Kvantbrunn med oändliga väggar

Kvantbrunn med oändliga väggar (oändlig rektangulär potentialbrunn) - ett område av rymden med en storlek i storleksordningen de Broglie-våglängden för partikeln i fråga (åtminstone i en riktning), utanför vilken den potentiella energin är oändlig. Ibland kallas detta område för en "låda" ( eng. partikel i en låda ). $U$

För att demonstrera huvuddragen i beteendet hos en partikel i en brunn är sådana potentiella energiprofiler praktiska där rörelsen sker oberoende längs tre kartesiska koordinater och variablerna i Schrödinger-ekvationen separeras . Ofta analyseras ett rektangulärt område i alla dimensioner (rektangulär "låda"), och den potentiella energin i den antas vara noll.

System med begränsning av partikelrörelse längs en koordinat ( brunnen själv ), längs två koordinater ( kvanttråd ), eller längs tre koordinater ( kvantpunkt ) kan övervägas. När den är begränsad längs en koordinat är "lådan" ett planparallellt lager, och oändlighetsinversionen reflekteras matematiskt i gränsvillkoren, förutsatt att vågfunktionerna är lika med noll i ändarna av motsvarande segment. När de begränsas av flera koordinater sätts Dirichlets gränsvillkor på gränserna. $U$

Endimensionell potentialbrunn med oändliga väggar

Potentialen hos en endimensionell potentialbrunn med oändliga väggar har formen

U(x)={\begin{cases}0,&x\in (-{\frac {a}{2)),{\frac {a}{2))),\\\infty ,&x \notin (-{\frac {a}{2}},{\frac {a}{2}})\end{cases}}

Den stationära Schrödinger-ekvationen på intervallet $\left(-{\frac {a}{2}},{\frac {a}{2}}\right)$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)=E\Psi (x).

Med tanke på notationen kommer den att ha formen: ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+k^{2}\Psi (x)=0.

Det är bekvämt att representera den allmänna lösningen som ett linjärt spann av jämna och udda funktioner:

\Psi (x)=C^{+}\cos kx+C^{-}\sin kx.

Gränsvärdena har formen:

\Psi \left(-{\frac {a}{2}}\right)=\Psi \left({\frac {a}{2}}\right)=0.

De leder till ett homogent system av linjära ekvationer:

{\begin{cases}C^{+}\cos {\frac {ka}{2}}+C^{-}\sin {\frac {ka}{2}}=0,\\C ^{+}\cos {\frac {ka}{2}}-C^{-}\sin {\frac {ka}{2}}=0,\end{cases}}

som har icke-triviala lösningar förutsatt att dess determinant är lika med noll :

-2\cos {\frac {ka}{2}}\sin {\frac {ka}{2}}=0,

som efter trigonometriska transformationer tar formen:

\sinka=0.

Rötterna till denna ekvation är

k_{n}={\frac {\pi n}{a)),\qquad n\in \mathbb {Z} _{+}.

När vi ersätter systemet har vi:

C_{n}^{-}=0,\qquad n=2n_{0}+1,\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},

C_{n}^{+}=0,\qquad n=2n_{0},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+}.

Sålunda delas lösningarna in i två serier - jämna och udda lösningar:

\Psi _{n_{0}}^{+}(x)=C_{2n_{0}+1}^{+}\cos {\frac {(2n_{0}+1)\pi x }{a}},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},

\Psi _{n_{0}}^{-}(x)=C_{2n_{0}}^{-}\sin {\frac {2n_{0}\pi x}{a}}, \qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+}.

Att lösningarna är uppdelade i jämna och udda beror på att själva potentialen är en jämn funktion. Med hänsyn till normaliseringen

\int \limits _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\left(\Psi _{n_{0}}^{\pm }( x)\right)^{2}dx=1,

vi får den explicita formen av normaliseringsfaktorerna:

C_{2n_{0}+1}^{+}=C_{2n_{0}}^{-}={\sqrt {\frac {2}{a}}}.

Som ett resultat får vi egenfunktionerna för Hamiltonian :

\Psi _{n_{0}}^{+}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\cos {\frac {(2n_{0}+1)\pi x}{a}},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},

\Psi _{n_{0}}^{-}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {\frac {2n_{0}\pi x}{a }},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},

med motsvarande energispektrum:

E_{n_{0}}^{+}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}(2n_{0}+1)^{2}}{2ma^{2} }}

E_{n_{0}}^{-}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}(2n_{0})^{2}}{2ma^{2}}}

Litteratur

Bohm D. Kvantteori. - Science, Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, 1965.
Flygge Z. Problem inom kvantmekanik. - Förlag LKI, 2008. - T. 1.

Modeller av kvantmekanik
Endimensionell utan snurr	fri partikel Grop med ändlösa väggar Rektangulär kvantbrunn deltapotential Triangulär kvantbrunn Harmonisk oscillator Potentiell språngbräda Pöschl-Teller potential väl Modifierad Pöschl-Teller potentialbrunn Partikel i en periodisk potential Dirac potentialkam Partikel i ringen
Flerdimensionell utan snurr	cirkulär oscillator Vätemolekyljon Symmetrisk topp Sfäriskt symmetriska potentialer Woods-Saxon potential Keplers problem Yukawa potential Morsepotential Hulthen potential Kratzers molekylära potential Exponentiell potential
Inklusive spinn	väteatom Hydridjon heliumatom