Axiom systemmodell
En axiomsystemmodell är vilket matematiskt objekt som helst som motsvarar ett givet axiomsystem . Sanningen i ett system av axiom kan endast bevisas genom att konstruera en modell inom ramen för ett annat system av axiom, som anses vara "sant". Dessutom låter modellen dig visuellt demonstrera några av funktionerna i denna axiomatiska teori .
Om axiomatiska teorier
En axiomatisk teori är konstruerad enligt följande: flera grundläggande objekt introduceras (i planimetri är dessa en punkt , en linje , ett plan , "hör till", "är mellan" och rörelse ). Dessa objekt får inga definitioner , men ett antal axiom postuleras , som förklarar egenskaperna hos dessa objekt.
Axiomatisk teori säger inte explicit om punkter, linjer och plan existerar. Därför är två alternativ möjliga:
- Två motsatta påståenden kommer att härledas från axiomsystemet. Ett sådant system kallas inkonsekvent – det betyder att punkter, linjer och plan inte existerar, vilket betyder att planimetri inte heller existerar.
- En viss matematisk konstruktion kommer att byggas (till exempel baserad på aritmetik ), inom vilken "punkter", "linjer" och "plan" kommer att definieras. Detta kommer att vara planimetrimodellen. Konstruktionen av modellen bekräftar att axiomsystemet är konsekvent.
(faktiskt är det andra sant för planimetri, se nedan.)
Exempel
En modell för formell logik inom ramen för boolesk algebra
- "Variables" är booleska variabler från uppsättningen {0,1}.
- Tecknen och är motsvarande booleska algebraoperationer.
Genom att ersätta alla möjliga A, B, C i axiomen ser vi till att alla axiom håller i denna modell. Sanningen om modus ponens testas på samma sätt .
Modell av planimetri inom ramen för aritmetik
"Point" är ett par reella tal .
"Linje" - alla punkter för vilka , där och inte är lika med 0 samtidigt.
"Plane" - alla möjliga par av reella tal .
Lobachevskys geometrimodell i termer av planimetri
Den mest intressanta modellen av Lobachevsky-geometrin är Poincaré-modellen. "Plan" är det inre av en cirkel , en "punkt" är en punkt och en "rak" är en rät linje eller en båge vinkelrät mot cirkeln. Vinklar betraktas som i Euklids geometri.
Den fysiska innebörden av modellen är följande. Låt ljusets hastighet i en rund "värld" ändras från c i mitten till noll vid kanterna enligt lagen (vilket innebär att brytningsindex blir 1 i mitten och vid kanterna). Då kommer ljuset att röra sig längs bågar vinkelräta mot gränsen, men kommer inte att nå gränsen på en begränsad tid. För invånarna kommer denna "värld" att verka oändlig, och de kommer att ta Lobatsjovskijs geometri om tro.
