Endimensionell stationär Schrödinger-ekvation

Den endimensionella stationära Schrödinger -ekvationen är en andra ordningens linjär ordinarie differentialekvation av formen

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+U(x)\psi ( x)=E\psi (x),\qquad (1)

där är Plancks konstant , är partikelns massa, är den potentiella energin, är den totala energin, är vågfunktionen . För en fullständig redogörelse för problemet med att hitta en lösning är det också nödvändigt att ställa in gränsvillkoren , som presenteras i en allmän form för intervallet $\hbar$ $m$ $U(x)$ $E$ $\psi(x)$ $(1)$ $[a,b]$

\alpha _{1}\psi (a)+\beta _{1}{\frac {d\psi (a)}{dx))=\gamma _{1},\qquad (2)

\alpha _{2}\psi (b)+\beta _{2}{\frac {d\psi (b)}{dx))=\gamma _{2},\qquad (3)

var finns konstanter. Kvantmekaniken överväger lösningar av en ekvation med randvillkor och . ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\beta _{1},\beta _{2},\gamma _{1},\gamma _{2))$ $(1)$ $(2)$ $(3)$

Allmänna egenskaper

Baserat på den fysiska betydelsen måste vågfunktionen vara en envärdig och kontinuerlig funktion av dess koordinater. Normaliseringsvillkoret kommer från att tolka kvadraten på vågfunktionen som en sannolikhet .

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=1.\qquad (0a)

Av detta följer i synnerhet att vågfunktionen måste avta tillräckligt snabbt som en funktion av x. I det endimensionella fallet, om vågfunktionen är vid , då exponenten i enlighet med uttrycket ${\displaystyle \psi (x)\sim 1/x^{\alpha ))$ $x\longrightarrow +\infty$

\int ^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=\int ^{+\infty }1/x^{2\alpha }dx=1/x^{2\ alpha -1}\mid ^{+\infty }\longrightarrow 0,\qquad (0b)

måste tillfredsställa ojämlikheten $\alpha >1/2.$

Integration av ekvationen i en liten omgivning av punkten a ger ytterligare villkor för derivatan av vågfunktionen $(1)$

\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2))}dx={\frac {2m}{ \hbar ^{2}}}\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }(U(x)-E)\psi (x)dx,\qquad (0c)

varav det följer i gränsen $\varepsilon \longrightarrow 0$

\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\ höger|_{a-0}=0,\qquad(0d)

om den potentiella energin har diskontinuiteter av det första slaget (ändliga hopp) i punkten a. Om det vid punkt a finns en diskontinuitet av det andra slaget , till exempel, beskrivs den potentiella energin av deltafunktionen ( ), då tar tillståndet formen $U(x)=-G\delta(xa)$ $(0c)$

\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\ höger|_{a-0}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(-G)\psi (a).\qquad (0e)

Om energispektrumet är icke-degenererat, så finns det bara en vågfunktion som är en lösning på Schrödinger-ekvationen för en given energi, och den definieras upp till fas. I det fall då potentialen är symmetrisk kommer vågfunktionerna att vara antingen jämna eller udda, och pariteten för vågfunktionerna växlar.

Exakta analytiska lösningar

I den allmänna formen finns det ingen lösning på ekvationen , med randvillkor och , men med ett visst val av potentiell energi kan exakta lösningar hittas. De spelar en viktig roll i konstruktionen av analytiska ungefärliga lösningar av ekvationen . $(1)$ $(2)$ $(3)$ $(1)$

Lösningen för en fri partikel är plana vågor

I det fria rummet, där det inte finns några potentialer, tar ekvationen en särskilt enkel form $(1)$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}=E\psi (x). \qquad(4)

För denna ekvation är lösningen superpositionen av plana vågor

\psi (x)=C_{1}e^{i{\sqrt {2mE}}x/\hbar}+C_{2}e^{-i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }.\qquad(5)

