchkriterien fűr querkraftbeanspruchtes Mauerwerk und ihre Anwendung auf gemauerte Windschscheiben.Die Bautechnik, 1973; 50: sid. 421-425.
  7. ↑ A.W. Finita element-modell för murverk. J Struct Division ASCE, 1978; 104(8): 1267-85
  8. ↑ 12 Ganz HR Mauerwerkscheiben unter Normalkraft und Schub. ETH Zürich, 1985; Institut für Baustatik und Konstruktion. Birkhauser Verlag Basel
  9. ↑ Lu S., Yeuer R. och Flesch R. Materialmodell för oförstärkt baserad på plasticitetsteori. 10th canadin masonry symposium, Banff, Alberta, 2005:1-10.
  10. ↑ Andreaus U. Felkriterier för murverkspaneler under belastning i planet, J. Struct. Div., Proc. ASCE, 1996; 122(1): s.37-46:
  11. ↑ Sutcliffe DJ, Yu HS, Page A.W. Analys av nedre gränsgränser av oförstärkta murverksskjuvväggar. Computers and Structures, 2001; 79: s. 1295-312.
  12. ↑ Chaimoon K., Attard MM Modellering av oförstärkta murade väggar under skjuvning och kompression. engng. Strukturell, 2007; 29: s. 2056-2068.
  13. ↑ Bacigalupo A., Cavicchi A. och Gambarotta L. En förenklad utvärdering av bindningsmönstrets inverkan på murverkets gränsstyrka, 2011; Avancerat material peseach, Vol. 368-373. Transtech. Publikation: s.3495-3508.
  14. ↑ 1 2 Maier G., Papa E., Nappi A. Om skador och fel på enhetsmurverk. I: Experimentella och numeriska metoder i jordbävningsteknik, 1991; Balkema, Bryssel: s.223-45.
  15. ↑ 1 2 3 Lishak V. I, Yagust VI, Yankelevsky DZ 2-D ortotropiska felkriterier för murverk. Engng Structures, 2012, 36: s.360-371.
  16. ↑ Sida A. W. Den biaxiala tryckhållfastheten hos tegelmurverk. Proc. Ins. Civ. Engrs. 1981, 71(2): s. 893-906.
  17. ↑ Sida A.W. Styrkan hos tegelmurverk under biaxiell kompressionsspänning. Inter J. Masonry Constr., 1983, 3(1): s.26-31.
  18. ↑ Ganz H. R. Mauerwerkscheiben unter Normalkraft und Schub. ETH Zürich, 1985; Institut für Baustatik und Konstruktion. Birkhauser Verlag Basel.
  19. ↑ Dhanasekar M, Page AW, Kleeman PW Misslyckandet av murverk av tegel under biaxiell spänning. Proc. Instn. Civ. Engrs., 1985; 79: s. 295-313.
  20. ↑ Lourenço PB En ortotropisk kontinuummodell för analys av murverksstrukturer, 1995. Delft University of Technology, Delft University Press, Nederländerna: 55 sid.
  21. ↑ Lourenço PB, Rots JG Multisurface gränssnittsmodell för analys av murverk. ASCE J Engng Mech 1997; 123(7): s. 660-68
  22. ↑ Syrmakezis C. A, Asteris PG Kriterium för murverksbrott under biaxiellt spänningstillstånd. J. Material Civ. Eng., 2001; 13(1): s. 58-64.
  23. ↑ Ushaksaraei R, Pietruszczak S. Felkriterium för strukturellt murverk baserat på kritiskt plan. J. Ing. mekanik. 2002; 128(7): s. 769-79.
  24. ↑ Kawa M., Pietruszczak S., Shieh-Beygi B. Gränstillstånd för tegelmurverk baserat på homogeniseringsmetod. Int. J. Solids och Str., 2008; 45(3-4):.s.998-1016.
  25. ↑ Berto L, Scotta R, Vitaliani R. En ortotropisk skademodell för murverk. Inter J Numer Meth Engng, 2002; 55: sid. 127-57.
  26. ↑ Zucchini A. och Lourenço PB En mikromekanisk modell för homogenisering av murverk. Inter. J. Solid. och Structures, 2002, 39: s. 3233-3255.
  27. ↑ Milani G., Lourenço PB, Tralli A. Homogeniserad gränsanalys av murade väggar, datorer och strukturer, 2006; 84: Del I: Felytor: s.166-80, Del II: Strukturella exempel: s.181-95.
  28. ↑ S. G. Lekhnitsky. anisotropa plattor. M.- L. Gostekhizdat, 1947: 416 sid.

Litteratur