Skift matris

En skiftmatris (även en skiftmatris ) är en binär matris med ettor endast på den huvudsakliga superdiagonalen eller subdiagonalen och nollor på andra ställen. En skiftmatris U med enheter på superdiagonalen kallas en övre skiftmatris . Den motsvarande subdiagonala matrisen L kallas en lägre skiftmatris . Komponenterna i matriserna U och L med index ( i , j ) har formen

U_{ij}=\delta _{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1},

var är Kronecker deltasymbolen . $\delta _{{ij}}$

Till exempel en skift 5×5 -matris

U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\0}&0}&0}&0&0}&0}&0}&0} \\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.

Uppenbarligen resulterar transponering av en lägre skiftmatris i en övre skiftmatris och vice versa. Multiplikation från vänster om en godtycklig matris A med en matris med lägre skift leder till en förskjutning av elementen i matris A ned med en position, och den översta raden i den resulterande matrisen är fylld med nollor. Högermultiplicering av en godtycklig matris A med en matris med lägre skiftning resulterar i en förskjutning åt vänster med en position, och fyller den högra kolumnen med nollor. Liknande operationer som involverar den övre skiftmatrisen leder till motsatta skift.

Alla skiftmatriser är nilpotenta : skiftningen n×n matrisen S till makten lika med dess dimension n är lika med nollmatrisen .

Egenskaper

Låt L och U vara n×n skiftmatriser, nedre respektive övre. Följande egenskaper gäller för både matriserna U och L (så vi listar dem bara för U ):

Determinant det( U ) = 0 ( degeneration );
Spåra tr( U ) = 0;
Rank rank( U ) = n − 1
Det karakteristiska polynomet för matrisen U har formen:

p_{U}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}.

U n = 0 (nilpotens). Denna egenskap följer från den föregående av Hamilton-Cayleys sats .

Permanent per( U ) = 0.

Följande egenskaper visar hur U- och L -matriserna är relaterade:

L T \ u003d U ; U T = L .

Kärnor i matriserna U och L :

\operatörsnamn {ker} (U)=\operatörsnamn {span} \{(1,0,\ldots ,0)^{T}\},

\operatörsnamn {ker} (L)=\operatörsnamn {span} \{(0,\ldots ,0,1)^{T}\}.

Spektrum av matriser U och L är noll (det vill säga de har ett enda egenvärde, och det är lika med noll): . Den algebraiska multipliciteten för denna nolla är n , och dess geometriska multiplicitet är 1. Det följer av uttrycken för kärnorna att den enda (upp till skalning) egenvektorn för matrisen U har formen och den enda egenvektorn för matrisen L har form $\{0\}$ $(1,0,\ldots ,0)^{T},$ $(0,\ldots ,0,1)^{T}.$

För produkterna LU och UL har vi:

UL=I-\operatörsnamn {diag} (0,\ldots ,0,1),

LU=I-\operatörsnamn {diag} (1,0,\ldots ,0).

Båda dessa matriser är idempotenta , symmetriska och har samma rang som U och L.

L n − a U n − a + L a U a = U n − a L n − a + U a L a = I ( identitetsmatris ), för vilket heltal som helst a från 0 till n inklusive.

Exempel

S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix));\quad A={\begin{pmatrix}&1&21&3&2&1&21&1&2&1&21&2 1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.

Sedan: $SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix));\quad AS={\begin{pmatrix}&0&1&121\\02&1&12\\0 2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.$

Uppenbarligen finns det många olika permutationer. Till exempel motsvarar matrisen förskjutningen av matris A uppåt och till vänster längs huvuddiagonalen. $S^{T}AS$

S^{T}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix)).

Se även

Nilpotent matris

Länkar

Shift Matrix—post i Matrix Reference Manual