Lorentz-mått
Lorentz-metriken är en pseudo-euklidisk metrik av Minkowski-rummet, som naturligt uppstår i den speciella relativitetsteorin , och som ett trivialt specialfall, i den allmänna relativitetsteorin .
Det platta Minkowski-utrymmet med koordinater , som används i speciell relativitetsteori , har en metrisk tensor
Med här menar vi vanliga rektangulära kartesiska koordinater i lika skala, och med - tiden mätt i en given referensram - ljusets hastighet .
Denna tensor definierar intervallet
en analog invariant med avseende på Lorentz-transformationer och en generalisering av 3-dimensionellt avstånd i fysiskt rum till 4-dimensionellt rum-tid (i den sista formeln betyder två inte ett index, utan en grad).
För en kurva, där alla punkter hänvisar till samma tidpunkt, reduceras formeln för kurvans längd till den vanliga tredimensionella formen. För en tidsliknande kurva ger längdformeln rätt tid längs kurvan.
Minkowski-metriken är en pseudo-euklidisk metrik: som vi kan se är den inte positiv-definitiv, utan den är konstant (representerad av en koordinatoberoende matris i vanliga kartesiska koordinater) och beskriver således ett platt pseudo-euklidiskt utrymme .
Alla fysikens lagar (om vi lämnar gravitationen åt sidan ) skrivs på samma sätt i alla tröghetsreferensramar, medan Lorentz-metriken som just beskrivits är invariant för alla dessa referensramar, om naturliga fysiska mätmetoder används. Omräkningen av fysikaliska storheter (inklusive avstånd och vinklar) mellan olika referenssystem utförs av Lorentz-transformationer som bevarar invariansen av detta mått.
En viktig egenskap hos Minkowski-metriken är närvaron av en ljuskon som består av vektorer med noll längd och begränsar framtida och tidigare regioner i förhållande till en given händelse .
Anteckningar
- För Minkowski-metriken (Lorentzian-metriken) som beskrivs här, används den speciella notationen mycket ofta .
- Ibland tas Minkowski-metriken med motsatt tecken, det vill säga . Dessutom dök en sådan signatur historiskt upp först med Minkowski, som introducerade den genom att multiplicera med en imaginär enhet, dvs (då hade metriken formellt den vanliga euklidiska formen, det vill säga den skalära produkten beräknades helt enkelt genom att summera komponenternas produkter, men i verkligheten var det samma upp till ett tecken som beskrivs vid början av detta stycke).
Litteratur
- Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometri (metoder och tillämpningar), - Vilken utgåva som helst.
- Rashevsky P. K. Riemann geometri och tensoranalys, - Vilken utgåva som helst.
- Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Föreläsningar om klassisk differentialgeometri, Logos, Moskva, 2009.
- Herman Weil. Plats. Tid. Materia. Föreläsningar om den allmänna relativitetsteorin, - Vilken upplaga som helst.
- Dirac P. A. M. General Relativity Theory , - M .: Atomizdat , 1978.
- Fok V. A. Theory of space, time and gravitation , - M .: GIFML, 1961.