Naturlig logaritm 2

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 juli 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Den naturliga logaritmen av 2 i decimalnotation (sekvens A002162 i OEIS ) är ungefär

\ln 2\approx 0{,}693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458\,176\,568\,075\ ,500\,134\,360\,255\,254\,120\,680\,009\,493\,393\,621\,969\,694\,715\,605\,863\,326 \,996\,418\,687

som visas av den första raden i tabellen nedan. Logaritmen för talet 2 med en annan bas ( b ) kan beräknas från relationen

\log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b)).

Decimallogaritmen för talet 2 ( A007524 ) är ungefär lika med

\log _{10}2\approx 0{,}301\,029\,995\,663\,981\,195\,213\,738\,894\,724\,493\,026 \,768\,189\,881\,462\,108\,541\,310\,427\,461\,127\,108\,189\,274\,424\,509\,486\, 927\,252\,118\,186\,172\,040\,684

Den reciproka av det givna talet är den binära logaritmen av 10:

\log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3{,}32\,192\,809\,488\,736\,234\ ,787\,031\,942\,948\,939\,017\,586\,483\,139\,302\,458\,061\,205\,475\,639\,581\,593 \,477\,660\,862\,521\,585\,013\,974\,335\,937\,015

( A020862 ).

siffra	Ungefärligt värde för den naturliga logaritmen	OEIS
2	0,693147180559945309417232121458	sekvens A002162 i OEIS
3	1,09861228866810969139524523692	sekvens A002391 i OEIS
fyra	1,38629436111989061883446424292	sekvens A016627 i OEIS
5	1,60943791243410037460075933323	sekvens A016628 i OEIS
6	1,79175946922805500081247735838	sekvens A016629 i OEIS
7	1,94591014905531330510535274344	sekvens A016630 i OEIS
åtta	2,07944154167983592825169636437	sekvens A016631 i OEIS
9	2,19722457733621938279049047384	sekvens A016632 i OEIS
tio	2,30258509299404568401799145468	sekvens A002392 i OEIS

Enligt Lindemann-Weierstrass teorem är den naturliga logaritmen för alla naturliga tal annat än 0 och 1 (i allmänhet för alla positiva algebraiska tal utom 1) ett transcendentalt tal .

Det är inte känt om ln 2 är ett normalt tal .

Radrepresentation

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.

( Mercator-serien )

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)))=\ln 2.

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)))=2\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)))=2\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)))=\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)))=2\ln 2-{\ tfrac {3}{2}}.

\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n))}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\tfrac {1} {2}}.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2 }{2}}.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n}(2n+1)))\zeta (2n)={\frac {1-\ln 2 }{2}}.

\ln 2=\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n))=\operatörsnamn {Li} _{1}\left({\ frac {1}{2}}\right).

( Polylogaritm )

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n))}+{\frac {1}{4^{n} }}\right){\frac {1}{n}}.

\ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{2k}} +{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16 ^{k}}}.

\ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{9^{k}(2k+1))).

\ln 2=\summa _{k\geq 0}\left({\frac {14}{31^{2k+1}(2k+1)))+{\frac {6}{161^ {2k+1}(2k+1)}}+{\frac {10}{49^{2k+1}(2k+1)))\right).

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n)).

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}- 4n}}.

(här betecknar γ Euler-Mascheroni-konstanten , ζ är Riemanns zeta-funktion ).

Ibland inkluderar denna kategori av formler Bailey-Borwain-Pluff-formeln :

{\begin{aligned}\ln 2&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 2^{2}}}+{\frac {1}{3 \cdot 2^{3}}}+{\frac {1}{4\cdot 2^{4}}}+{\frac {1}{5\cdot 2^{5}}}+\cdots \\ &=\summa _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}\cdot k))={\frac {1}{2))\summa _{k=0 }^{\infty }\left[{\frac {1}{2^{k}}}\left({\frac {1}{k+1}}\right)\right]\\&={\ frac {1}{2}}P{\big (}1,2,1,(1){\big )}.\end{aligned}}

Representation som integraler

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\ln 2,{\text{ eller motsvarande }}\int _{1}^{2} {\ frac {dx}{x}}=\ln 2.

\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x^{2})(1+x)^{2))}={\frac {1-\ln 2}{4}}.

\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+e^{nx))}={\frac {\ln 2}{n));\int _{0} ^{\infty }{\frac {dx}{3+e^{nx}}}={\frac {2\ln 2}{3n}}.