Här kan energin anta alla värden över noll, så egenvärdet sägs tillhöra det kontinuerliga spektrumet . Konstanterna och bestäms utifrån normaliseringsvillkoret . $E$ $C_{1}$ $C_{2}$

Lösning för en partikel i en endimensionell potentialbrunn med oändligt höga väggar

Om en partikel placeras i en potentiell brunn, blir det kontinuerliga energispektrumet diskret . För en ekvation med potentiell energi , som är noll i intervallet och blir oändlig vid punkterna och . På detta intervall sammanfaller Schrödinger-ekvationen med . Randvillkor , för vågfunktionen skrivs i formen $(1)$ $U(x)$ $(0,a)$ $0$ $a$ $(4)$ $(2)$ $(3)$

\psi (0)=0,\qquad (6)

\psi (a)=0.\qquad (7)

Söker lösningar i formuläret . Med hänsyn till randvillkoren får vi för energiegenvärdena ${\displaystyle A\sin {({\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}x+\delta )))$ $E_{n}$

E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n^{2}\qquad (8)

och egenfunktioner, med hänsyn tagen till normaliseringen

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {{\frac {\pi n}{a}}x}.\qquad (9)

Numeriska lösningar

En något komplex potential i ekvationen tillåter inte längre att hitta en analytisk lösning (eller snarare, den här lösningen kan bara hittas för problemet med en partikel som rör sig i en annans fält), och därför krävs det att man använder numeriska metoder för att lösa problemet. Schrödinger ekvation. En av de enklaste och mest tillgängliga av dessa är den ändliga differensmetoden , där ekvationen ersätts av en ändlig differensekvation på ett valt rutnät med noder vid punkterna , nämligen genom att ersätta andraderivatan med formeln $(1)$ $(1)$ $x_{n}$

{\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}={\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{ h^{2}}},\qquad(10)

var är diskretiseringssteget , är rutnätsnodens nummer, får vi $h$ $n$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{h^{2}}} +U_{n}y_{n}=Ey_{n},\qquad(11)

var är värdet på den potentiella energin vid nätnoderna. Låt någon karakteristisk skala av potentialen, då kan ekvationen skrivas i en dimensionslös form $Fn}$ $U(x)$ $a$ $(11)$

-y_{n-1}+(2+h^{2}{\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}})y_{n}-y_{ n+1}=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2}}}y_{n}.\qquad (12)

Om vi betecknar de dimensionslösa värdena för den potentiella energin och egenvärdena kommer ekvationen att förenklas $v_{n}={\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}}$ ${\displaystyle e=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2))))$ $(12)$

-y_{n-1}+(2+h^{2}v_{n}-e)y_{n}-y_{n+1}=0.\qquad (13)

Det sista uttrycket ska förstås som ett ekvationssystem för alla möjliga index . $n$

Litteratur

Boum A. Kvantmekanik: grunder och tillämpningar. M. Mir, 1990. - 720-tal. ISBN 5-03-001311-3
Berezin F. A., Shubin M. A. Schrödinger ekvation. Moscow State Universitys förlag, 1983.
Kalitkin N. N. Numeriska metoder. M., Nauka, 1978.

Se även

Grop med ändlösa väggar

Modeller av kvantmekanik
Endimensionell utan snurr	fri partikel Grop med ändlösa väggar Rektangulär kvantbrunn deltapotential Triangulär kvantbrunn Harmonisk oscillator Potentiell språngbräda Pöschl-Teller potential väl Modifierad Pöschl-Teller potentialbrunn Partikel i en periodisk potential Dirac potentialkam Partikel i ringen
Flerdimensionell utan snurr	cirkulär oscillator Vätemolekyljon Symmetrisk topp Sfäriskt symmetriska potentialer Woods-Saxon potential Keplers problem Yukawa potential Morsepotential Hulthen potential Kratzers molekylära potential Exponentiell potential
Inklusive spinn	väteatom Hydridjon heliumatom