Överbarriärreflektion

Överbarriärreflektion är en term som används inom kvantmekaniken för att beskriva fenomenet reflektion av en rörlig partikel från en potentiell barriär , vilket är omöjligt i klassisk fysik , vars maximala höjd är mindre än partikelns totala energi . Reflektionskoefficienten bestäms av barriärens form (i det endimensionella fallet ) och även av partikelns energi och massa. I detta fall är överföringskoefficienten mindre än ett. En liknande effekt uppstår när en partikel passerar över ett potentiellt steg eller kvantbrunn . ${\displaystyle U_{max))$ $E$ $U(x)$

Tillvägagångssätt till övervägande

Oavsett den potentiella profilen anses rörelsen hos en partikel med hjälp av den stationära Schrödinger-ekvationen . Det antas att partikeln rör sig från vänster till höger (längs axeln ), potentialen på ett stort avstånd till vänster om barriären är lika med noll, och till höger (eventuellt också lika med noll). I det här fallet är vågfunktionerna till vänster och höger om barriären plana vågor av formen: $U(x)$ $x$ $V_{0}$ $V_{0}$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,\,

(längst till vänster)

\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,\,

(Långt åt höger).

k_{1}={\sqrt {\frac {2m_{1}E}{\hbar ^{2))))

och är modulerna för vågvektorerna.

k_{2}={\sqrt {\frac {2m_{2}(E-V_{0})}{\hbar ^{2))))

Massan , generellt sett, kan skilja sig åt beroende på region, varför dess symbol är försedd med ett extra index; är Plancks konstant. $m$ $\hbar$

Om profilen innehåller skarpa hopp, måste villkoret för "sömnad" av vågfunktionen och sannolikhetsströmmar vara uppfyllda vid alla gränser ; det senare kräver att kontinuiteten i kvantiteten säkerställs . $U(x)$ $\psi$ $\psi ^{'}/m$

I processen att lösa Schrödinger-ekvationen bestäms okända konstanter och , med hjälp av vilka reflektions- och transmissionskoefficienterna återfinns: $r$ $t$

R=|r|^{2},\qquad T={\frac {k_{2}m_{1}}{m_{2}k_{1}}}|t|^{2}

Resultaten av denna övervägande för flera system presenteras nedan.

Exempel

Potentiellt energihopp

Problemet med övergången av en partikel, utan att ändra dess massa, till en region med en annan potentiell energi har följande lösning: $V_{0}=V$

r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1} +k_{2}}}

Reflexions- och transmissionskoefficienterna är

R=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V/E}}}{1+{\sqrt {1-V/E}}}}\right)^{2}, \quad T={\frac {4{\sqrt {1-V/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V/E}}\right)^{2}}}

Reflektionskoefficienten har ett ändligt värde, men när den närmar sig oändligheten tenderar den till noll. $E$

Rektangulär potentialbarriär

I fallet med en rektangulär barriär är potentialen på båda sidor noll (och ). Matchningsvillkoren verkar på två gränser: vid och . Vågvektorerna från vänster till höger och i barriären är $V_{0}=0$ $x=0$ $x=a$

k_{1}=k_{2}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2)))),\qquad k_{b}={\sqrt {\frac {2m(EV )}{\hbar ^{2}}}}}

Resultat för reflektion och transmissionskoefficienter:

R=1-T,\qquad T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{b}^{2})^{2)) {4k_{1}^{2}k_{b}^{2}}}\sin ^{2}{k_{b}a}}}

För reflektionskoefficienten är i allmänhet icke-noll. Men vid vissa energier beror det på nollställningen av sinus . $E>V$ $E$ $R=0$

Ändring av effektiv massa

I det här fallet beräknas koefficienterna och med formlerna: $r$ $t$

r={\frac {{\sqrt {m_{1))}-{\sqrt {m_{2))))({\sqrt {m_{1))}+{\sqrt {m_{2 }}}},\qquad t={\frac {2{\sqrt {m_{1}}}}{{\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}}}

Följaktligen kommer reflektions- och transmissionskoefficienterna att vara

R=\left({\frac {{\sqrt {m_{1}}}-{\sqrt {m_{2}}}}({\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt { m_{2))))}\höger)^{2},\qquad T={\frac {4{\sqrt {m_{1}m_{2)))){\left({\sqrt {m_{ 1}}}+{\sqrt {m_{2}}}\right)^{2}}}

Om de effektiva massorna är lika, finns det ingen reflektion.

Oändlig kvantbrunn

En deltaformad kvantbrunn är en potential av formen , där . $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$ $\lambda ={\mbox{const}}<0$

Notera: i närvaro av -funktionella egenskaper hos potentialen ändras villkoren för matchning av derivaten, som följer av kravet på nuvarande kontinuitet, något, se mer specifikt . $\delta$

Reflexions- och transmissionskoefficienterna för en sådan brunn är

R=|r|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2))))},\qquad T =|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}E}}}}

Det visar sig att reflektion av en partikel är möjlig när den rör sig ovanför brunnen med vilken energi som helst , även om sannolikheten för reflektion minskar med en ökning av energin. $E$

Praktisk relevans

Alla typer av strukturer som presenteras ovan påträffas eller kan skapas i praktiken. I tekniken för halvledarheterostrukturer är det möjligt att erhålla flerskiktssystem med olika material. Eftersom möjligheterna till varierande materialkombinationer är ganska breda är det ganska realistiskt att erhålla önskade barriärhöjder (från bråkdelar av eV till flera eV) och effektiva massvärden . Följaktligen kommer ledningsbandets profil att spela rollen som den potentiella profilen . $U(x)$ $E_{c}(x)$

Litteratur

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantmekanik (icke-relativistisk teori). — Upplaga 4. — M .: Nauka , 1989 . — 768 sid. - ("Teoretisk fysik", volym III). - ISBN 5-02-014421-5 .
Flygge Z. Problem inom kvantmekanik. - Förlag LKI, 2008. - T. 1.