Deltapotential inom kvantmekanik

Deltapotential i kvantmekanik är det allmänna namnet för de potentiella energiprofilerna för en partikel, som ges av uttryck med Dirac delta-funktionen . Sådana profiler modellerar den fysiska situationen när det finns mycket smala och skarpa maxima eller minima av potentialen.

Enkla exempel på sådana profiler är en deltaformad tunnelbarriär och en deltaformad kvantbrunn av formen Frågan ställs om transmissionskoefficienten för en partikel, samt om existensen och energierna av bundna tillstånd. $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$ $\lambda$ $\cdot$ $\cdot$ $x$ $m$

I de flesta fall, när man överväger beteendet hos en partikel, söker man en lösning på den endimensionella stationära Schrödinger-ekvationen med motsvarande potential. Man brukar anta att partikeln bara rör sig längs riktningen och att det inte finns någon rörelse i det vinkelräta planet . $x$ $yz$

Ett tillvägagångssätt för att lösa Schrödinger-ekvationen

Den stationära endimensionella Schrödinger-ekvationen för vågfunktionen har formen $\psi(x)$

{\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 }}}+U(x)\höger]\psi (x)=E\psi (x)

där är Hamiltonian , är Plancks konstant , är partikelns totala energi och . Efter att ha integrerat denna ekvation över en smal sektion nära noll ${\hat {H}}$ $\hbar$ $E$ $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }U(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi (x)\,dx,\quad \epsilon \rightarrow 0

lyckas

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)\ \right)+{\ frac {\lambda }{m}}\psi (0)=0

Stora ikoner och indikerar områden till vänster och höger om barriären eller gropen (från engelska vänster, höger ). Vid punkten måste villkoret för kontinuitet för vågfunktionen vara uppfyllt $_{L}$ $_{R}$ $x=0$

\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)

och kontinuitetsvillkoret för sannolikhetsflödestätheten

{\frac {d\psi _{L}}{dx}}(0)={\frac {d\psi _{R}}{dx}}(0)-{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}(0)

Dessa två villkor är relevanta oavsett om vi talar om en deltaformad barriär eller en brunn, och även (för en brunn) om energivärdet är större eller mindre än noll (för en barriär är alternativet omöjligt). $E$ $E<0$

Transmissions- och reflektionskoefficienter

I det här avsnittet antar vi att , och betraktar passagen av en partikel genom en barriär eller över en brunn. $E>0$

En barriär eller grop delar utrymmet i två delar ( ). I båda dessa områden är lösningen på Schrödinger-ekvationen plana vågor och kan skrivas som deras superposition : $x<0,\,\,x>0$

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0

var är vågvektorn . Små index och vid koefficienterna och indikerar riktningen för vågvektorn till höger och till vänster. Sambandet mellan dessa koefficienter kan hittas från villkoren för och vid skrivet ut i slutet av föregående avsnitt: $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $r$ $l$ $A$ $B$ $\psi$ $\psi'$ $x=0$

{\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l))

ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\dfrac {2\lambda }{\hbar ^{2))}\left(B_{r }+B_{l}\right)

Låt den infallande partikeln närma sig barriären från vänster ( och ), då har koefficienterna och , som bestämmer sannolikheten för reflektion respektive passage, formen: $A_{r}=1$ $B_{l}=0$ $A_{l}=r$ $B_{r}=t$

t={\frac {1}{{\frac {i\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1)),\qquad r={\frac {1}{{\frac { i\hbar ^{2}k}{\lambda }}-1}}

I det klassiska fallet kan en partikel med ändlig energi inte övervinna den oändliga potentialbarriären, och den kommer garanterat att passera över brunnen. Med kvantmetoden är situationen annorlunda: transmissions- och reflektionskoefficienterna är det $E>0$

T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2)){\hbar ^{4}k^{2))))}= {\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}E}}}}

{\displaystyle R=|r|^{2}=1-T={\frac {1}{1+{\frac {\hbar ^{4}k^{2}}{\lambda ^{2}} ))}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2))))))))

Det finns tre oväntade, ur klassisk synvinkel, resultat på en gång. För det första finns det en sannolikhet för att passera inte noll (överföringskoefficient ) för en oändligt hög barriär. För det andra, eftersom formeln är ganska tillämplig på negativ , är sannolikheten för övergångspassage annorlunda än enhet. För det tredje ändras inte värdet när tecknet ändras , det vill säga sannolikheten för att tunnla en partikel med energi genom barriären och passera genom brunnen ovanför brunnen är lika många. $\lambda$ $T$ $\lambda$ $E$

Diskret tillstånd i en deltaformad brunn

I detta avsnitt antas det att , och endast brunnen ( ) beaktas, nämligen energin för det diskreta tillståndet för partikeln i den bestäms. $E<0$ $\lambda <0$

I båda regionerna kan lösningen av Schrödinger-ekvationen, som ovan, skrivas som en summa av exponentialer

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0

var . Men nu är det ett imaginärt värde, och därför bör endast de exponenter som förfaller, inte ökar, med plus och minus oändlighet lämnas i posten: $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $k$

\psi _{L}(x)=A_{l}e^{-ikx}=A_{l}e^{|k|x},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}=B_{r}e^{-|k|x},\quad x>0

Av villkoren för och vid följer och, redan med beaktande av detta krav, . Härifrån $\psi$ $\psi'$ $x=0$ ${\displaystyle A_{l}=B_{r))$ ${\displaystyle |k|=-\lambda /\hbar ^{2))$

E_{level}=-{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}}}

det vill säga i en deltaformad brunn finns det exakt en nivå med den skrivna energin.

Deltamodellens praktiska relevans

Situationen för tunnling genom en deltapotential är det begränsande fallet av tunnling genom en rektangulär barriär av bredd och höjd , där tendensen till noll och k uppstår på ett sådant sätt att produkten är konstant och lika med någon konstant . $a$ $V$ $a$ $V$ $+\infty$ $V\cdot a$ $g=\lambda /m$

Problemet med att tunnla genom en deltaliknande barriär är ett standardmodellproblem inom kvantmekaniken. Det uppstår till exempel när man beskriver strömöverföringen mellan två ledande regioner, vid vars förbindelse en tunn oxidfilm spontant bildas. Om filmtjockleken och dess kemiska sammansättning är ungefär känd kan en rektangulär eller trapetsformad barriärmodell användas. Men i vissa fall är den enda utvägen att använda deltapotentialmodellen.

På samma sätt med deltabrunnsproblemet: modellen kan användas som en grov approximation. Värdet fungerar som en passningsparameter för både barriären och brunnen. $\lambda$

Litteratur

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantmekanik (icke-relativistisk teori). — Upplaga 4. — M .: Nauka , 1989 . — 768 sid. - ("Teoretisk fysik", volym III). - ISBN 5-02-014421-5 .

Modeller av kvantmekanik
Endimensionell utan snurr	fri partikel Grop med ändlösa väggar Rektangulär kvantbrunn deltapotential Triangulär kvantbrunn Harmonisk oscillator Potentiell språngbräda Pöschl-Teller potential väl Modifierad Pöschl-Teller potentialbrunn Partikel i en periodisk potential Dirac potentialkam Partikel i ringen
Flerdimensionell utan snurr	cirkulär oscillator Vätemolekyljon Symmetrisk topp Sfäriskt symmetriska potentialer Woods-Saxon potential Keplers problem Yukawa potential Morsepotential Hulthen potential Kratzers molekylära potential Exponentiell potential
Inklusive spinn	väteatom Hydridjon heliumatom