\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {2}{e^{2x}-1}}\,dx =\ln 2.

\int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2.

\int _{0}^{1}\ln \left({\frac {x^{2}-1}{x\ln x}}\right)dx=-1+\ln 2+\ gamma .

\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\operatörsnamn {tg} x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}} \operatörsnamn {tg} x\,dx=\ln 2.

\int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{\frac {\pi }{4}}\ln \left(\sin x+\cos x\right)\,dx= -{\frac {\pi \ln 2}{4)).

\int _{0}^{1}x^{2}\ln(1+x)\,dx={\frac {2\ln 2}{3}}-{\frac {5}{ arton}}.

\int _{0}^{1}x\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {1}{4}}-\ln 2.

\int _{0}^{1}x^{3}\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {13}{96}}-{\frac {2\ln 2}{3}}.

\int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{(1+x)^{2))}\,dx=-\ln 2.

\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)-x}{x^{2))}\,dx=1-2\ln 2.

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)))=\ln 2.

\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \left(\ln x\right)}{x^{3))}\,dx=-{\frac {\gamma + \ln 2}{2}}.

Andra former av nummerrepresentation

Peirce-expansionen har formen ( A091846 )

\ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .

Engel nedbrytning ( A059180 ):

\ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{ \frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .

Expansionen i form av cotangenter har formen A081785

\ln 2=\operatörsnamn {ctg} ({\operatörsnamn {arcctg} 0-\operatörsnamn {arcctg} 1+\operatörsnamn {arcctg} 5-\operatörsnamn {arcctg} 55+\operatörsnamn {arcctg} 14187-\ cdots}).

Representation som en oändlig summa av bråk [1] (teckenväxlande övertonsserie ):

\ln 2=1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5 }}-\cdots .

Det är också möjligt att representera den naturliga logaritmen av 2 som en Taylor-serieexpansion :

${\textstyle \quad \ln 2={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{12}}+{\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{56 ))+{\tfrac {1}{90}}+\cdots }$

Representation som en generaliserad fortsatt fraktion : [2]

\ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{ 5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddotter )))))))))))))))))))) ={\ cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ ddots }} }}}}}}

Beräkna andra logaritmer

Om värdet på ln 2 är känt kan du, för att beräkna logaritmerna för andra naturliga tal, tabulera logaritmerna för primtal och sedan bestämma logaritmerna för blandade tal c baserat på nedbrytningen till primtalsfaktorer:

c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln c=i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5+l\ ln 7+\cdots

Tabellen visar logaritmerna för vissa primtal.

primtal	Ungefärligt värde för den naturliga logaritmen	OEIS
elva	2,39789527279837054406194357797	sekvens A016634 i OEIS
13	2,56494935746153673605348744157	sekvens A016636 i OEIS
17	2,83321334405621608024953461787	sekvens A016640 i OEIS
19	2,94443897916644046000902743189	sekvens A016642 i OEIS
23	3.13549421592914969080675283181	sekvens A016646 i OEIS
29	3,36729582998647402718327203236	sekvens A016652 i OEIS
31	3,43398720448514624592916432454	sekvens A016654 i OEIS
37	3,610917912644224444436809567103	sekvens A016660 i OEIS
41	3,71357206670430780386676337304	sekvens A016664 i OEIS
43	3,76120011569356242347284251335	sekvens A016666 i OEIS
47	3,85014760171005858682095066977	sekvens A016670 i OEIS
53	3,97029191355212183414446913903	sekvens A016676 i OEIS
59	4,077537444390571945061605037372	sekvens A016682 i OEIS
61	4.11087386417331124875138910343	sekvens A016684 i OEIS
67	4,20469261939096605967007199636	sekvens A016690 i OEIS
71	4,26267987704131542132945453251	sekvens A016694 i OEIS
73	4.29045944114839112909210885744	sekvens A016696 i OEIS
79	4,36944785246702149417294554148	sekvens A016702 i OEIS
83	4,41884060779659792347547222329	sekvens A016706 i OEIS
89	4.48863636973213983831781554067	sekvens A016712 i OEIS
97	4,57471097850338282211672162170	sekvens A016720 i OEIS

I det tredje steget beräknas logaritmerna för rationella tal r = a / b som ln r = ln a − ln b , rötternas logaritmer: ln n √ c = 1/ n ln c .

