Potentiell språngbräda

Ett potentiellt steg är en profil av den potentiella energin hos en partikel som kännetecknas av en skarp övergång från ett (för enkelhets skull) värde till ett annat ( ). Sådana profiler analyseras i kvantmekanik , och transmissionskoefficienten för en partikel med total energi visar sig vara annorlunda än enhet . $U$ $V_{0}$ ${\displaystyle E>V_{0))$

Den enklaste potentiella profilen av denna typ är ett hopp:

U(x)=0

kl och kl .

x<0\quad

{\displaystyle \quad U(x)=V_{0))

x>0

För att ta hänsyn till viss suddighet i övergången används uttrycket

U(x)={\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right),\,a= {\mbox{const}}>0

simulerar monoton ökning från 0 till med . $-\infty$ $V_{0}$ $+\infty$

Ett potentiellt steg kan till exempel bildas av koordinatberoendet av energin i botten av ledningsbandet i en halvledarheterostruktur när , på grund av skillnaden i elektronaffinitet för två material, ett ganska skarpt hopp inträffar vid deras korsning . $U(x)=E_{c}(x)$ $E_{c}$

Hoppa steg modell

Den stationära Schrödinger-ekvationen för ett hopppotentialsteg har formen:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+V_{0}\Psi (x)=E\Psi (x)

för ,

x>0

och samma utan termen med för . Här är partikelns massa, är den reducerade Planck-konstanten och är partikelns vågfunktion . Det antas att partikeln rör sig mot positiv . Vidare hänvisar alla tecken med siffran 1 till området , och med siffran 2 - till . $V_{0}$ $x<0$ $m$ $\hbar$ $\psi$ $x$ $x<0$ $x>0$

Om vi antar att , skriver vi vågfunktionen för regionerna 1 ( ) och 2 ( ) som ${\displaystyle E>V_{0))$ $\Psi =\psi _{1}$ $\Psi =\psi _{2}$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0)

\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,(x>0)

var

k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2)))),\qquad k_{2}={\sqrt {\frac {2m(E-V_{0} )}{\hbar ^{2}}}}}

Från kravet på kontinuitet för vågfunktionen och dess derivata vid en punkt får vi $x=0$

1+r=t

{\displaystyle i\hbar k_{1}-ir\hbar k_{1}=it\hbar k_{2))

vad ger

r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1} +k_{2}}}

Som ett resultat har vi koefficienterna för reflektion ( överbarriärreflektion ) och transmission:

R=|r|^{2}=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V_{0}/E))}{1+{\sqrt {1-V_{0} /E))))\right)^{2},\qquad T={\frac {k_{2}}{k_{1}}}|t|^{2}={\frac {4{\sqrt {1-V_{0}/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V_{0}/E}}\right)^{2}}}

Detta resultat skiljer sig fundamentalt från det klassiska : i klassisk mekanik finns det ingen reflektion i detta fall, utan oavsett . $T=1$ $E$

Suddig stegmodell

Den stationära Schrödinger-ekvationen för ett suddigt potentialsteg (graden av oskärpa ställs in av parametern : ju mindre den är, desto närmare är potentialen en hoppande) skrivs: $a$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th } {\frac {x}{2a}}\right)\Psi (x)=E\Psi (x)

Om vi betecknar och , kommer det att ha formen ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$ ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2mV_{0}a^{2}/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}-{\frac {\lambda ^{2}}{2a^{2}}}\left(1+\mathrm {th} { \frac {x}{2a}}\right)\right)\Psi (x)=E\Psi (x).

Om vi gör en förändring av variabel

y={\frac {1}{1+e^{\frac {x}{a)))),

sedan, med hänsyn till notationen , reduceras till formen: $\varkappa =ka$

y(1-y)\Psi ''(y)+(1-2y)\Psi '(y)+\left({\frac {\varkappa ^{2}}{y(1-y) }}-{\frac {\lambda ^{2}}{y}}\right)\Psi (y)=0.

Eftersom punkterna och är singulära punkter i denna ekvation, är det naturligt att leta efter en lösning i formen: $y=0$ $y=1$

\Psi (y)=y^{\nu }(1-y)^{\mu }f(y).

Om vi väljer och , kommer ekvationen att reduceras till den Gaussiska hypergeometriska ekvationen: ${\displaystyle \nu ={\sqrt {\lambda ^{2}-\varkappa ^{2))))$ $\mu =i\varkappa$

y(1-y)f''(y)+\left((2\nu +1)-(2\mu +2\nu +2)\right)f'(y)-(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)f(y)=0.

Att välja lösningar med rätt asymptotik får vi

f(y)=C\;_{2}F_{1}(\mu +\nu ,\mu +\nu +1;2\nu +1;y)

Då kan du få reflektion och transmissionskoefficienter. I fall : $E<V_{0}$

R=1,\qquad T=0.

Således observeras total reflektion. Om man tar hänsyn till beteckningen : ${\displaystyle E>V_{0))$ $\sigma =i\nu$

R=\left({\frac {\mathrm {sh} \pi (\varkappa -\sigma )}{\mathrm {sh} \pi (\varkappa +\sigma )))\right)^{2 }

I gränsen $a\högerpil 0$

R=\left({\frac {\varkappa -\sigma }{\varkappa +\sigma }}\right)^{2}

vilket är detsamma som resultatet av föregående avsnitt om vi återgår till de ursprungliga variablerna.

Litteratur

Z. Flügge. Problem inom kvantmekaniken. - Förlag LKI, 2008. - T. 1.

Modeller av kvantmekanik
Endimensionell utan snurr	fri partikel Grop med ändlösa väggar Rektangulär kvantbrunn deltapotential Triangulär kvantbrunn Harmonisk oscillator Potentiell språngbräda Pöschl-Teller potential väl Modifierad Pöschl-Teller potentialbrunn Partikel i en periodisk potential Dirac potentialkam Partikel i ringen
Flerdimensionell utan snurr	cirkulär oscillator Vätemolekyljon Symmetrisk topp Sfäriskt symmetriska potentialer Woods-Saxon potential Keplers problem Yukawa potential Morsepotential Hulthen potential Kratzers molekylära potential Exponentiell potential
Inklusive spinn	väteatom Hydridjon heliumatom