Möbius funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 maj 2020; kontroller kräver 8 redigeringar .

Möbiusfunktionen är en multiplikativ aritmetisk funktion som används inom talteori och kombinatorik , uppkallad efter den tyske matematikern Möbius , som först övervägde den 1831 . $\mu(n)$

Definition

$\mu(n)$ definieras för alla naturliga tal och tar värden beroende på arten av nedbrytningen av talet i primtalsfaktorer: $n$ ${-1,\;0,\;1}$ $n$

$\mu(n)=1$ , om den är fri från kvadrater (det vill säga inget primtal är delbart med kvadraten) och nedbrytningen till primtalsfaktorer består av ett jämnt antal faktorer; $n$ $n$
$\mu(n)=-1$ , om den är fri från kvadrater och sönderdelningen till primtalsfaktorer består av ett udda antal faktorer; $n$ $n$
$\mu(n)=0$ , om inte fri från rutor. $n$

Dessutom, per definition . $\mu(1)=1$

Ivan Matveevich Vinogradov i boken "Elements of Higher Mathematics" innehåller följande definition av Möbius-funktionen:

Möbius-funktionen är en multiplikativ funktion som definieras av likheterna: $\mu \,(p)=-1,\;\mu \,(p^{\alpha })=0,\;{\text{if}}\;\alpha >1.$

Från dessa två likheter och multiplikativiteten av själva funktionen, härleds dess värden för alla naturliga argument.

Funktioner och applikationer

Möbius-funktionen är multiplikativ: för alla samprimtal och likheten gäller . $a$ $b$ $\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$

Summan av värdena för Möbius-funktionen över alla divisorer av ett heltal som inte är lika med ett är lika med noll $n$

\sum _{{d|n}}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}}

Detta i synnerhet följer av det faktum att för varje icke-tom finit mängd är antalet olika delmängder som består av ett udda antal element lika med antalet olika delmängder som består av ett jämnt antal element, ett faktum som är används också i beviset för Möbius-inversionsformeln .

$\sum \limits _{{k=1}}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1.$

$\sum \limits _{{k=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (kn)}{k}}=0,$ där n är ett positivt heltal .

$\sum \limits _{{k=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1.$

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln(2k+1)}{2k+1}}=-2.$

$\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln ^{2}k}{k))=-2\gamma ,$ var är Euler-konstanten . $\gamma$

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln ^{2}(2k+1)}{2k+1))=-4 (\gamma +ln2).$

Möbius-funktionen är nära besläktad med Riemanns zeta-funktion . Således uttrycks koefficienterna för Dirichlet-serien för en funktion som är multiplikativt invers för Riemann zeta-funktionen i termer av Möbius-funktionen:

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (n)}{n^{{s))))={\frac {1}{\zeta ( s)}}

Serien konvergerar absolut vid , konvergerar villkorligt på linjen , i regionen är uttalandet om seriens villkorliga konvergens likvärdigt med Riemann-hypotesen , och vid , serien konvergerar verkligen inte, inte ens villkorligt. ${{\rm {Re}}}\,s>1$ ${{\rm {Re}}}\,s=1$ $1/2<{{\rm {Re}}}\,s<1$ ${{\rm {Re}}}\,s<1/2$

När formeln också är giltig: ${{\rm {Re}}}\,s>1$

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {|\mu (n)|}{n^{{s))))={\frac {\zeta (s )}{\zeta (2s)))

$\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (pn)}{n^{{s))))={\frac {p^{{s} }}{(1-p^{{s}})\zeta (s)}},$ där p är ett primtal.

Möbius-funktionen är relaterad till Mertens-funktionen , även nära relaterad till problemet med nollorna i Riemanns zeta-funktion

M(n)=\summa _{{k=1}}^{n}\mu (k).

De asymptotiska sambanden är giltiga:

{\frac {1}{x}}\summa \limits _{{n\leq x}}\mu (n)=o(1)

på

x\högerpil \infty

{\frac {1}{x}}\summa \limits _{{n\leq x}}|\mu (n)|={\frac {1}{\zeta (2)))+O({\ frac {1}{{\sqrt x}}}})

av vilket det följer att det finns en asymptotisk distributionstäthet för värdena för Möbius-funktionen. Den linjära tätheten för mängden av dess nollor är , och densiteten för mängden ettor (eller minus ettor) är . Probabilistiska tillvägagångssätt för studiet av Möbius-funktionen är baserade på detta faktum. $1-1/\zeta(2)=0,3920729$ $1/2\zeta(2)=0,30396355$

Möbius inversion

Den första Möbius-inversionsformeln

För aritmetiska funktioner och , $f$ $g$

g(n)=\summa _{{d\,\mid \,n}}f(d)

om och endast om

f(n)=\summa _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d))\right)

Den andra Möbius-inversionsformeln

För verkligt värderade funktioner och definierade för , $f(x)$ $g(x)$ $x\geqslant 1$

g(x)=\summa _{{n\leqslant x}}f\left({\frac {x}{n}}\right)

om och endast om

f(x)=\summa _{{n\leqslant x}}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)

Här tolkas summan som . $\sum _{{n\leqslant x}}$ $\summa _{{n=1}}^{{\lgolv x\rgolv }}$

Generaliserad Möbius-funktion

Trots den uppenbara onaturligheten i definitionen av Möbius-funktionen kan dess natur bli tydlig när man överväger en klass av funktioner med liknande reversibilitetsegenskaper som introduceras på godtyckliga delvis ordnade uppsättningar .

Låt någon delvis ordnad mängd med jämförelserelation ges . Vi kommer att anta det . $\prec$ $a \preccurlyeq b \iff a \prec b \lor a = b$

Definition

Den generaliserade Möbius-funktionen definieras rekursivt av relationen.

{\mu _{A}^{*}}(a,b)={\begin{cases}1,&a=b\\-\sum \limits _{a\preccurlyeq z\prec b}{ {\mu _{A}^{*}}(a,z)},&a\prec b\\0,&a\not \preccurlyeq b\end{cases}}

Konverteringsformeln

Låt funktionerna och ta verkliga värden på setet och villkoret är uppfyllt . $g$ $f$ $A$ $g(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {f(y)}$

Sedan $f(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {{\mu_A^*}(y,x) g(y)}$

Anslutning till den klassiska Möbius-funktionen

Om vi tar som en uppsättning naturliga tal, tar förhållandet som ett förhållande , då får vi , där är den klassiska Möbius-funktionen. $A$ $a \prec b$ $a \mid b \land a \not = b$ ${\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\left({\frac{b}{a))\right)$ $\mu$

I synnerhet betyder detta att , och vidare följer definitionen av den klassiska Möbius-funktionen genom induktion från definitionen av en generaliserad funktion och identiteten , eftersom summeringen över alla divisorer av ett tal som inte är delbart med en hel kvadrat kan övervägas som summan över Boolean av dess primtalsfaktorer multiplicerad med i varje element i Boolean. $\mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n)$ $\sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0$

Se även

Vintage Dirichlet

Litteratur

Vinogradov I.M. Grunderna i talteorin. - 9:e uppl. - M. , 1981.
Hall M. Kombinatorisk teori. - M . : Mir, 1970. - 424 sid.

Länkar

MIPT föreläsningssal . Raygorodsky A.M. - Grunderna i kombinatorik och talteori. Föreläsning nr 5 , 2013.
MIPT föreläsningssal . Raygorodsky A.M. - Grunderna i kombinatorik och talteori. Föreläsning nr 6 , 2013.
Generaliserad Möbius-inversionsformel