Logaritmen av 2 är användbar i den meningen att potenserna av 2 är ganska tätt fördelade: att hitta en potens av 2 i som är nära potensen av b j av ett annat tal b är relativt lätt.

Kända värden

Detta är en tabell över de senaste posterna för beräkning av siffror . Från och med december 2018 har den beräknat fler siffror än någon annan naturlig logaritm [3] [4] av ett naturligt tal förutom 1. $\ln(2)$

datumet	Antal signifikanta siffror	Beräkningsförfattare
7 januari 2009	15 500 000 000	A.Yee & R.Chan
4 februari 2009	31 026 000 000	A.Yee & R.Chan
21 februari 2011	50 000 000 050	Alexander Yee
14 maj 2011	100 000 000 000	Shigeru Kondo
28 februari 2014	200 000 000 050	Shigeru Kondo
12 juli 2015	250 000 000 000	Ron Watkins
30 januari 2016	350 000 000 000	Ron Watkins
18 april 2016	500 000 000 000	Ron Watkins
10 december 2018	600 000 000 000	Michael Kwok
26 april 2019	1 000 000 000 000	Jacob Riffee
19 augusti 2020	1 200 000 000 100	Seungmin Kim [5] [6]

Anteckningar

↑ Wells, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . - Penguin, 1997. - S. 29 . — ISBN 0140261494 .
↑ Borwein, J.; Crandall, R.; Gratis, G. Om Ramanujan AGM Fraction, I: The Real-Parameter Case // Exper . Matematik. : journal. - 2004. - Vol. 13 . - S. 278-280 . doi : 10.1080 / 10586458.2004.10504540 .
↑ y-cruncher - Ett flertrådigt Pi-program . www.numberworld.org . Hämtad 19 februari 2021. Arkiverad från originalet 16 april 2015. (obestämd)
↑ Naturlig logg av 2 . www.numberworld.org . Hämtad 19 februari 2021. Arkiverad från originalet 9 juli 2021. (obestämd)
↑ y-cruncher - Ett flertrådigt Pi-program . web.archive.org (15 september 2020). Tillträdesdatum: 19 februari 2021. (obestämd)
↑ Naturlig logaritm av 2 (Log(2) ) . Polymath Collector (19 augusti 2020). Hämtad 19 februari 2021. Arkiverad från originalet 17 oktober 2020.

Litteratur

Brent, Richard P. Snabb multipelprecisionsutvärdering av elementära funktioner // J. ACM : journal. - 1976. - Vol. 23 , nr. 2 . - S. 242-251 . - doi : 10.1145/321941.321944 .
Uhler, Horace S. Omräkning och förlängning av modulen och av logaritmerna för 2, 3, 5, 7 och 17 // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal . - 1940. - Vol. 26 . - S. 205-212 . - doi : 10.1073/pnas.26.3.205 .
Sweeney, Dura W. Om beräkningen av Eulers konstant // Mathematics of Computation : journal. - 1963. - Vol. 17 . - S. 170-178 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X .
Chamberland, Marc. Binära BBP-formler för logaritmer och generaliserade Gauss-Mersenne-primtal (engelska) // Journal of Integer Sequences : journal. - 2003. - Vol. 6 . — P. 03.3.7 . Arkiverad från originalet den 6 juni 2011.
Gourevitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesus. Konstruktion av binomiska summor för π och polylogaritmiska konstanter inspirerade av BBP-formler // Tillämpad matematik. E-anteckningar: journal. - 2007. - Vol. 7 . - s. 237-246 .
Wu, Qiang. Om det linjära oberoende måttet för logaritmer av rationella tal // Mathematics of Computation : journal. - 2003. - Vol. 72 , nr. 242 . - P. 901-911 . - doi : 10.1090/S0025-5718-02-01442-4 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Naturlig logaritm av 2 hos Wolfram MathWorld .
Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal Logaritmkonstanten:log 2 . (obestämd)

Irrationella siffror
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaums konstanter Sofomorisk dröm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritm av två (ln 2) 12:e roten av 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroten ur 2 ( √ 2 ) Kvadratroten ur 3 ( √ 3 ) Kvadratroten ur 5 ( √5 ) Gyllene snittet (φ) Supergyllene snitt (ψ) Silversektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci-konstant (ψ)
transcendentala Trigonometrisk